Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Таврический Национальный Университет им. В.И. Вернадского

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Algebra_10kl_RU

.pdf

Скачиваний:

116

Добавлен:

20.03.2015

Размер:

5.2 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 3233 / 4533 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 > Следующая >>>

РАЗДЕЛ 3. Степенная функция

3) если a < –1 , то прямая a = const пересекает заштрихованные области

1 и 2 . Для области 1 интервал для х ограничен: слева — прямой х = –1,

а справа — правой ветвью параболы, то есть −1mx < −	1	+	−	3	− a. Для облас

2			4

ти 2 интервал для х ограничен слева прямой х = а, а справа — прямой х = –1, то есть a mx < –1. Объединение этих интервалов можно записать короче:

a mx < − 1 + − 3 − a.

Ответ: 1) при a l −	3	— решений нет;

4
2) при −1 ma < −			3	− 1 −			− 3			− a < x < − 1	+	− 3	− a ;

		4		2			4			2		4
3) при a < –1		a mx < −			1	+	−	3	− a.

Для решения некоторых исследовательских задач с параметрами можно при менить свойства квадратного трехчлена и, в частности, условия расположения корней квадратного трехчлена относительно данных чисел (табл. 37, с. 225).

Задача 6 Найдите все значения параметра k, при которых имеет корни уравнение x + 2k x + 1 − k + 3 = 0.

Р е ш е н и е

Замена x + 1 = t, где t l 0 (тогда x = t2 – 1). Получаем уравнение

t2 + 2kt – k + 2 = 0.

(1)

Данное уравнение будет иметь корни тогда и только тогда, когда уравнение (1) будет иметь хотя бы один неотрицательный корень (t l0).

Случай t = 0 исследуем отдельно. При t = 0 из уравнения (1) имеем k = 2. Таким образом, при k = 2 урав

нение (1) имеет корень t = 0. Тогда и данное уравнение имеет корень x = –1, то есть k = 2 удовлетворяет условию задачи.

Обозначим f (t) = t2 + 2kt – k + 2.

Уравнение (1) может иметь хотя бы один положительный корень в од ном из двух случаев:

К о м м е н т а р и й

Если иррациональное уравнение содержит только один корень, то иногда можно привести такое уравне ние к рациональному, обозначив этот корень новой переменной. Посколь ку замена является равносильным преобразованием (вместе с обратной заменой), то получаем уравнение, равносильное данному, и поэтому вместо исследования данного уравне ния можно исследовать полученное.

При этом следует учитывать, что

после замены переменной иногда из меняется условие задачи, в частно сти, для уравнения (1) оно будет та ким: найти все значения параметра k, для которых это уравнение имеет хотя бы один неотрицательный ко рень (тогда после обратной замены мы обязательно найдем корни данного

322

§ 28. Решение иррациональных уравнений и неравенств с параметрами

1)один корень положительный и один корень отрицательный — для этого необходимо и достаточ но выполнения условия f (0) < 0;

2)оба корня положительные — для этого необходимо и достаточно выполнения системы условий:

f (0) > 0,
	(2)
D l 0,	(2)

t0 > 0.

Условие f (0) < 0 дает –k + 2 < 0, то есть k > 2.

Система (2) дает
	−k + 2 > 0,

	4k2 − 4( −k + 2) l 0,

Тогда	−k > 0.
Тогда
k < 2,		k < 2,

k m− 2 или k l1,		k m− 2 или k l1,

k < 0.		k < 0.

Таким образом, k m –2.

Ответ: k m –2 или k l 2.

Упражнения

1. Решите уравнение:

уравнения). Это возможно в одном из трех случаев: или один из корней урав нения (1) равен нулю (этот случай лег ко исследуется подстановкой t = 0 в уравнение (1)), или уравнение (1) име ет один положительный и один отри цательный корни, или имеет два поло жительных корня. Изобразив соответ ствующие эскизы графиков функции f (t) = t2 + 2kt – k + 2 (см. рисунок), записываем необходимые и достаточ ные условия такого расположения корней квадратного трехчлена (или используем табл. 37 на с. 225).

Для решения квадратного нера венства k2 + k – 2 l 0 можно приме нить графическую иллюстрацию.

В конце необходимо объединить все полученные результаты. Конеч но, для получения ответа можно было решить данное уравнение (аналогич но задаче 2), а затем дать ответ на вопрос задачи, но такой путь потре бует более громоздких вычислений.

	1)	x − a = 2; 2) x + 2a = a; 3) x + 6 − m = x − 3; 4) a − a + x = x.
2.	Решите неравенство:
	1) (x − 1) a − x l0;		2) x + 2a > 3ax + 4a2 ;	3) 4x + a > x;
		2 − x
	4)	x − a l2x + 1;	5) a2 − x2 > 2 − x.
3.	Найдите все значения параметра a, при которых уравнение 3 x + 2 = 2x + a
	имеет корни.

323

РАЗДЕЛ 3. Степенная функция

4.	Найдите										все									значения															параметра										a,					при которых																					уравнение
	(	x − a)(x −											4			)		= 0 имеет только один действительный корень.
	(	x − a)(x −											x			)		= 0 имеет только один действительный корень.
													x
5. Найдите все значения параметра a, при которых уравнение																																																													2 − ax + 2 = x
	имеет только один действительный корень.
																																																												x,
6.																																																y = a +												x,					в зависимости от
6.	Определите количество решений системы																																																																в зависимости от
	значения параметра a.																																															2x + y −										1 = 0
	значения параметра a.

	ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ УПРАЖНЕНИЯ К РАЗДЕЛУ 3
1. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:
	1)				2					;											2)									3				;						3)	2					;															4)						3					.
	1)	3 +						5		;											2)							5	−				2	;						3)	15					;															4)					7 +						.
		3 +						5																				5	−				2								15																									7 +					2
2.	Вычислите:
		(			5 − 2,5									)2				−		3	(							−					)3		− 1;											(5 3 + 50 )(5 −																			24 )
	1)																					1,5								5											2)																												;
	1)																					1,5								5											2)														75 − 5							2							;
																																																							75 − 5							2
	3)	(			2 −1,5									)2			−			3	((					−			2		)3 )2																			4)					2 6			− 20								(				+ 2							)
	3)				2 −1,5												−					1				−			2					+ 0,75;																4)				2			5 +					24			11					+ 2						30 .
	Упростите выражение (3–5).																																																					2			5 +					24
	Упростите выражение (3–5).
		a			+ 2									a													2								a −			2			a a + b b																−										a + b 2
3. 1)								−												+																			;	2)																			ab																;
3. 1)								−												+																			;	2)																			ab																;
					2a						2a + 2												a − 2a												a +			2								a + b																					a − b
					x + 1														1																										c		−				1						2				c − 1				−			c +			1
	3)				x + 1						:								1					;																4)					c						1										c − 1							c +			1		.
	3)										:													;																4)																																	.
			1 + x + x x2 − x																																						2									2 c											c + 1							c − 1
								4			3			+ 1						−1					4			3	+				k							(	a +							b	)2			−	(		2 b			)2							a −					b						32b b
4. 1)					k −					k				+ 1								−						k	+				k		;			2)			a +							b				−			2 b						−				a −					b	:					32b b					;
4. 1)					k −																	−													;			2)												− b											−										:										;
											k + 1																	k − 1																				a		− b															a + b												a + b
		4			x	3	−		4		y	3																								x							a		3		+				ab			3			−		2							b	3
	3)				x		−				y					−		(4 x + 4 y )																4		x		+1 ;		4)			a				+				ab						−	a b −								b		.
	3)															−		(4 x + 4 y )																4				+1 ;		4)																												.
					x − y																															y						4 b3 + 4 a4b − 4 ab4 − 4 a3
															0,5																										1							1																			1				1
				x − 1								x			0,5				+ 1									2													1							1								ab							(ab)4 − b2
				x − 1								x							+ 1			+						2													a			2		b		2		−						ab							(ab)4 − b2
5. 1)											:																			;										2)																						:												;
5. 1)						1					:				1,5													−0,5		;										2)																	1		1			:				a − b								;
						1									1,5				− 1									−0,5																													1		1							a − b
			x + x2 + 1										x						− 1						x																											a + a 2b 2
								1 1					−1									3						3																						−2							1					c		−2		− c											2			−2
		2x + x2 y2																x				2 − y2											x − y									1 − c											−				2x 2			+		c				− c										+	2
																																																																							1								.
	3)					3x																			1 1 −												1 ;			4)																	c2														1							c2	.
	3)					3x																			1 1 −								1				1 ;			4)					1					−	1						c2					1					−	1										c2
																		x − x2 y2														x2 + y2										c			2 − c						2											c2 − c						2

324

Дополнительные упражнения к разделу 3

Решите уравнение (6–10):

6.	1) ( x2 − 7x + 10)2 = 2x2 − 9x + 7;					2) x2 + x2 − 1 − (x + x2 − 1) = 0;
	3)	(x + 1)(2x + 3) = x + 3;				4)	x + 1	2x + 3 = x + 3.
7.	1) ( 1 + x + 1)( 1 + x + 2x − 5) = x;					2)	2x2 + 3x + 2x2 − 3x − 5 = 3x;
	3)	x2 + 3x − 4 = 2x + 2;				4)	x2 − 7x + 1 = 2x2 − 15x + 8.
8.	1)	5x + 7 − 3x + 1 = x + 3;				2)	2x + 3 + 3x −1 = 5x + 2;
	3)	x + 3 − 4 x − 1 + x + 8 − 6 x − 1 = 1;
	4)	x + 11 − 6 x + 2 + x + 18 − 8 x + 2 = 1.
9.	1) 3 2x − 8 + 3 x − 8 = 2;					2) 3 8x + 4 + 3 8x − 4 = 2;
	3)	x + 3 + 3 5 − x = 2;				4) 3 2 − x = 1− x − 1.
10.	1)	3 x + 3 x − 16 = 3 x − 8;				2)	3 x − 1 + 3 x − 2 − 3 2x − 3 = 0;
	3)	x5 x − 1	+	5 x3 − 1	= 16;	4)	1	+	1	=	1	.
							x + 3 x		x − 3 x

		5 x3 − 1		5 x − 1						3

Решите систему уравнений (11–12).

11. 1)		x + y = 1,
11. 1)
	x − y + 2 = 2y − 2;
		7		−		4		=	5		,

									3
3)			x − 7			y + 6			3
3)		5				3			13
		5		−		3		=	13			;
			x − 7	−		y + 6		=	6			;
			x − 7			y + 6
			x + y		+ 4		2x − 1			= 5,
			x + y				2x − 1
12. 1)
12. 1)			2x − 1				x + y

	x = y + 1;

3)	2x + y − 1 − x + y = 1,
3)
	3x + 2y = 4;

Решите неравенство (13–21). 13. 1) 3x2 + 13 l1− 2x;

3)3x − x2 < 4 − x;

14. 1) x2 + 3x + 2 − x2 − x + 1 < 1;

			x + 3y + 1 = 2,
2)
	2x − y						+ 2 = 7y − 6;
			5			+		4			=	31			,

												20
				x − 9				y + 9				20
4)			3					2				7
			3			+		2			=	7		.
				x − 9		+		y + 9			=	20		.
				x − 9				y + 9
				x − y	+			x + y		=			10
				x − y				x + y					10		,
2)															,
2)				x + y				x − y				3

	xy − 2x − 2y = 2;
		3	x + 2y				+	3	x − y + 2 = 3,
4)			x + 2y				+		x − y + 2 = 3,
4)
	2x + y = 7.

2)x2 + x > 1− 2x;

4)x2 − x − 2 < 2x + 6.

2)3x2 + 5x + 7 − 3x2 + 5x + 2 > 1;

325

РАЗДЕЛ 3. Степенная функция

x − 7

< 0;

17 − 15x − 2x2

> 0.

4x2 − 19x + 12

x + 3

15.

x − 2

x − 1 + x + 2

x − 1 m2;

x + 4 x − 4 − x − 4

x − 4 l 3;

x + 3 > x − 1 + x − 2;

x + 6 >

2x − 4 + x + 1.

16.

−

> 1

−

− 3 <

1 −

3) (x − 1) x2 − x − 2 l0;

4) (x − 3) x2 + x − 2 l 0.

17.

(

)

+ 1

> x

− 1;

2) (x − 3) x2 + 1 mx2 − 9;

+ 1

6 + x − x2

;

12 + x − x2

2x + 5

x + 4

x − 11

2x − 9

18.

51 − 2x − x2

< 1;

2 − x + 4x − 3

l2;

1 − x

x + 5 < 1 + −x − 3 +

(x + 5)( −x − 3);

(x − 5)( −x + 7) + 1 > −x + 7 − x − 5.

19.

x + 6 > x + 1 +

2x − 5;

x + 3 >

x −1 + 2x −1;

x2 − 8x + 15 + x2 + 2x − 15 >

4x2 − 18x + 18;

20.

(1 − x)

1 − x + (1 + x)

1 + x l1;

x + (1 − x)

1 − x

> 1;

4 − 4x2 + 2(1 − x2 )

x2 − 2(x2 − x)

x − x2

1 − x2

1 + x

1 − x

l0;

−

m0.

1 − x

2 1 + x − 1

1 − x 1 − 1 + x

21.

−

(a > 0);

x − 2

x − 1

x + 2

x + 1

22.

Решите неравенство

1− x2 l

(x − a) при а = 0 и убедитесь, что множе

ством его корней является отрезок. При каких значениях а множеством решений данного неравенства является отрезок длиной 59 ?

23.При каких значениях параметра а множество решений неравенства a + x2 + ax lx не пересекается с промежутком [–1; 0]?

24.При каких значениях параметра а во множестве решений неравенства x + x2 − 2ax > 1 содержится промежуток 14 ; 1 ?

326

СВЕДЕНИЯ ИЗ ИСТОРИИ

Понятие степени возникло в древности. Сохранились глиняные плитки древних вавилонян (около 1700 г. до н. э.), которые содержат записи таблиц квадратов и кубов и их обратных значений. К умножению равных множите лей приводит решение многих задач. Выражение квадрат числа возникло вследствие вычисления площади квадрата, а куб числа — вследствие нахож дения объема куба. Но современные обозначения (типа а4, а5) введены в XVII в.

Р.Д е к а р т о м (1596—1650).

Дробные показатели степени и простейшие правила действий над степеня

ми с дробными показателями встречаются в XIV в. у французского математи ка Н. О р е м а (ок. 1323—1382). Известно, что Н. Ш ю к е (ок. 1445— ок. 1500) рассматривал степени с отрицательными и нулевым показателями.

С. С т е в и н предложил понимать под an корень n a . Но систематически дробные и отрицательные показатели первым стал применять И. Н ь ю т о н (1643—1727).

Немецкий математик М. Ш т и ф е л ь (1487—1567) ввел обозначение а0 =1, если a ≠ 1, и название показатель (это перевод с немецкого Ехроnеnt). Немец кое potenzieren означает возвести в степень. (Отсюда происходит и слово по тенцировать, которое будет применяться в следующем разделе для обозначе ния переходов от так называемых логарифмов (log) выражений f (x) и g (x)

к соответствующим степеням, то есть от равенства loga f(x) = loga g(x) к ра

венству aloga f (x) = aloga g (x) . В свою очередь, термин eхроnеnten возник вслед ствие не совсем точного перевода с греческого слова, которым Д и о ф а н т А л е к с а н д р и й с к и й (около ІІІ в.) обозначал квадрат неизвестной вели чины.

Термины радикал и корень, введенные в XII в., происходят от латинского radix, которое имеет два значения: сторона и корень. Греческие математики вместо «взять корень» говорили «найти сторону квадрата по его данной ве

личине (площади)». Знак корня в виде символа появился впервые в 1525 г. Современный символ введен Декартом, который добавил горизонтальную чер ту. Ньютон уже обозначил показатели корней: 3 , 4 .

Термин логарифм происходит от сочетания греческих слов «логос» (в зна чении «отношение») и «аритмос» (число) и переводится как отношение чи сел. Выбор изобретателем логарифмов Дж. Непером такого названия (1594 г.) поясняется тем, что логарифмы возникли вследствие сопоставления двух чи сел, одно из которых является членом арифметической прогрессии, а вто рое — геометрической. Логарифмы по основанию e ввел С п е й д е л (1619 г.), который составил первые таблицы для функции ln х. Название натуральный (естественный) для этого логарифма предложил Н. М е р к а т о р (1620—

1687), который выяснил, что ln х — это площадь под гиперболой y = 1 .

327

Раздел 4

Показательная и логарифмическая

функции

§29 ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ, ЕЕ СВОЙСТВА И ГРАФИК

Т а б л и ц а 49

1.Понятие показательной функции и ее график

Оп р е д е л е н и е. Показательной функцией называется функция вида

у= ах, где а > 0 и а ≠ 1.

График показательной функции (экспонента)

	а > 1				0 < а < 1

2. Свойства показательной функции

1. Область определения: x R.	D (ах) = R

2. Область значений: y > 0.	E (ах) = (0; +×)

3.Функция ни четная, ни нечетная.

4.Точки пересечения с осями координат:

	x = 0,
с осью Оy		с осью Оx	нет
	y = 1
	y = 1

5. Промежутки возрастания и убывания:

а > 1	0 < а < 1

функция у = ах	функция у = ах
при а > 1 возрастает	при 0 < а < 1 убывает
на всей области определения	на всей области определения

328

§29. Показательная функция, ее свойства и график

Пр о д о л ж. т а б л. 49

6.Промежутки знакопостоянства: у > 0 при всех значениях x R .

7.Наибольшего и наименьшего значений функция не имеет .

8.Для любых действительных значений u и v (a > 0, b > 0) выполня" ются равенства:


аuæаv = аu + v		au			= au−v		(au)v = auv
		av
(ab)u = aubu	(		a	)u =		au
			b			bu

Объяснение и обоснование

1.Понятие показательной функции и ее график. Показательной функцией называется функция вида y = ax, где а > 0 и а ≠ 1.

	1	x		3	x
Например, y = 2x, y = (	1	)	, y =	3		, y = πx — показательные функции.
2				2

Отметим, что функция вида y = аx существует и при а = 1.

Тогда y = ax = 1x, то есть у = 1 при всех значениях x R . Но в этом случае функция y = 1x не называется показательной. (График функции y = 1x — прямая, изображенная на рис. 118.)

Поскольку при а > 0 выражение ax

определено при всех действительных значениях x, то областью определения

показательной функции y = ax являют" ся все действительные числа.

Попытаемся сначала построить гра%

фики некоторых показательных функ%

Рис. 118

ций, например y = 2x и y = (12 )x «по точ%

кам», а затем перейдем к характеристике общих свойств показательной функ% ции.

Составим таблицу некоторых значений функции у = 2х.

x	–3	–2	–1		−		1	0		1	1	2	3
x	–3	–2	–1		−			0	2		1	2	3
					2				2

у = 2х	1	1	1	1		≈ 0,7		1	2 ≈ 1,4		2	4	8

	8	4	2	2
	8	4	2	2

329

	РАЗДЕЛ 4. Показательная и логарифмическая функции
а	б
	Рис. 119

Построим на координатной плоскости соответствующие точки (рис. 119, а) и соединим эти точки плавной линией, которую естественно считать графи% ком функции у = 2х (рис. 119, б).

Как видим из графика, функция у = 2х является возрастающей функцией, которая принимает все значения на промежутке (0; +×).

Аналогично составим таблицу некоторых значений функции y = (12 )x .

x		–3	–2	–1	−		1		0		1	1	2	3

											2
						2
1	x	8	4	2		≈			1	1	≈ 0,7	1	1	1

y = (2 )					2			1,4		2		2	4	8

Построим на координатной плоскости соответствующие точки (рис. 120, а) и соединимэтиточкиплавнойлинией,которуюестественно считатьграфикомфунк%

а	б
	Рис. 120

330

§ 29. Показательная функция, ее свойства и график

ции y = (12 )x (рис. 120, б). Как видим из графика, функция y = (12 )x является убывающей функцией, которая принимает все значения на промежутке (0; +×).

Заметим, что график функции y = (12 )x можно получить из графика функ% ции y = f (x) = 2x с помощью геометрических преобразований. Действительно,

y = (12 )x = 21x = 2–x = f (–x). Таким образом, график функции y = (12 )x симметри% чен графику функции y = 2x относительно оси Oy (табл. 4, с. 28), и поэтому, если функция y = 2x является возрастающей, функция y = (12 )x обязательно

будет убывающей.

Оказывается, что всегда при а > 1 график функции y = ax похож на график функции y = 2x, а при 0 < а < 1— на график функции y = (12 )x (рис. 121).

График показательной функции называется экспонентой.

2. Свойства показательной функции. Как было обосновано выше, областью определения показательной функции y = ax (а > 0 , а ≠ 1) являются все действи" тельные числа: D (ax) = R.

Областью значений функции y = ax является множество всех положитель% ных чисел, то есть функция y = ax принимает только положительные значе" ния, причем любое положительное число является значением функции, то есть

Е (ах) = (0; +×).

Это означает, что график показательной функции y = ax всегда располо% жен выше оси Ox и любая прямая, которая параллельна оси Ox и находится выше нее, пересекает этот график.

При а > 1 функция y = ax возрастает на всей области определения, а при 0 < а < 1 функция y = ax убывает на всей области определения.

Обоснование области значений и промежутков возрастания и убывания показательной функции проводится так: эти свойства проверяются последо% вательно для натуральных, целых, рациональных показателей, а затем уже переносятся на любые действительные показатели. Следует учесть, что при


а				б

Рис. 121

331

<<< < Предыдущая 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 3233 / 4533 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
16.08.2019358.53 Кб699354.rtf
#
08.08.20192.1 Mб3agrarne.doc
#
11.11.2019364.54 Кб2ajm_project_description_form_2012_en.doc
#
08.05.20191.03 Mб136ALEXANDER KAMENSK1.doc
#
02.12.20181.91 Mб8ALFRED.doc
#
20.03.20155.2 Mб116Algebra_10kl_RU.pdf
#
20.07.201940.96 Кб1AMERICAN%20VALUES.doc
#
20.03.2015574.46 Кб225anatomia.doc
#
20.03.201531.23 Кб30Antonyme.doc
#
30.04.201583.34 Кб25Arduino Uno Rev.3.pdf
#
20.03.2015693.36 Кб19Art of speaking.docx