Algebra_10kl_RU

РАЗДЕЛ 4. Показательная и логарифмическая функции

введении понятия степени с иррациональным показателем мы уже пользова% лись возрастанием функции, когда проводили такие рассуждения: посколь% ку 1,7 < 3 < 1,8, то 21,7 < 2 3 < 21,8. Таким образом, в нашей системе изложе% ния материала мы можем обосновать эти свойства только для рациональных показателей, но, учитывая громоздкость таких обоснований, примем их без доказательства. Все остальные свойства показательной функции легко обо% сновываются с помощью этих свойств.

Функция y = ax не является ни четной, ни нечетной, поскольку

скольку f (–x) = a–x > 0 (по свойству 1), а –f (x) = –ax < 0.

Точки пересечения с осями координат. График функции y = ax пересекает ось Oу в точке у = 1. Действительно, на оси Oу значение х = 0, тогда y = a0 = 1.

График показательной функции y = ax (а > 0, а ≠ 1) не пересекает ось Oх, поскольку на оси Oх у = 0, но значение у = 0 не принадлежит области значе% ний показательной функции y = ax (y = ax = 0 только при а = 0, но по определе% нию а > 0).

Промежутки знакопостоянства. у > 0 при всех действительных значе% ниях x, поскольку y = ax > 0 при а > 0.

Отметим еще одно свойство показательной функции. Поскольку график функции y = ax пересекает ось Oy в точке y = 1, то, учитывая возрастание функ% ции при а > 1 и убывание при 0 < а < 1, получаем следующие соотношения между значениями функции и соответствующими значениями аргумента:

Функция y = ax не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений, по% скольку ее область значений — промежуток (0; +×), который не содержит ни наименьшего, ни наибольшего числа.

Свойства показательной функции, приведенные в пункте 8 таблицы 49:

были обоснованы в разделе 3.

Отметим еще одно свойство показательной функции, которое выделяет ее из ряда других функций: если f (x) = ax (а > 0 , а ≠ 1), то при любых действи" тельных значениях аргументов x1 и x2 выполняется равенство

f (x1)æf (x2) = f (x1 + x2) .

332

§ 29. Показательная функция, ее свойства и график

нию f (x1)æf (x2) = f (x1 + x2), а затем обосновывается, что функция f (x) со%

впадает с функцией y = ax (а > 0, а ≠ 1).

Кроме общих свойств показательной функции при а > 1 и при 0 < а < 1, отметим некоторые особенности поведения графиков показательных функ% ций при конкретных значениях а. Так, на рисунке 122 приведены графики

показательных функций y = ax при значениях основания а = 2, 3, 1 , 1 .

2 3

Сравнивая эти графики, можно сделать вывод: чем больше основание а > 1, тем круче поднимается график функции у = ах при движении точки вправо и тем быстрее график приближается к оси Оx при движении точки влево. Аналогично, чем меньше основание 0 < а < 1, тем круче поднимается график функции у = ах при движении точки влево и тем быстрее график приближа" ется к оси Оx при движении точки вправо.

Заканчивая разговор о показательной функции, укажем те причины, ко% торые мешают рассматривать показательные функции с отрицательным или нулевым основанием.

Отметим, что выражение ах можно рассматривать и при а = 0, и при а < 0. Но в этих случаях оно уже будет определено не при всех действительных значе% ниях х, как показательная функция у = ах. В частности, выражение 0х опре% делено при всех х > 0 (и тогда 0х = 0), а выражение (–2)х — при всех целых

ние показательной функции а = 0 (получаем постоянную функцию при х > 0) и а < 0 (получаем функцию, определенную только при достаточно «редких» значениях x: х Z). Приведенные рассуждения относительно целесообраз% ности выбора основания показательной функции не влияют на область допу% стимых значений выражения ах (например, как мы видели выше, пара значе% ний а = –2, х = –3 принадлежит его ОДЗ, и это приходится учитывать при решении некоторых задач).

333

РАЗДЕЛ 4. Показательная и логарифмическая функции

334

§ 29. Показательная функция, ее свойства и график

При а > 0 значение ах > 0, следовательно, график функции y = ax всегда расположен выше оси Ox. Этот график пересекает ось Oy в точке y = 1 (a0 = 1).

При а > 1 показательная функция (у = 1,7х ) возрастает, следовательно, ее графиком будет кривая (экспонента), точки которой при увеличении аргумен% та поднимаются.

При 0 < а < 1 показательная функция (у = 0,3х ) убывает, следовательно, графиком функции y = ax будет кривая, точки которой при увеличении аргу% мента опускаются. (Напомним, что, опускаясь вниз, график приближается к оси Оx, но никогда ее не пересекает.)

Чтобы уточнить поведение графиков данных функций, найдем координа% ты нескольких дополнительных точек.

335

РАЗДЕЛ 4. Показательная и логарифмическая функции

Вопросы для контроля

1.Дайте определение показательной функции.

2.Постройте графики показательной функции у = ах при а > 1 и при 0 < а < 1 (выберите конкретные значения а). Через какую точку проходят графики всех показательных функций?

3.Пользуясь графиком показательной функции у = ах (при а > 1 и при 0 < а < 1 ), охарактеризуйте ее свойства.

4*. Обоснуйте свойства функции у = ах (а > 0, а ≠ 1).

5.Используя возрастание или убывание соответствующей показательной функции, сравните значения: а) 75 и 79; б) 0,75 и 0,79.

Упражнения

336

§ 29. Показательная функция, ее свойства и график

3.Зная, что a > b > 1, изобразите схематически в одной системе координат графики функций у = aх и у = bх.

4.Найдите область значений функции:

10) 0,2 –10 и 5 11.

7.Сравните показатели т и п, если известно, что верно неравенство:

8)( 2 − 1)m < ( 2 − 1)n .

8.Сравните с единицей положительное основание а, если известно, что верно неравенство:

337

§30. Решение показательных уравнений и неравенств

Пр о д о л ж. т а б л. 50

2.Схема равносильных преобразований простейших показательных уравнений

339

РАЗДЕЛ 4. Показательная и логарифмическая функции

Рис. 123

Объяснение и обоснование

Показательными уравнениями обычно называют уравнения, в которых переменная входит в показатель степени (а основание этой степени не содер% жит переменной).

Рассмотрим простейшее показательное уравнение вида

где a > 0 и a ≠ 1. Поскольку при этих значениях a функция y = ax строго монотонна (возрастает при a > 1 и убывает при 0 < a < 1), то каждое свое значение она принимает только при одном значении аргумента. Это означает, что уравнение ax = b при b > 0 имеет единственный корень. Чтобы его найти, достаточно представить b в виде b = ac.

Очевидно, что x = с является корнем уравнения ax = ac. Графически это проиллюстрировано на рисунке 123.

Например, чтобы решить уравнение 7x = 49, достаточно представить это уравнение в виде 7x = 72 и записать его единственный корень x = 2.

Если b m 0, то уравнение ax = b (при a > 0) корней не имеет, поскольку ax

всегда больше нуля. (На графиках, приведенных на рисунке 124, прямая y = b не пересекает график функции y = ax при b m 0.)

Например, уравнение 7x = –7 не имеет корней.

Обобщая приведенные выше рассуждения относительно решения простей% ших показательных уравнений, отметим, что при a > 0 и a ≠ 1 уравнение вида

Рис. 124

340

§ 30. Решение показательных уравнений и неравенств

(Чтобы обосновать равносильность этих уравнений, достаточно заметить, что равенства (2) и (3) могут быть верными только одновременно, посколь% ку функция y = at является строго монотонной и каждое свое значение принимает только при одном значении аргумента t (то есть из равенства степеней (2) обязательно вытекает равенство показателей (3)). Таким об% разом, все корни уравнения (2) (которые обращают это уравнение в верное равенство) будут корнями и уравнения (3), и наоборот, все корни уравне%

ния (3) будут корнями уравнения (2). А это и означает, что уравнения (2) и (3) равносильны. )

Впростейших случаях при решении показательных уравнений пытаются

спомощью основных формул действий над степенями (см. таблицу 46) приве% сти (если это возможно) данное уравнение к виду af (x) = ag (x).

Для решения более сложных показательных уравнений чаще всего исполь% зуют замену переменных (применение этого метода рассмотрено в табл. 51, с. 344) или свойства соответствующих функций (применение этих методов рассмотрено в табл. 58, с. 403).

Заметим, что все равносильные преобразования уравнения всегда выпол% няются на его области допустимых значений (то есть на общей области опре% деления для всех функций, входящих в запись этого уравнения). Но в пока% зательных уравнениях чаще всего областью допустимых значений (ОДЗ) яв% ляется множество всех действительных чисел. В этих случаях, как правило, ОДЗ явно не находят и не записывают в решении уравнения (см. ниже задачи 1–3). Но если в ходе решения показательных уравнений равносильные пре% образования выполняются не на всем множестве действительных чисел, то в этом случае приходится вспоминать об ОДЗ (задача 4* на с. 343).

Примеры решения задач

341