Lektsii_Rubleva_1 / Гл 11 Вим_рн_ функц_ї _нтеграл Лебега / Пар 11-11 М_ра Лебега-Ст_лтєса
.docГлава 11
Вимірні функції. Інтеграл Лебега
11. Міра Лебега-Стілт’єса
Нехай як и при побудові міри Лебега - фіксований пів інтервал, R – алгебра, що породжується системою усіх пів інтервалів , тобто елементами алгебри є множини вигляду: , . Нехай на задана неспадна, обмежена неперервна зліва функція . Знаючи її значення можемо вважати, що вона задана на . Приростом функції на пів інтервалі будемо називати величину . Для довільної множини R визначимо її прирост за формулою: .
Теорема 1. |
(Визначення міри за допомогою неспадної функції) |
|
Визначимо на алгебрі R функцію , . Тоді функція - є мірою на R. |
За побудованою мірою будуємо зовнішню міру та критерій вимірності, тобто одержимо алгебру вимірних множин. Одержана міра називається мірою Лебега-Стілт’єсса. Вона має такі властивості:
Властивості. |
(Міри Лебега-Стілт’єсса) |
1. |
(Вимірність одно точкової множини) |
|
Будь-яка одно точкова множина вимірна за ЛС, причому . |
2. |
(Вимірність проміжків) |
|
Будь-який проміжок вимірний за ЛС. |
3. |
(Вимірність борелевських множин) |
|
Будь-яка борелевська множина вимірна за ЛС. |
Для узагальнення міри ЛС на випадок усієї дійсної осі та обмеженої функції слід запропонувати таку схему: все повністю аналогічно вищенаведеному, тільки покладемо: .
Для узагальнення на випадок необмеженої функції слід зробити ось що: якщо , то будемо називати вимірними ті множини, для яких вимірними за ЛС є множини , а мірою такої множини визначимо так: . Ця міра скінчена.
Аналогічно міра узагальнюється на випадок всього простору та необмеженої функції, а також у простір .
Теорема 2. |
(Відновлення функції за скінченою мірою) |
|
Нехай задана скінчена міра на алгебрі L підмножин , що містять усі борелевські підмножини B. Тоді існує неспадна неперервна зліва функція така, що міра співпадає на B з мірою ЛС , що побудована за функцією . |
Наслідок. |
(Відновлення функції за скінченою мірою) |
|
Теорема 2 залишається чинною, якщо задана міра скінчена. |