7. Граничний перехід під знаком інтегралу

Теорема 1.	(Теорема Лебега про граничний перехід)
	Нехай послідовність - сумовних функцій збігається за мірою до функції, а також існує така сумовна функція, що. Тоді функція- сумовна і.

Приклад 1.	(Заперечення теореми Лебега на випадок інтегралу Рімана)

Теорема 2.	(Лема Фату)
	Нехай послідовність невід’ємних ВФ збігається за мірою до функції. Тоді.

Теорема 3.	(Леві)
	Нехай неспадна послідовність невід’ємних ВФ:, та нехай. Тоді.

8. Інтегрування по множині нескінченної міри

Нехай як і раніше A - простір з скінченою мірою, у якому. З визначення слідує, що існує неспадна послідовність ВМ, для якоїі.

Спочатку розглянемо випадок невід’ємної функції. Нехай - вимірна невід’ємна на. Оскільки усі множини- вимірні, то мають зміст інтеграли. Вони мають скінченні чи нескінченні значення. Зрозуміло, що послідовністьнеспадна, а тому існує границя з.

Інтеграл Лебега від невід’ємної функції по множинізскінченою мірою визначається рівністю: . Якщо, то функціюназиваютьсумовною, або інтегрованою за Лебегом на .

Лема 1.	(Коректність визначення ІЛ для невід’ємної функції)
	Визначення ІЛ не залежить від вибору послідовності ВМ .

Доведення. Нехай задана інша монотонно неспадна послідовність ВМ , що задовольняє умови:,. Покажемо, що.

Побудуємо з послідовності диз’юнктну послідовність, для якої виконуються умови:,. Тоді, а звідси внаслідок зліченої адитивності ІЛ маємо:

. Якщо тепер перейти до границі при , одержимо нерівність:. Внаслідок рівноправності послідовностейодержимо аналогічно протилежну нерівність, а тому має місце потрібна рівність.

Лема доведена.

Нехай тепер - ВФ довільного знаку. Визначимо невід’ємні функції.

Функція називається сумовною, або інтегрованою за Лебегом на , якщо сумовні на обидві функції. При цьому інтеграл Лебега визначається рівністю:.

Для сумовності ВФ необхідно й достатньо сумованість.При цьому залишаються чинними теореми про граничний перехід, Фату, Леві.

9. Інтегрування по просторах нескінченної міри

Нехай A простір з скінченою мірою, так що. Тому існує монотонно неспадна послідовність вимірних множин, для якоїта. Нехай- невід’ємна ВФ. Оскільки усі множини- вимірні та мають скінчену міру, то мають зміст інтеграли, при цьому одержана послідовність інтегралів також неспадна. А тому існує скінчена чи нескінченна границя.

Інтеграл Лебега від невід’ємної ВФ по множинізскінченою мірою визначається рівністю:. Якщо остання границя скінчена, то функціюназиваютьсумовною, або інтегрованою за Лебегом на просторі .

Теорема 1.	(Визначення ІЛ коректне)
	ІЛ не залежить від вибору вичерпної послідовності множин .

Нехай тепер - ВФ довільного знаку, тоді розглянемо невід’ємні функції. Тоді природно дати таке визначення:- називаєтьсясумовною, або інтегрованою за Лебегом на множині , якщо сумовані обидві функції. При цьомуінтеграл Лебега визначається рівністю: .

Також неважко показати, що сумовність функції еквівалентна сумовності функції, а також усі властивості, такі як лінійність, інтеграл від нерівних функцій тощо залишаються чинними. Теореми про граничний перехід також будуть справджуватись у цьому випадку.

Теорема 2.	(Зв’язок ІЛ та невласного ІР другого роду)
	Для абсолютної збіжності невласного ІР необхідно й достатньо, щоб функціябула сумовною на. При виконанні цих умов має місце рівність:.

Теорема 2.	(Зв’язок ІЛ та невласного ІР першого роду)
	Для абсолютної збіжності невласного ІР необхідно й достатньо, щоб функціябула сумовною на. При виконанні цих умов має місце рівність:.