5_Zakony zberezhennia

Рис. 5.16

наведено

графік

залежності

відношення

u

для

ракети

від

параметра

m0

m ,

побудований за формулою (5.89). Там же для порівняння наведено графік такої ж залежності для

випадку миттєвого викидання робочого тіла при пострілі з безвідкатної гармати.

Безвідкатна гармата являє собою трубу відкриту з обох кінців, всередині якої біля одного з кінців

розміщується снаряд з пороховим зарядом у своїй задній частині. При практично миттєвому згорянні

порохового

заряду

продукти

горіння

4

викидаються з одного кінця труби, а снаряд

3,5

3

ракета

проходить

через

всю

трубу,

яка

задає

2,5

напрям

його

польоту.

На

відміну

від

2

1,5

звичайної

гармати,

канал

ствола

якої

1

0,5

снаряд

закритий з одного кінця, віддача,

а отже і

0

1

3

5

7

9

11

13

15

17

19

21

23

25

27

29

31

33

35

37

39

так званий

відкат

гармати

або

лише

її

миттєво зі швидкістю u , то за законом збереження імпульсу

0

m (m0

m)(u

) , де нуль-вектор у

175

та імпульсу порохових газів з масою m0 m ,

імпульсу снаряду m ,

який набув швидкості

відносно ІСВ,

які набули швидкості u

відносно ІСВ. Отже, швидкість снаряда є

m

u(1

) .

(5.91)

m0

Хоча, на перший погляд, з формули (5.89) випливає можливість досягнення ракетою будь-

якої бажаної швидкості існує, принаймні, два головних обмеження: одне,

принципове, фізичне,

пов’язане з існуванням граничної швидкості

c руху матеріальних об’єктів,

і друге, технічне, яке

полягає в тому, що кінцева маса ракети

m після згоряння всього палива (витрати всієї робочої

речовини) не може дорівнювати нулю.

Таблиця 5.1

дає уявлення про

те,

як швидко зростає відношення

Таблиця 5.1

m0 m із

збільшенням

швидкості ,

якої

досягла

ракета

(у

Таблиці 5.1

u

m0 m

наведено

безрозмірне

відношення u ).

Оскільки

навіть

при найбільшій

0,001

1,001

можливій

для

ракетних двигунів

на

0,01

1,010

хімічному

паливі

швидкості витікання

0,1

1,105

газів

u 4,5 км / с для досягнення другої

0,4

1,492

космічної швидкості 11,2 км/с необхідно

0,7

2,014

забезпечити m0

m рівне 12, а практично

1

2,718

можна

реалізувати

ракету

з

2

7,389

відношенням m0 m , що не перевищує

3

20,08

10,

то

вдаються

до

застосування

4

54,60

багатоступеневих

ракет.

Багато-

5

148,4

ступенева

ракета,

являє

собою,

як

6

403,4

правило,

декілька ракет, з’єднаних між

Рис. 5.17. Старт ракети-

7

1097

носія Зеніт-3LS з платформи

собою

послідовно,

таким

чином,

що

8

2981

«Одисей» поблизу екватора.

вони

утворюють

єдину

конструкцію,

9

8103

Кожний

ступінь

ракети, починаючи з

самого потужного

першого, після

10

22026

використання всього палива для прискорення наступних ступенів

відділяється від

них, і

таким чином зменшує початкову масу ракетної системи, яка

підлягає

астронавтами в 1969-72

р. р. і а фактично являє собою п’ятиступеневу систему з

початкову

масою m0 =2950 т. так

званого основного блока, що повертається в атмосферу

Землі. На

n

n

dt

dt

dL

dLi

Mi ,

i 1

i 1

(5.92)

де

– момент сил, що діють на i -ту частинку. Ці сили можуть бути розділені на

Mi

[ri Fi ]

n

n

dt

dL

Miвн

Miзовн .

(5.93)

i 1

i 1

n

вн

n

вн

n n

1

n

1

n

1

n

M i

[ri Fi

]

[ri

Fik ]

2

[ri Fik ]

2

[ri Fik ]

2

[ri Fik ]

i 1

i 1

i 1 k 1

i,k 1

i,k 1

i,k 1

k i

k i

k i

k i

(5.94)

n

n

n

n

n

1

1

1

1

1

[rk

Fk i ]

[ri Fik ]

[rk Fik ]

[(ri

rk ) Fik ]

[rik

Fik ] 0.

2

2

2

2

2

k ,i 1

i,k 1

k ,i 1

i,k 1

i,k 1

i k

k i

i k

k i

k

i

Безумовна рівність нулю сумарного моменту внутрішніх центральних сил, забезпечується

рівністю нулю кожного з векторних добутків

[rik Fik ] ,

оскільки центральна сила діє вздовж

прямої, яка проходить через частинки, rik

Fik .

dL

M зовн ,

(5.95)

dt

n

де

M зовн Miзовн

– сумарний момент зовнішніх сил, прикладених до частинок системи.

компоненти

( x, y, z )

матиме місце рівняння:

dL

зовн

,

M

(5.96)

dt

(Вправа 5._), що

зв’язок між

сумарними моментами

M зовн

та M зовн зовнішніх сил прикладених

до частинок системи, визначених відносно різних точок O та O , виражається формулою

зовн

зовн

зовн

] ,

(5.100)

M

M

[a

F

де

зовн – результуюча зовнішніх сил, прикладених до частинок системи. Якщо

,

F

F зовн 0

Необхідно підкреслити, що з умови F зовн 0 (рівність нулю результуючої зовнішніх сил,

прикладених до частинок системи) зовсім не випливає,

що дорівнює нулю і сумарний момент

M зовн тих самих зовнішніх сил.

5.4.2. Зв’язок між повним моментом імпульсу

системи частинок та її власним

L

~

моментом імпульсу L

– момент імпульсу системи частинок, визначений відносно деякої точки O деякої

Нехай L

~

системи відліку

K . Оскільки власний момент імпульсу

~

L

не залежить від вибору точки O в

~

~

~

~

C . Тоді справедливі рівності

– радіус-вектор і швидкість i -тої

ri

ri

RC

та i i VC , де

ri

і i

частинки визначені відносно центру мас, і вектор L може бути поданий так

n

n

~

~

L

mi [ri i ] mi [(ri

RC ) ( i VC )]

i 1

i 1

n

~

~

n

~

n

~

n

mi [ri

i ] mi [ri

VC ] [RC mi i ] [RC VC ] mi

i 1

i 1

i 1

i 1

1

n

~

1

n

~

~

L M [

mi ri VC ] M [RC

mi i ]

[RC MVC ]

M

M

i 1

i 1

~

~

~

L

M[RC VC ] M[RC VC ]

[RC P] .

(5.101)

Із врахуванням того,

що радіус-вектор

центру

мас і швидкість центру мас, визначені

~

~

відносно центру мас, відповідно

RC

і

VC ,

тотожно дорівнюють нулю,

остаточно отримуємо

зв’язок між L та

~

L у вигляді

~

L L

[RC

P] .

(5.102)

Отже, момент імпульсу системи частинок

визначений у деякій системі відліку K може

L ,

бути поданий як сума її власного моменту імпульсу

~

і моменту імпульсу

L

[RC P] , пов’язаного з

рухом системи частинок як цілого відносно цієї системи відліку.

Цілком

зрозуміло, що

при

переході

від

однієї

системи відліку до

іншої або при зміні

положення

точки, відносно

якої визначено

момент

імпульсу системи частинок L , останній

змінюється лише за рахунок доданку

[RC P]

, пов’язаного із рухом системи частинок як цілого,

при незмінному власному моменті імпульсу

~

L .

~

n

n

вз

ін

dt

dL

~

Fi

]

~

Fi ] .

(5.103)

i 1

[ri

i 1

[ri

ін

Fi

mi RC

,

(5.104)

182

де

– прискорення центру мас відносно ІСВ. Тоді сумарний момент сил інерції відносно

RC

центра інерції C є

n

n

n

~ iн

M

~

M

[ri

( mi RC )]

miri

RC M

miri

RC

M[RC RC ] 0

,

(5.105)

~

~

~

i 1

i 1

i 1

~

0 .

де враховано, що радіус-вектор центру мас, визначений відносно центру мас RC

Отже,

~

~ вз

dL

MC

,

(5.106)

dt

Елементарний приріст кінетичної енергії системи за елементарний проміжок часу dt

є

n

n

dTсист dTi

Ai

(5.107)

i 1

i 1

Розділимо спочатку сили, що прикладені до кожної ( i тої) частинки системи

на внутрішні

n

та зовнішні

Fi Fi

вн Fi зовн ,

а внутрішні сили

Fi

вн Fik

розділимо на консервативні та

k 1

k i

неконсервативні

(сторонні),

конс

вн.н е

к

.

о

н с

Fik Fik

Fik

Тоді приріст кінетичної енергії системи

частинок може бути поданий як сума елементарних робіт зазначених груп сил

dT

Aвн.конc Aвн.неконср Aзовн. .

(5.108)

сист

сист

сист

сист

n

n

1

n

1

n

1

n

Aсиствн.конc Fikконс dri

Fikконс dri

Fikконс dri

Fikконс dri

i 1 k 1

2 i,k 1

2 i,k 1

2 i,k 1

k i

k i

k i

k i

(5.109)

1

n

1

n

1

n

Fkконсi

drk

Fikконс

d (ri

rk )

Fikконс

drik

,

2 k ,i 1

2 i,k 1

2 i,k 1

i k

k i

k i