3. Прості функції. Теорема Лузіна

Числова функція , що визначена на вимірному просторіA називається простою, якщо вона приймає лише скінчену кількість різних значень (ці значення вважаються скінченими).

Легко зрозуміти, що будь-яку просту функцію можна подати у вигляді лінійної комбінації характеристичних функцій диз’юнктної сукупності множин. І справді, якщо функція приймає значення , то покладемо, тоді:

, (1)

при цьому;

. (2)

Теорема 1.	(Вимірність простої функції)
	Проста функція , що побудована для розбиття(1) дійсної осі , вимірна тоді і тільки тоді, коли усі множинивимірні.

Необхідність. Якщо - вимірна, то кожна з множинвимірна як прообраз вимірної множини.

Достатність. Якщо усі множини вимірні, то за лемою 1 кожна з характеристичних функцій – вимірна, а тому й- вимірна лінійна комбінація вимірних функцій.

Теорема доведена.

Наслідок.	(Комбінація простих функцій)
	Лінійна комбінація та добуток простих вимірних функцій також є простими вимірними функціями.

Теорема 2.	(Границя послідовності простих функцій)
	Для будь-якої вимірної функції , що задана на вимірному просторіA, існує послідовність простих вимірних функцій, що збігаються дов кожній точці. Якщо функція- обмежена на, то послідовністьможна вибрати рівномірно збіжною дона. Якщо ж, то можна таким чином вибрати послідовність функцій, щоб вона була неспадною.

Доведення. Почнемо з невід’ємних функцій. Нехай , тодіпокладемо:

(3)

Очевидно, що побудована послідовність складається з простих функцій, а також вона є неспадною. Вимірність функцій слідує безпосередньо з теореми 1. З’ясуємо її збіжність. Покажемо, що

.(4)

Якщо , то для достатньо великихбудемо мати, а тому з(3) слідує, що , а тому й слідує(4) для цих значень. Якщо ж , то, що й треба було довести.

Якщо - обмежена, тобто, то приз(3) слідує: :, що й означає, що. Для невід’ємних функцій теорема доведена.

Якщо не знакостала, то розглянемо додатну та від’ємну частини функції :

,.

Оскільки - вимірні функції, то для них теорема вже доведена, а далі залишається скористатися властивістю:.

Теорема доведена.

Теорема 3.	(Лузіна про С-властивість)
	Нехай вимірна за Лебегом множина скінченої міри і нехай функція- вимірна за Лебегом, а також майже всюди скінчена. Тодііснує замкнена множинатака, що звуження функціїна множинує неперервною функцією, і при цьому.

Доведення. Розглянемо спочатку випадок простої вимірної функції , де простір- складений з вимірних множин. З відомих раніше твердженьіснує замкнена множина:, а також покладемо. За побудовою- замкнена, крім того, а також, а тому. Крім того, звуженняна- неперервне.

Нехай тепер - довільна вимірна функція. Побудуємо послідовність простих функцій, що збігається дона. З теореми Єгорова існує така вимірна множина:та на множині. Легко зрозуміти, що можна вважати множинузамкненою. З першої частини теоремиіснує замкнена множинатака, що, та звуженняна множину- неперервне. Покладемо. З умови неперервностіната рівномірної збіжностіслідує, що й гранична функціянеперервна. Крім того.

Теорема доведена.

Зауваження.

Теорема Лузіна може бути узагальненою на простір з нескінченною мірою.