- •Глава 11
- •1. Вимірні функції
- •2. Послідовності вимірних функцій
- •3. Прості функції. Теорема Лузіна
- •4. Інтеграл Лебега від простих функцій
- •5. Інтеграл Лебега від обмежених вф
- •6. Інтеграл Лебега від необмежених невід’ємних вф
- •7. Граничний перехід під знаком інтегралу
- •8. Інтегрування по множині нескінченної міри
- •9. Інтегрування по просторах нескінченної міри
- •10. Теорема Фубіні
- •11. Міра Лебега-Стілт’єса
Глава 11
Вимірні функції. Інтеграл Лебега
1. Вимірні функції
Простір з мірою – це вимірний простір A, в якому на алгебріA визначена міра . Його позначають трійкоюA, але частіше ми його будемо позначати як і раніше буквою . В подальшому ми будемо вивчати функції, що визначені на вимірному просторі.
Нехай A та A1 - вимірні простори, нехай задана функція . Її називаютьвимірною функцією, якщо прообраз будь-якої A1-вимірної множини A-вимірний, тобто A1 її прообраз A.
Зрозуміло, що нас будуть цікавити в основному числові вимірні функції, тому в подальшому будемо вважати, що . Будемо вважати ввимірними борелевські множини. Тодівимірність функції (ВФ) означає, що для будь-якої борелевської множинийого прообраз вимірний, тобтоA. Якщо функція визначена на алгебрі борелевських множинB, то вона називається вимірною за Борелем, а якщо на алгебрі лебегівських множинL - вимірною за Лебегом.
Позначимо через множину, аналогічно для інших типів нерівностей.
Теорема 1. |
(Критерій вимірності функції) |
|
Функція - вимірна тоді і тільки тоді, колимножина- вимірна. |
Доведення. Необхідність. Зрозуміло, що множина - борелевська, а тому її прообраз, тобто множина- відкрита.
Достатність. Легко зрозуміти, що множини, прообрази яких вимірні, утворюють алгебру. Якщо множина- вимірна, томи маємо (використовуючи властивості прообразів):- вимірна. Таким чином, система підмножин, прообрази яких вимірні, є алгеброю, що містить усі півінтервали вигляду, а тому містить усі борелевські множини.
Теорема доведена.
Теорема 2. |
(Еквівалентний критерій вимірності функцій) |
|
Теорема 1 залишиться чинною, якщо множину замінити на будь-яку з множин,чи. |
Доведення. Достатньо одержати такі рівності: ;.
Теорема доведена.
Лема 1. |
(Вимірність характеристичної функції) |
|
Множина - вимірна- ВФ. |
Доведення слідує з рівності: .
Теорема 3. |
(Вимірність неперервних функцій) |
|
Неперервна функція вимірна за Борелем. |
Доведення. Для неперервної функції прообраз відкритої множини відкритий, тому множина- відкрита.
Теорема доведена.
Теорема 4. |
(Вимірність композиції) |
|
Якщо ВФ. Тоді- ВФ за Борелем їх композиція- ВФ. |
Доведення. , де- вимірна за Борелем множина, а тому й її прообраз є вимірним, а тому й множина- вимірна, тобто- вимірна.
Теорема доведена.
Зауваження. |
Для функцій вимірних за Лебегом твердження не вірне. |
Теорема 5. |
(Арифметичні дії з ВФ) |
|
Якщо - ВФ,, то наступні функції вимірні:,,,,,,(якщо),,. |
Доведення.
1) .
2) При - очевидно, інакше:.
3) .
4) .
5) Нехай - послідовність усіх раціональних чисел, тоді.
6) .
7) , доведемо, що- ВФ..
8) ,.
Теорема доведена.
Теорема 6. |
(Вимірність границі) |
|
Нехай - ВФ,, тоді- ВФ. |
Доведення. . З цієї рівності усе слідує. Доведемо її.(лівій частині)належить правій частині. Навпаки, якщоналежить правій частині, то, а тому при, одержимо, тобтоналежить лівій частині.
Теорема доведена.