Algebra_10kl_RU

РАЗДЕЛ 4. Показательная и логарифмическая функции

Примеры решения задач

27a2

Задача 3 Выразите логарифм по основанию 3 выражения 5 b (где a > 0 и

b > 0) через логарифмы по основанию 3 чисел a и b. (Коротко говорят так: «Прологарифмируйте заданное выражение по ос" нованию 3».)

362

§ 31. Логарифм числа. Свойства логарифмов

После этого учтем, что каждый

1

из логарифмов степеней (33; a2; b5 )

равен произведению показателя сте% пени на логарифм основания этой сте% пени, а также то, что log3 3 = 1.

Задача 4 Известно, что log2 5 = a, log2 7 = b. Выразите log2 700 через a и b.

Иногда приходится искать выражение, зная его логарифм. Такую опера% цию называют потенцированием.

Задача 6 Найдите x по его логарифму:

1) lg x = lg 5 – 2lg 3 + 3lg 2; 2) loga x = 1 loga b + 5loga c − loga p.

2

363

РАЗДЕЛ 4. Показательная и логарифмическая функции

Вопросы для контроля

1.Дайте определение логарифма положительного числа b по основанию а (а > 0, а ≠ 1).

2.Какой логарифм называют десятичным логарифмом и какой натуральным логарифмом? Приведите примеры записи и вычисления таких логарифмов.

3.1) Запишите основное логарифмическое тождество. Приведите примеры его использования. 2*) Обоснуйте основное логарифмическое тождество.

4.1) Запишите и сформулируйте формулы логарифмирования. Приведите примеры их использования. 2*) Обоснуйте формулы логарифмирования.

5.1) Запишите формулу перехода от одного основания логарифма к другому. Приведите примеры ее использования. 2*) Обоснуйте формулу перехода от одного основания логарифма к другому.

6*. Можно ли в том случае, когда значение x и y оба отрицательные, пролога% рифмировать выражение: xy, xy, x4? Как это сделать? Обоснуйте соответ% ствующие формулы.

364

§ 31. Логарифм числа. Свойства логарифмов

3°. Пользуясь определением логарифма, запишите решение простейшого по% казательного уравнения:

1) 4х = 9; 2) (14 )x = 15; 3) 10х = 11; 4) 5х = 19; 5) 0,2х = 0,7; 6) ех = 3 .

4. Пользуясь основным логарифмическим тождеством, упростите выражение:

5.Прологарифмируйте данное выражение по заданному основанию, зная, что а > 0, b > 0, c > 0:

6*. Прологарифмируйте данное выражение по основанию 10, зная, что аb > 0 и с ≠ 0:

365

§32. Логарифмическая функция, ее свойства и график

Пр о д о л ж. т а б л. 54

4.Точки пересечения с осями координат:

Объяснение и обоснование

1. Понятие логарифмической функции и ее график. Логарифмической функ" цией называется функция вида у = loga х, где а > 0, а ≠ 1.

Покажем, что эта функция является обратной к функции у = аx.

(Действительно, показательная функция f (х) = аx при а > 1 возрастает на

множестве R, а при 0 < а < 1 — убывает на множестве R. Область значений функции f (х) = аx — промежуток (0; +×). Таким образом, функция f (х) обратима (с. 141) и имеет обратную функцию с областью определения (0; +×) и областью значений R. Напомним, что для записи формулы обратной функ% ции достаточно из равенства у = f (х) выразить х через у и в полученной

формуле х = g (у) аргумент обозначить через х, а функцию — через у. Тогда из уравнения у = аx (а > 0, а ≠ 1) по определению логарифма получаем

х = loga у — формулу обратной функции, в которой аргумент обозначен через у, а функция — через х. Изменяя обозначения на традиционные, имеем формулу у = loga х — функции, обратной к функции у = аx. )

367

РАЗДЕЛ 4. Показательная и логарифмическая функции

Как известно, графики взаимно обратных функций симметричны относи% тельно прямой у = х. Таким образом, график функции у = loga х (а > 0, а ≠ 1) можно получить из графика функции у = ах симметричным отображением относительно прямой у = х. На рисунке 127 приведены графики логарифмиче% ских функций при а > 1 и при 0 < а < 1. График логарифмической функции называют логарифмической кривой.

2. Свойства логарифмической функции. Свойства логарифмической функ% ции, указанные в пункте 8 таблицы 54, были обоснованы в § 31. Другие свой% ства функции у = loga х прочитаем из полученного графика этой функции или обоснуем, опираясь на свойства функции у = ах.

Поскольку область определения прямой функции является областью зна% чений обратной, а область значений прямой функции — областью определе% ния обратной, то, зная эти характеристики для функции у = ах, получаем соответствующие характеристики для функции y = loga x:

1)Областью определения функции у = loga х является множество R+ всех положительных чисел (х > 0);

2)Областью значений функции у = loga х является множество R всех дей" ствительных чисел (тогда функция y = loga x не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений).

3)Функция у = loga х не может быть ни четной, ни нечетной, поскольку ее область определения не симметрична относительно точки 0.

4) График функции у = loga х не пересекает ось Oу, поскольку на оси Oу х = 0, а это значение не принадлежит области определения функции у = loga х.

368

§ 32. Логарифмическая функция, ее свойства и график

График функции у = loga х пересекает ось Oх в точке х = 1, поскольку loga 1 = 0 при всех значениях а (а > 0, а ≠ 1).

5) Из графиков функции у = loga х, приведенных на рисунке 127, видно, что

при а > 1 функция у = loga х возрастает на всей области определе ния, а при 0 < а < 1 — убывает на всей области определения.

(Это свойство можно обосновать, опираясь не на вид графика, а только на свойства функции у = аx.

Например, при а > 1 возьмем x2 > x1 > 0. По основному логарифмическому

тождеству можно записать: x1 = aloga x1, x2 = aloga x2. Тогда, учитывая, что

х2 > х1, имеем aloga x2 > aloga x1. Поскольку при а > 1 функция у = аx является возрастающей, то из последнего неравенства получаем loga x2 > loga x1. А это и означает, что при а > 1 функция у = loga х возрастает на всей обла% сти определения.

Аналогично можно обосновать, что при 0 < а < 1 функция у = loga х убыва% ет на всей области определения. )

6)Промежутки знакопостоянства. Поскольку график функции у = loga х

пересекает ось Oх в точке х = 1, то, учитывая возрастание функции при а > 1 и убывание при 0 < а < 1, имеем:

369

РАЗДЕЛ 4. Показательная и логарифмическая функции

3)Область определения функции

у= log7 (х2 – х) задается неравен% ством х2 – х > 0. Решая это квад% ратное неравенство, получаем x < 0 или x > 1 (см. рисунок).

То есть D (y) = (–×; 0) (1; +×).

Задача 2 Изобразите схематически график функции:

370

§ 32. Логарифмическая функция, ее свойства и график

Задача 3*. Изобразите схематически график функции у = lоg3 | x – 2 |.

371