5_Zakony zberezhennia

Розділ 5

ЗАКОНИ ЗБЕРЕЖЕННЯ

Три закони динаміки частинки – три закони Ньютона, розглянуті в попередньому розділі

дають можливість розв’язувати значну кількість практично важливих задач.

Однак для їх успішного застосування необхідно знати сили, прикладені до частинки в кожний момент часу, що не завжди можливо. На точність результату знаходження як швидкості частинки, так і її радіус-вектора також суттєво впливає точність, з якою відомі

початкові умови.

Ситуація принципово ускладнюється, якщо йдеться про опис механічного руху значної кількості частинок, які утворюють систему частинок, що взаємодіють між собою. Механічний стан системи частинок ми будемо вважати заданим, якщо відомі положення і швидкості всіх

окремо:

6n початкових умовах.

У цьому випадку:

а) сила, що діє на кожну частинку системи в кожний момент часу, як правило, не відома;

б) неточність у початкових умовах окремої частинки може радикально змінити рух цієї частинки, а через це й інших частинок;

в) при дуже великій кількості частинок (наприклад, молекул газу в деякому макроскопічному об’ємі) розв’язання величезної кількості рівнянь стає нездоланою перешкодою навіть для сучасних комп’ютерів.

135

І, нарешті, останнє, можливо найбільш суттєве: якби навіть вдалося обчислити радіус-

вектори (координати) всіх частинок системи та їх швидкості в будь-який момент часу, то це була б сукупність характеристик поведінки окремих частинок, а не системи в цілому.

Розглянемо простий приклад. Нехай ми маємо дві системи частинок – молекул деякого газу,

взятого в кількості одного моля в двох різних посудинах, що мають, наприклад, різні об’єм або форму.

Якщо навіть уявити, що нам вдалося розрахувати траєкторії і швидкості всіх молекул (а їх кількість у

механічного стану цих двох систем частинок на підставі цих колосальних масивів даних практично неможливо. Також цілком очевидно, що додавання однієї, десяти, чи навіть тисячі молекул до будь-якої з вищезгаданих систем частинок не спричинить суттєвої зміни її макроскопічної поведінки.

Отже, постає задача знайти такі величини, які б характеризували механічний стан системи в цілому через характеристики механічного стану її частинок і при цьому не залежали б у явному вигляді від механічного стану кожної окремої частинки.

Наш план буде такий.

Спочатку ми знайдемо величини, які є функціями механічного стану частинки, але залишаються незмінними (сталими) в процесі вільного руху частинки, тобто такого, коли відсутня її взаємодія з іншими матеріальними об’єктами. Про такі величини кажуть, що вони зберігаються.

На другому етапі ми з’ясуємо, внаслідок чого можуть змінюватися величини, які були незмінними для вільних частинок, і за яких умов ці величини можуть залишатися незмінними і для частинок, які вже не є вільними, а взаємодіють з іншими матеріальними об’єктами.

На третьому етапі ми розглянемо систему частинок, які не взаємодіють а ні між собою а ні з іншими матеріальними об’єктами. Таку систему можна розглядати як сукупність вільних частинок. Побудуємо суми знайдених на першому етапі величин, які залишаються незмінними

(сталими) в процесі вільного руху однієї частинки, для всіх частинок системи. Очевидно, що такі суми також будуть залишатися незмінними (сталими) в процесі руху вільних частинок частинок цієї сукупності. При цьому кожна з цих сум буде функцією величин, які характеризують механічний стан частинок системи, а саме їх радіус-векторів і векторів швидкості.

137

коефіцієнти. Із врахуванням сказаного можна побудувати три величини, які залишаються незмінними при русі вільної частинки, а саме:

безпосередньо з їх формул: розмірність імпульсу є кг м с 1 , моменту імпульсу кг м2 с 1 ,

кінетичної енергії кг м2 с 2 .

З’ясуємо за яких умов і за рахунок чого можуть змінюватися з часом імпульс, момент імпульсу та кінетична енергія частинки, що не є вільною. Для цього обчислимо похідні за

часом від цих величин.

Умови зміни та збереження імпульсу частинки. Для знаходження умов зміни з часом

деякої величини та умов її збереження необхідно дослідити похідну за часом від цієї величини.

Похідна від імпульсу за часом є

dt

138

де F – сума сил, що прикладені до частинки. Отже, імпульс частинки змінюється під

дією прикладеної до неї сили, причому елементарний приріст імпульсу dp співпадає з

напрямом цієї сили, а його величина пропорційна величині сили та проміжку часу, протягом якого цей приріст імпульсу виникає:

зберігається, якщо сума всіх сил, що прикладені до частинки, дорівнює нулю.

Зауважимо, що імпульс вільної частинки зберігається безумовно (без будь-яких умов),

оскільки за означенням на вільну частинку не діють ніякі сили.

Умови зміни та збереження моменту імпульсу частинки. Похідна від імпульсу за

або, із врахуванням другого закону Ньютона у формі (5.3) та того, що векторний добуток

називають моментом сили F . Таким чином, момент імпульсу частинки змінюється під дією

моменту прикладеної до неї сили,

dt

139

причому елементарний приріст вектора моменту імпульсу частинки dL співпадає за напрямом з напрямом вектора моменту сили, а його величина пропорційна величині моменту цієї сили та проміжку часу, протягом якого цей приріст моменту імпульсу виникає:

З рівняння моментів (5.9) випливає умова збереження моменту імпульсу частинки:

момент імпульсу частинки зберігається, якщо сумарний момент усіх сил, прикладених до

частинки, дорівнює нулю.

Зауважимо, що момент імпульсу вільної частинки зберігається безумовно, оскільки за означенням на вільну частинку не діють ніякі сили, отже, сумарний момент сил завжди дорівнює нулю.

Вектор моменту сили F за означенням направлений перпендикулярно до цієї сили та до

незалежно від величини модуля сили F .

142

площі між кривою та віссю абсцис на ділянці від s до s ds взятій зі знаком «+», якщо крива

проходить у верхній напівплощині, і зі знаком «–», якщо крива проходить у нижній напівплощині.

З попереднього цілком зрозуміло, що у випадку, коли до частинки прикладемо декілька

на деякому переміщенні дорівнює сумі робіт, здійснюваних кожною із сил F1 , F2 , F3 , ...Fn :

i

Зрозуміло, що потужність, так само як і робота, може бути додатною, від’ємною або рівною нулю, і при наявності декількох сил обчислюється як сума потужностей:

n

N Ni , i 1, n .

i

Рівняння (5.15) дає можливість за відомою залежністю потужності від часу обчислювати зміну кінетичної енергії за певний проміжок часу

Розглянемо приклади обчислення роботи.

Приклад 1. Обчислити мінімальну роботу по перетягуванню по горизонтальній підлозі блока живлення лазера з одного кутка лабораторного приміщення, що має форму квадрата зі стороною 10 м, у

протилежний куток. Маса блока m 100 кг , коефіцієнт сухого тертя k 0,2 .

143

шукана робота завжди від’ємна за знаком, а за абсолютною величиною прямо пропорційна довжині пройденого тілом шляху. Перше означає, що для того, щоб переміщення тіла відбувалося зі сталою за

модулем швидкістю const , якій відповідає кінетична енергія T m 2 2 , яка також повинна бути

сталою, необхідно компенсувати втрату кінетичної енергії тіла T за рахунок від’ємної роботи сили тертя такою ж за величиною додатною роботою. Якщо, згаданий блок живлення перетягують люди, то це робота сил, що прикладені до блоку з боку людей, які тягнуть або штовхають цей блок. Для того, щоб мінімізувати цю роботу, треба мінімізувати шлях: тягти блок із кутка в куток по діагоналі квадрата. При

Необхідно відзначити, що обчислена нами у Прикладі 2 робота A12 залежить лише від

положення початкової та кінцевої точок траєкторії. Це означає, що вона зовсім не залежить від форми траєкторії. Цей факт пов’язано зі спеціальними властивостями сили гравітаційної взаємодії. Зауважимо, що не всі сили мають такі властивості. Обчислена нами робота може