Algebra_10kl_RU

РАЗДЕЛ 3. Степенная функция

2. Нули функции f (x): x + 3 − x −1 − 2x − 1 = 0. Тогда x + 3 − x −1 = 2x − 1, ( x + 3 − x − 1)2 = ( 2x − 1)2 ,

3. Разбиваем ОДЗ точкой 1,5 на два промежутка и на

ходим знак f (x) в каждом из промежутков (см. рису нок).

Ответ: [1; 1,5).

I способ (метод интервалов)

К о м м е н т а р и й

Приведем данное неравенство к виду f (x) > 0 и решим его методом интерва лов. При нахождении ОДЗ данного неравенства для решения неравенства

Для нахождения нулей функции f (x) используем уравнения следствия. Хотя функция f (x) не имеет нулей, но и в этом случае метод интервалов мож но использовать. Только в этом случае интервалы знакопостоянства функции

f(x) совпадают с интервалами, из которых состоит ее область определения.

Ре ш е н и е

Данное неравенство равносильно неравенству

312

3. ОДЗ неравенства (1) разбивается на два промежут ка, в которых функция f (x) имеет знаки, указан ные на рисунке.

Ответ: (–×; –2] (0; +×).

ІІ способ (равносильные преобразования)

К о м м е н т а р и й Для решения используем равносильные преобразования (с. 311):

ловия, при которых эта дробь будет неотрицательной.

Вконце, объединяя полученные решения, записываем ответ.

Ре ш е н и е

Учитывая, что 4х2 – 4х + 8 > 0 при всех значениях х (D < 0 и а = 4 > 0), получаем, что последняя совокупность трех систем равносильна совокупно

Ответ: (–×; –2] (0; +×).

З а м е ч а н и е. Записывая приведенное решение, знаки равносильности ( ) можно не ставить, достаточно вначале записать фразу: «Выполним рав носильные преобразования данного неравенства».

313

РАЗДЕЛ 3. Степенная функция

под знаком внешнего квадратного корня, является квадратом двучлена. Применяя формулу a2 = a , получаем неравенство с модулями, для ре

шения которого используем план:

1)найти ОДЗ;

2)найти нули всех подмодульных функций;

3)отметить нули на ОДЗ и разбить ОДЗ на промежутки;

4)найти решения неравенства в каждом из промежутков.

Р е ш е н и е

Пусть 3x + 5 = t, где t l 0. Тогда 3x + 5 = t2, 3x = t2 – 5.

Получаемнеравенство t2 + 4 − 4t + t2 + 9 − 6t m1, котороеможнозаписатьтак:

1.ОДЗ неравенства (2): t R, но по смыслу задания это неравенство необхо димо решить при t l 0.

2.Нули подмодульных функций: t = 2 и t = 3.

3. Эти нули разбивают область t l0 на три промежут ка, в каждом из которых каждая подмодульная функция имеет постоянный знак (см. рисунок).

Промежуток І. При t [0; 2] имеем неравенство

–(t – 2) – (t – 3) m 1, из которого получаем t l 2, но промежутку [0; 2] принадлежит только t = 2.

Промежуток ІI. При t [2; 3] имеем неравенство

(t – 2) – (t – 3) m 1, равносильное неравенству 0æt m 0, которое выполняет ся при любых значениях t. Таким образом, на промежутке [2; 3] решения ми неравенства будут все значения t из этого промежутка (2 m t m 3).

Промежуток III. При t [3; +×) имеем неравенство

(t – 2) + (t – 3) m 1, из которого получаем t m 3, но промежутку [3; +×) принадлежит только значение t = 3.

Объединяя полученные результаты, делаем вывод, что решениями нера венства (2) будут все значения t, такие, что: 2 m t m 3.

314

§ 27. Решение иррациональных неравенств

Вопросы для контроля

1.Назовите основные методы решения иррациональных неравенств.

2.Назовите основные этапы решения иррационального неравенства мето дом интервалов.

3.Обоснуйте справедливость следующих равносильных преобразований:

1)2k+1 f (x) > g (x) f (x) > g2k+1(x);

x

2) ( x2 − 5x + 6 + 2) x − 1 ( 10x − 2x2 − 12 + 2)l 0.

x

315

Основные методы и идеи, которые используются при решении задач с па раметрами, были рассмотрены в § 20 раздела 2. Как и раньше, при решении задач с параметрами, в которых требуется решить уравнение или неравен ство, можно пользоваться о р и е н т и р о м: любое уравнение или неравенство с параметрами можно решать как обычное уравнение или неравенство до тех пор, пока все преобразования или рассуждения, необходимые для реше ния, можно выполнить однозначно. Но в том случае, когда какое то преоб разование нельзя выполнить однозначно, решение необходимо разбить на несколько случаев, чтобы в каждом из них ответ через параметры записы вался однозначно.

Также на этапе составления плана решения уравнений или неравенств с параметрами или при проведении рассуждений, связанных с самим решени ем, часто удобно сопровождать соответствующие рассуждения схемами, по которым легко проследить, в какой момент мы не смогли однозначно выпол нить необходимые преобразования, на сколько случаев пришлось разбить ре шение и чем отличается один случай от другого. Отметим, что уравнения и не равенства с параметрами чаще всего решают с помощью их равносильных преобразований, хотя иногда используются и свойства функций, метод ин тервалов для решения неравенств и уравнения следствия.

Мы не можем однозначно дать ответ на вопрос, есть ли у данного уравне ния корни, и поэтому уже на первом шаге должны разбить решение на два случая: 1) a < 0 — корней нет, 2) a l 0 — корни есть (см. схему).

Ре ш е н и е

1)При a < 0 уравнение не имеет корней.

2)При a l 0 x – 2 = a2. Тогда х = а2 + 2.

Ответ: 1) если a < 0, то корней нет; 2) если a l 0, то х = а2 + 2.

316

§ 28. Решение иррациональных уравнений и неравенств с параметрами

* В записи решения задач 2–6 синим цветом выделены ограничения, которые при шлось наложить в процессе равносильных преобразований данного уравнения или нера венства.

317

РАЗДЕЛ 3. Степенная функция

318

§ 28. Решение иррациональных уравнений и неравенств с параметрами

319

РАЗДЕЛ 3. Степенная функция

К о м м е н т а р и й Сначала воспользуемся равносильными преобразованиями (с. 311):

Если в полученные системы параметр a входит линейно, то в таких случаях иногда бывает удобно выразить параметр через переменную, рас смотреть параметр как функцию от этой переменной и применить графи ческую иллюстрацию решения неравенств (в системе координат xОa). Отме тим, что для изображения решений совокупности неравенств удобно приме нить две системы координат, в которых оси Оx находятся на одной прямой (и на каждой выделять штриховкой соответствующие решения).

При разных значениях a прямая a = const или не пересекает заштрихо ванные области (при a l − 34 ), или пересекает их по отрезкам. Абсциссы точек

пересечения являются решениями систем (1) и (2), а поэтому и решениями данного неравенства.

320

§ 28. Решение иррациональных уравнений и неравенств с параметрами

Изобразим графические решения систем неравенств (1) и (2) в системе ко ординат xОa (на рисунках заштрихованы соответствующие области 1 и 2 ).

Видим, что: 1) при a l − 3 решений нет (нет заштрихованных точек);

4

2) если −1ma < − 3 , то прямая a = const пересекает только заштрихованную

4

область 1 . Причем полученный интервал ограничен слева и справа ветвями параболы а = –х2 – х – 1. Но в ответ нам необходимо записать х через а. Для этого из уравнения х2 + х + а + 1 = 0 находим х:

x = − 1 ± 1 − a − 1.

24

24

будет:

− 1 − − 3 − a < x < − 1 + − 3 − a;

2 4 2 4

321