24

Глава 11

Вимірні функції. Інтеграл Лебега

1. Вимірні функції

Простір з мірою – це вимірний простір A, в якому на алгебріA визначена міра . Його позначають трійкоюA, але частіше ми його будемо позначати як і раніше буквою . В подальшому ми будемо вивчати функції, що визначені на вимірному просторі.

Нехай A та A₁ - вимірні простори, нехай задана функція . Її називаютьвимірною функцією, якщо прообраз будь-якої A₁-вимірної множини A-вимірний, тобто A₁ її прообраз A.

Зрозуміло, що нас будуть цікавити в основному числові вимірні функції, тому в подальшому будемо вважати, що . Будемо вважати ввимірними борелевські множини. Тодівимірність функції (ВФ) означає, що для будь-якої борелевської множинийого прообраз вимірний, тобтоA. Якщо функція визначена на алгебрі борелевських множинB, то вона називається вимірною за Борелем, а якщо на алгебрі лебегівських множинL - вимірною за Лебегом.

Позначимо через множину, аналогічно для інших типів нерівностей.

Теорема 1.	(Критерій вимірності функції)
	Функція - вимірна тоді і тільки тоді, колимножина- вимірна.

Доведення. Необхідність. Зрозуміло, що множина - борелевська, а тому її прообраз, тобто множина- відкрита.

Достатність. Легко зрозуміти, що множини, прообрази яких вимірні, утворюють алгебру. Якщо множина- вимірна, томи маємо (використовуючи властивості прообразів):- вимірна. Таким чином, система підмножин, прообрази яких вимірні, є алгеброю, що містить усі півінтервали вигляду, а тому містить усі борелевські множини.

Теорема доведена.

Теорема 2.	(Еквівалентний критерій вимірності функцій)
	Теорема 1 залишиться чинною, якщо множину замінити на будь-яку з множин,чи.

Доведення. Достатньо одержати такі рівності: ;.

Теорема доведена.

Лема 1.	(Вимірність характеристичної функції)
	Множина - вимірна- ВФ.

Доведення слідує з рівності: .

Теорема 3.	(Вимірність неперервних функцій)
	Неперервна функція вимірна за Борелем.

Доведення. Для неперервної функції прообраз відкритої множини відкритий, тому множина- відкрита.

Теорема доведена.

Теорема 4.	(Вимірність композиції)
	Якщо ВФ. Тоді- ВФ за Борелем їх композиція- ВФ.

Доведення. , де- вимірна за Борелем множина, а тому й її прообраз є вимірним, а тому й множина- вимірна, тобто- вимірна.

Теорема доведена.

Зауваження.

Для функцій вимірних за Лебегом твердження не вірне.

Теорема 5.	(Арифметичні дії з ВФ)
	Якщо - ВФ,, то наступні функції вимірні:,,,,,,(якщо),,.

Доведення.

1) .

2) При - очевидно, інакше:.

3) .

4) .

5) Нехай - послідовність усіх раціональних чисел, тоді.

6) .

7) , доведемо, що- ВФ..

8) ,.

Теорема доведена.

Теорема 6.	(Вимірність границі)
	Нехай - ВФ,, тоді- ВФ.

Доведення. . З цієї рівності усе слідує. Доведемо її.(лівій частині)належить правій частині. Навпаки, якщоналежить правій частині, то, а тому при, одержимо, тобтоналежить лівій частині.

Теорема доведена.