10. Теорема Фубіні

Нехай L R - вимірні простори. В кожному з цих просторів визначені відповідніалгебри вимірних множин. Визначимо в просторіструктуру вимірного простору. Нехай L, R – вимірні множини у відповідних просторах. Прямокутником зі сторонами і назвемо прямий добуток:

. Позначимо через L R алгебру підмножин , що породжується системою таких прямокутників. Ця алгебра взагалі кажучи не єалгеброю. Як легко побачити ця алгебра складається з всіляких скінчених об’єднань попарно неперетинаючихся диз’юнктних прямокутників з вимірними сторонами.алгебру, що породжується системою таких прямокутників позначимоL R. Назвемо її прямим добутком алгебр L , R , а множини що входять до цієї алгебри – вимірними.

Нехай - довільна підмножина прямого добутку,- довільна точка.Перерізом множини за допомогою точки, або перерізом множини називається множина , що визначається рівністю:. Аналогічно для фіксованоговизначаєтьсяпереріз .

Лема 1.	(Вимірність перерізів множин)
	Кожний переріз вимірної множини – вимірна множина.

Позначимо через W систему усіх множин , усіперерізи яких вимірні. ТодіW - алгебра. Це слідує з того, що,,. Нехай тепер- прямокутник з вимірними сторонами, тоді- це або, або порожня множина, тобто- вимірна при будь-якому. Це означає, щоW . оскільки L R - найменша алгебра, що містить усі прямокутники з вимірними сторонами, тоL R W .

Нехай на множині задана функціята- фіксована точка.Перерізом заданої функції за допомогою точки , або перерізом, називається функція , що визначається на множинірівністю:,. Аналогічно визначається переріз .

Лема 2.	(Вимірність перерізів функцій)
	Кожний переріз ВФ є ВФ.

Нехай L та R - простори з скінченими мірами. Покажемо, як можна визначити міру в прямому добутку L R . Цю міруприродно примусити, щоб виконувалися умова- вимірного прямокутника. Покажемо, що такою умовою міра визначається однозначно. Для її побудови можна її спочатку визначити на алгебріL R, а далі продовжити на алгебруL R . але є шлях простіший.

Теорема 1.	(Зв’язок мір при інтегруванні)
	Нехай L та R - простори з скінченими мірами, - будь-яка вимірна підмножина з. Тоді функції, що задаються відповідно нарівностями,вимірні та при цьому.

Теорема 2.	(Визначення міри на добутку)
	Нехай L та R - простори з скінченими мірами, - будь-яка вимірна підмножина з. Тоді функція множин, що визначається рівністю:є скінченою мірою, при цьому джля будь-якого вимірного прямокутника. Останньою умовою функціявизначається однозначно.

Легко зрозуміти, що останні теореми справджуються для скінчених мір.

Вище визначена міра називається добутком мір та позначається .

Нехай L та R - простори з скінченими мірами. Тоді, як показано вище, на прямому добутку просторівL R визначена скінчена міра. Розглянемо функцію, для якої має зміст інтеграл по мірі:

.(1)

Інтеграл (1) називається подвійним.

Нехай тепер функція така, що для неї існує інтеграл, де- переріз функції, причому інтегралтакож має зміст. В такому випадку покладемо

.(2)

Аналогічно, якщо мають зміст інтеграли та, то можемо покласти

.(3)

Інтеграли (2),(3) називаються повторними. При яких умовах має місце рівність?

Теорема 1.	(Тонеллі)
	Якщо - вимірна на множиніневід’ємна функція, то
		(4)

Доведення. Нехай , деL R . тоді . Крім того,, аналогічно. З останньої теореми

,, тобто в такому випадку рівність доведена.

Нехай тепер - довільна невід’ємна ВФ. Тоді існує неспадна послідовність невід’ємних простих ВФ, що збігається дов кожній точці. Оскільки проста функція – це лінійна комбінація індикаторів вимірних множин, то для кожної функції з цієї послідовностітвердження теореми вже доведено. При цьому внаслідок теореми Леві:

.(5)

Обчислимо іншим способом ліву частину цієї рівності. Оскільки для твердження теореми має місце, то

,(6)

де - невід’ємні ВФ.

Оскільки послідовність - при кожному фіксованому-неспадна та функції- вимірні відносно мірияк перерізи ВФ, то за теоремою Леві:

,.(7)

Звідси, зокрема слідує вимірність функції . Знову за теоремою Леві маємо:

, з урахуванням рівностей(6),(7) , порівнюючи останнє з(5), одержимо: . Аналогічно доводиться й друга рівність.

Теорема доведена.

Теорема 2.	(Фубіні)
	Якщо - сумовна функція на множині, то майже усі її перерізи сумовні. При цьому функції, що визначаються рівностями,сумовні та
		(8)

Доведення. Нехай невід’ємна. Тоді рівність(8) слідує з попередньої теореми. Оскільки - сумовна, то ліва її частина скінчена, тому й скінчені обидва повторних інтеграла, тобто інтеграли. Це означає, що функціїсумовні, а тому вони майже всюди скінченні, але тоді і майже усі перерізи функціїсумовані. Таким чином для невід’ємної функції ус доведено.

Якщо - сумована функція довільного знаку, то подамо її у вигляді. Сумованість усієї функціїеквівалентна за означенням сумованості обох функцій. Але оскільки для цих функцій твердження теореми мають місце, то вони мають і для усієї функції.

Теорема доведена.

Зауваження 1.

Формула (8) легко переноситься на випадок інтегрування не по усьому простору , а по довільній вимірній множині.

Зауваження 2.

Умова сумованості функції є суттєвою, бо з існування та навіть рівності повторних інтегралів не слідує її сумованість.

Побудови двох останніх розділів легко переносяться на випадок довільної скінченої кількості просторів з мірами. Найпростіше це робиться методом математичної індукції.