Algebra_10kl_RU

РАЗДЕЛ 4. Показательная и логарифмическая функции

П р о д о л ж. т а б л. 52

Решение простейших показательных неравенств вида ax > b (или ax < b, где a > 0 и a ≠ 1) основывается на свойствах функции y = ax, которая возрастает при a > 1 и убывает при 0 < a < 1. Например, чтобы найти решение неравенства ax > b при b > 0, достаточно представить b в виде b = ac. Получаем неравенство ax > ac. (1)

При a > 1 функция ax возрастает, следовательно, большему значению функ% ции соответствует большее значение аргумента, поэтому из неравенства (1) получаем x > с (знак этого неравенства совпадает со знаком неравенства (1)).

При 0 < a < 1 функция ax убывает, следовательно, большему значению функ% ции соответствует меньшее значение аргумента, поэтому из неравенства (1) получаем x < с (знак этого неравенства противоположен знаку неравенства (1)).

Графически это проиллюстрировано на рисунке 125.

Например, чтобы решить неравенство 5x > 25, достаточно представить это неравенство в виде 5x > 52, учесть, что 5 > 1 (функция 5x является возрастаю% щей, следовательно, при переходе к аргументам знак неравенства не меняется), и записать решение: x > 2.

352

§ 30. Решение показательных уравнений и неравенств

Заметим, что решение данного неравенства можно записывать в виде x > 2 или в виде промежутка (2; +×).

Аналогично, чтобы решить неравенство (14 )x > 161 , достаточно представить

это неравенство в виде (14 )x > (14 )2 , учесть, что 14 < 1 (функция (14 )x является

убывающей, таким образом, при переходе к аргументам знак неравенства меняется на противоположный), и записать решение: x < 2.

Учитывая, что при любых положительных значениях a значение ах всегда больше нуля, получаем, что при b m 0 неравенство ax < b решений не имеет,

а неравенство ax > b выполняется при всех действительных значениях x.

Например, неравенство 7x < –7 не имеет решений, а решениями неравен% ства 7x > –7 являются все действительные числа.

Обобщая приведенные выше рассуждения относительно решения простей% ших показательных неравенств, отметим, что

при a > 1 неравенство af (x) > ag (x) равносильно неравенству f (x) > g (x), а при 0 < a < 1 — неравенству f (x) < g (x).

Коротко это утверждение можно записать так.

При а > 1 af (x) > ag (x) f (x) > g (x) (знак неравенства сохраняется).

При 0 < a < 1 af (x) > ag (x) f (x) < g (x) (знак неравенства меняется на противоположный).

(Чтобы обосновать равносильность соответствующих неравенств, доста% точно заметить, что при a > 1 неравенства

могут быть верными только одновременно, поскольку функция y = at при a > 1 является возрастающей и большему значению функции соответству% ет большее значение аргумента (и наоборот: большему значению аргумен% та соответствует большее значение функции). Таким образом, все реше% ния неравенства (2) (которые обращают его в верное числовое неравен% ство) будут и решениями неравенства (3), и наоборот: все решения нера% венства (3) будут решениями неравенства (2). А это и означает, что нера% венства (2) и (3) являются равносильными.

353

РАЗДЕЛ 4. Показательная и логарифмическая функции

Аналогично обосновывается равносильность неравенств af (x) > ag (x) и f (x) < g (x) при 0 < a < 1. )

В простейших случаях при решении показательных неравенств, как и при решении показательных уравнений, пытаются с помощью основных формул действий над степенями привести (если это возможно) данное неравенство к виду af (x) ag (x).

Для решения более сложных показательных неравенств чаще всего ис% пользуют замену переменных или свойства соответствующих функций (эти методы рассмотрены в § 35 раздела 4).

Заметим, что аналогично решению показательных уравнений все равно% сильные преобразования неравенства всегда выполняются на его области до% пустимых значений (то есть на общей области определения для всех функ% ций, входящих в запись этого неравенства). Для показательных неравенств достаточно часто областью допустимых значений (ОДЗ) является множество всех действительных чисел. В этих случаях, как правило, ОДЗ явно не нахо% дят и не записывают в решение неравенства (см. далее задачу 1). Но если в процессе решения показательного неравенства равносильные преобразова% ния выполняются не на всем множестве действительных чисел, то в этом слу% чае приходится учитывать ОДЗ (см. далее задачу 2).

354

§ 30. Решение показательных уравнений и неравенств

355

К о м м е н т а р и й

Данное нестрогое неравенство также удобно решать методом интервалов. Записывая ответ, следует учитывать, что в случае, когда мы решаем нестро" гое неравенство f (x) m 0, все нули функции f (x) должны войти в ответ.

Ответ: х (–×; –2] или х = 4.

Вопросы для контроля

1.Объясните, в каких случаях показательные неравенства ax > b и ax < b (где a > 0 и a ≠ 1) имеют решения. В каких случаях данные неравенства не имеют решений? Приведите примеры, проиллюстрируйте их графически.

2.Какому неравенству равносильно показательное неравенство af (x) > ag (x) при a > 1? При 0 < a < 1? Приведите примеры.

Упражнения

356

§31 ЛОГАРИФМ ЧИСЛА. СВОЙСТВА ЛОГАРИФМОВ

Об о з н а ч е н и е: logе b = ln b.

2.Основное логарифмическое тождество

3)loga (ху) = loga х + loga у тельных чисел равен сумме логариф"

этой степени.

357

358

§ 31. Логарифм числа. Свойства логарифмов

Рис. 126

Например, не существуют значения log3 (–9), log1 (−7), log2 0.

2

Отметим, что логарифм по основанию 10 называется десятичным лога" рифмом и обозначается lg.

Например, log10 7 = lg 7, lg 100 = log10 100 = 2.

В недалеком прошлом десятичным логарифмам отдавали предпочтение и составляли очень подробные таблицы их значений, которые использовались в разных вычислениях. В эпоху всеобщей компьютеризации десятичные ло% гарифмы утратили свою ведущую роль. В современной науке и технике широ% ко используются логарифмы, основанием которых является особенное чис% ло e (такое же знаменитое, как и число π). Число e, как и число π, — иррацио% нальное, e = 2,718281828459045... . Логарифм по основанию e называется натуральным логарифмом и обозначается ln.

2. Основное логарифмическое тождество. По определению логарифма, если loga b = х, то ах = b (а > 0, а ≠ 1, b > 0). Подставляя в последнее равенство вместо х его значение, получаем равенство, которое называется основным логарифмическим тождеством:

alogab = b , где а > 0, а ≠ 1, b > 0.

3. Свойства логарифмов и формулы логарифмирования. Во всех приведен% ных ниже формулах а > 0 и а ≠ 1.

( 1) Из определения логарифма получаем, что

loga 1 = 0 ,

поскольку а0 = 1 (при а > 0, а ≠ 1). Таким образом,

логарифм единицы по любому основанию равен нулю. 2) Поскольку а1 = а, то

loga a = 1 .

359

РАЗДЕЛ 4. Показательная и логарифмическая функции

3)Чтобы получить формулу логарифма произведения ху (х > 0, y > 0), обо% значим loga х = u и loga у = v. Тогда по определению логарифма

Перемножив почленно два последних равенства, имеем ху = аu + v. По опре% делению логарифма и с учетом введенных обозначений из последнего ра% венства получаем loga (ху) = u + v = loga х + loga у.

Таким образом,

Логарифм произведения положительных чисел равен сумме логарифмов множителей.

4)Аналогично, чтобы получить формулу логарифма частного xy (х > 0, y > 0),

достаточно разделить почленно равенства (1). Тогда xy = au−v. По определе% нию логарифма и с учетом введенных обозначений из последнего равенства

получаем loga x = u − v = loga x − loga y. Таким образом,

y

Логарифм частного положительных чисел равен разности логарифмов делимого и делителя.

5)Чтобы получить формулу логарифма степени хп (где х > 0), обозначим

loga х = u. По определению логарифма х = аu. Тогда хп = апu, и по определе% нию логарифма с учетом обозначения для u имеем loga хп = пu = п loga х.

Таким образом,

Логарифм степени положительного числа равен произведению пока" зателя степени на логарифм основания этой степени. )

1

Учитывая, что при х > 0 n x = xn , по формуле (4) имеем:

log n x = log x1 = 1 log x. То есть при х > 0 можно пользоваться формулой

n

a a n a

loga n x = n1 loga x

(можно не запоминать эту формулу, а каждый раз записывать корень из по% ложительного числа как соответствующую степень).

З а м е ч а н и е. Иногда приходится находить логарифм произведения ху и в том случае, когда числа х и у оба отрицательные (х < 0, y < 0). Тогда ху > 0

иlogа (ху) существует, но формулой (2) воспользоваться нельзя — она обосно% ванатолькодляположительныхзначенийхиу.Вслучае ху>0имеем ху = | x |æ| у |,

итеперь | x | > 0 и | у | > 0. Таким образом, для логарифма произведения | x |æ| у | можно воспользоваться формулой (2). Поэтому при х < 0 и y < 0 можем записать:

logа (ху) = logа (| x |æ| у |) = logа | x | + logа | у |.

360

§ 31. Логарифм числа. Свойства логарифмов

Отметим, что полученная формула справедлива и при x > 0 и у > 0, по% скольку в этом случае | x | = х и | у | = у. Таким образом,

4. Формула перехода к логарифмам с другим основанием.

(Пусть loga х = u (х > 0, а > 0, а ≠ 1). Тогда по определению логарифма аu = х. Прологарифмируем обе части последнего равенства по основанию b (b > 0,

b ≠ 1). Получим log аu = log х .

где а > 0, а ≠ 1, b > 0, b ≠ 1, х > 0. Таким образом, логарифм положительного числа х по одному основанию а равен логарифму этого же числа х по новому основанию b, деленному на логарифм прежнего основания а по новому основанию b. )

С помощью последней формулы можно получить следующие с л е д с т в и я.

1) loga b = logb b . Учитывая, что logb b = 1, имеем

где а > 0, а ≠ 1, b > 0, b ≠ 1.

2)Аналогично, учитывая формулу перехода от одного основания логарифма к другому и формулу логарифма степени, получаем (при k ≠ 0)

Записав полученную формулу справа налево, имеем

loga b = logak bk ,

где а > 0, а ≠ 1, b > 0, b ≠ 1, k ≠ 0.

361