- •Глава 11
- •1. Вимірні функції
- •2. Послідовності вимірних функцій
- •3. Прості функції. Теорема Лузіна
- •4. Інтеграл Лебега від простих функцій
- •5. Інтеграл Лебега від обмежених вф
- •6. Інтеграл Лебега від необмежених невід’ємних вф
- •7. Граничний перехід під знаком інтегралу
- •8. Інтегрування по множині нескінченної міри
- •9. Інтегрування по просторах нескінченної міри
- •10. Теорема Фубіні
- •11. Міра Лебега-Стілт’єса
2. Послідовності вимірних функцій
Деяка властивість виконується -майже всюди (майже всюди, майже скрізь), якщо вона справджується на множині , де.
Усі функції, які будуть вивчатися в подальшому вважаються майже всюди скінченими, тобто .
Дві функції називаютьсяеквівалентними, якщо вони майже всюди співпадають. Позначатимемо цей факт так: ~.
Теорема 1. |
(Відношення еквівалентності) |
|
Відношення, що визначено вище є відношенням еквівалентності. |
Доведення очевидне.
Внаслідок цієї теореми можна розглядати фактор множини в просторі усіх вимірних функцій, тобто множину класів, кожен з яких складається з еквівалентних функцій. При вивченні теорії вимірних функцій, теорії інтегрування часто можна нехтувати значеннями функцій на множинах міри нуль. Це означає, що ВФ можна замінити будь-якою їй еквівалентною, тобто довільною функцією з того ж класу еквівалентності. Інакше кажучи, при розглядання вказаних питань, кажучи про функцію, ми маємо не одну функцію, а клас еквівалентних функцій.
Розглянемо усі функції визначеними на просторі A із скінченою мірою. Визначимо або нагадаємо різні типи збіжностей послідовностей ВФ.
Послідовність ВФ рівномірно збігається до ВФ .
Послідовність ВФ поточково збігається до ВФ .
Зрозуміло, що з поточкової збіжності рівномірна збіжність не слідує, а от з рівномірної завжди слідує поточкова. Вище було доведено, що гранична функція поточково (і рівномірно) збіжної послідовності ВФ також буде ВФ.
Послідовність ВФ збігається майже всюди до ВФ .
Послідовність скінчених ВФ називаєтьсязбіжною за мірою до ВФ , якщо.
Лема 1. |
(Міра додатності ВФ) |
|
Якщо - ВФ та. Тоді:. |
Доведення. З очевидної рівності та із зліченої напівадитивності міри, одержимо, а тому принаймні один доданок правої частини додатний.
Лема доведена.
Теорема 2. |
(Єдність границі за мірою) |
|
Якщо ,, то. |
Доведення. Якщо припустити, що , тобто, тоді з леми:, але тоді
. Звідки одержимо:
- протиріччя. Теорема доведена.
Теорема 3. |
(Лебега) |
|
Якщо послідовність ВФ , то. |
Доведення. Позначимо як множину, для якої, тоді за умовою. Покладемо,,. Зрозуміло, що усі ці множини вимірні. Крім того,спадна, а тому з теореми про неперервність. Покажемо, що. Якщодля заданого:. Тобто, оскільки, томуі з умовиодержимо потрібне:.
Теорема доведена.
Зауваження. |
Зворотне твердження до теореми Лебега не має місця, тобто існують послідовності вимірних функцій, що збігаються за мірою, але не збігаються майже всюди. |
Теорема 4. |
(Рісса) |
|
Нехай послідовність скінчених ВФ збігається за мірою до ВФ. Тоді з неї можна виділити таку підпослідовність, для якої. |
Доведення. Розглянемо монотонно спадну до нуля послідовність додатних чисел , а також послідовність додатних чисел, для якої збігається ряд. Покажемо, як вибирати потрібну підпослідовність.
Оскільки , то:. Аналогічно:. І так далі,:. Покажемо, що .
Покладемо ,. Зрозуміло, що- спадна, а тому, крім того, а тому із збіжності ряду його залишок прямує до нуля, а тому й при, з чого. Залишається показати, що. Нехай, тодіпри деякому. Але тоді з визначення:. З слідує, що умови.
Теорема доведена.
Зауваження 1. |
Теорема Рісса припускає узагальнення на випадок скінченої міри. |
Зауваження 2. |
Теорема Лебега не припускає узагальнення на випадок скінченої міри. |
Теорема 5. |
(Єгорова) |
|
Нехай послідовність ВФ збігається майже всюди до ВФ. Тоді- вимірна множина, така щота назбігається дорівномірно. |
Доведення. покладемо . При доведенні теореми Лебега було доведено, що. Розглянемо монотонно спадну послідовність додатних чисел, що прямує до нуля, а також додатний збіжний ряд.:. Знайдемо таке, що, покладемо. З останніх нерівностей. Покладемо, то очевидно, що . Покажемо, щона.. Виберемотак, щоб. Тоді:, що й доводить потрібну збіжністьна.
Теорема доведена.