11. Міра Лебега-Стілт’єса

Нехай як и при побудові міри Лебега - фіксований пів інтервал,R – алгебра, що породжується системою усіх пів інтервалів , тобто елементами алгебри є множини вигляду:,. Нехай назадана неспадна, обмежена неперервна зліва функція. Знаючи її значенняможемо вважати, що вона задана на.Приростом функції на пів інтервалібудемо називати величину. Для довільної множиниR визначимо її прирост за формулою: .

Теорема 1.	(Визначення міри за допомогою неспадної функції)
	Визначимо на алгебрі R функцію ,. Тоді функція- є мірою наR.

За побудованою мірою будуємо зовнішню міру та критерій вимірності, тобто одержимо алгебру вимірних множин. Одержана міра називаєтьсямірою Лебега-Стілт’єсса. Вона має такі властивості:

Властивості.	(Міри Лебега-Стілт’єсса)
1.	(Вимірність одно точкової множини)
	Будь-яка одно точкова множина вимірна за ЛС, причому .
2.	(Вимірність проміжків)
	Будь-який проміжок вимірний за ЛС.
3.	(Вимірність борелевських множин)
	Будь-яка борелевська множина вимірна за ЛС.

Для узагальнення міри ЛС на випадок усієї дійсної осі та обмеженої функції слід запропонувати таку схему: все повністю аналогічно вищенаведеному, тільки покладемо: .

Для узагальнення на випадок необмеженої функції слід зробити ось що: якщо , то будемо називати вимірними ті множини, для якихвимірними за ЛС є множини, а мірою такої множини визначимо так:. Ця міраскінчена.

Аналогічно міра узагальнюється на випадок всього простору та необмеженої функції, а також у простір .

Теорема 2.	(Відновлення функції за скінченою мірою)
	Нехай задана скінчена міра наалгебріL підмножин , що містять усі борелевські підмножиниB. Тоді існує неспадна неперервна зліва функція така, що міраспівпадає наB з мірою ЛС , що побудована за функцією.

Наслідок.	(Відновлення функції за скінченоюмірою)
	Теорема 2 залишається чинною, якщо задана міра скінчена.