Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Lektsii_Rubleva_1 / Гл 11 Вим_рн_ функц_ї _нтеграл Лебега / Пар 11-11 М_ра Лебега-Ст_лтєса

.doc
Скачиваний:
92
Добавлен:
19.03.2015
Размер:
83.97 Кб
Скачать

Глава 11

Вимірні функції. Інтеграл Лебега

11. Міра Лебега-Стілт’єса

Нехай як и при побудові міри Лебега - фіксований пів інтервал, R – алгебра, що породжується системою усіх пів інтервалів , тобто елементами алгебри є множини вигляду: , . Нехай на задана неспадна, обмежена неперервна зліва функція . Знаючи її значення можемо вважати, що вона задана на . Приростом функції на пів інтервалі будемо називати величину . Для довільної множини R визначимо її прирост за формулою: .

Теорема 1.

(Визначення міри за допомогою неспадної функції)

Визначимо на алгебрі R функцію , . Тоді функція - є мірою на R.

За побудованою мірою будуємо зовнішню міру та критерій вимірності, тобто одержимо алгебру вимірних множин. Одержана міра називається мірою Лебега-Стілт’єсса. Вона має такі властивості:

Властивості.

(Міри Лебега-Стілт’єсса)

1.

(Вимірність одно точкової множини)

Будь-яка одно точкова множина вимірна за ЛС, причому .

2.

(Вимірність проміжків)

Будь-який проміжок вимірний за ЛС.

3.

(Вимірність борелевських множин)

Будь-яка борелевська множина вимірна за ЛС.

Для узагальнення міри ЛС на випадок усієї дійсної осі та обмеженої функції слід запропонувати таку схему: все повністю аналогічно вищенаведеному, тільки покладемо: .

Для узагальнення на випадок необмеженої функції слід зробити ось що: якщо , то будемо називати вимірними ті множини, для яких вимірними за ЛС є множини , а мірою такої множини визначимо так: . Ця міра скінчена.

Аналогічно міра узагальнюється на випадок всього простору та необмеженої функції, а також у простір .

Теорема 2.

(Відновлення функції за скінченою мірою)

Нехай задана скінчена міра на алгебрі L підмножин , що містять усі борелевські підмножини B. Тоді існує неспадна неперервна зліва функція така, що міра співпадає на B з мірою ЛС , що побудована за функцією .

Наслідок.

(Відновлення функції за скінченою мірою)

Теорема 2 залишається чинною, якщо задана міра скінчена.