Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

5_Zakony zberezhennia

.pdf
Скачиваний:
7
Добавлен:
19.03.2015
Размер:
1.39 Mб
Скачать

174

Формулу (5.90) іноді називають формулою Ціолковського. Вона не містить часу: кінцева швидкість залежить лише від відношення початкової кінцевої маси ракети до її кінцевої маси та швидкості випускання ракетою робочої речовини (ця швидкість при одержанні формул (5.89) та

(5.90) вважалася незмінною). Темп випускання ракетою робочої речовини та його часові варіації не впливають на кінцеву швидкість ракети. Найбільш суттєвим є те, що відповідно до формули

(5.89) швидкість ракети може істотно перевищувати4 швидкість витікання газів u . Цей результат є наслідком поступового, а не миттєвого відокремлення робочого тіла від ракети. На

Рис. 5.16

наведено

графік

 

залежності

відношення

u

 

для

 

ракети

від

параметра

m0

m ,

побудований за формулою (5.89). Там же для порівняння наведено графік такої ж залежності для

випадку миттєвого викидання робочого тіла при пострілі з безвідкатної гармати.

 

 

 

 

 

 

Безвідкатна гармата являє собою трубу відкриту з обох кінців, всередині якої біля одного з кінців

 

розміщується снаряд з пороховим зарядом у своїй задній частині. При практично миттєвому згорянні

порохового

 

заряду

продукти

горіння

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

викидаються з одного кінця труби, а снаряд

3,5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ракета

 

проходить

через

всю

трубу,

яка

задає

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2,5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

напрям

його

польоту.

На

відміну

від

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1,5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

звичайної

гармати,

канал

ствола

якої

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

снаряд

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

закритий з одного кінця, віддача,

а отже і

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

3

5

7

9

11

13

15

17

19

21

23

25

27

29

31

33

35

37

39

так званий

відкат

гармати

або

лише

її

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 5.16. До аналізу формули Ціолковського

ствола, практично відсутні.

Якщо вся маса палива у вигляді газів від згоряння порохового заряду відокремлюється від снаряда

 

 

 

 

 

миттєво зі швидкістю u , то за законом збереження імпульсу

0

m (m0

m)(u

) , де нуль-вектор у

лівій частині означає початковий сумарний імпульс системи загальною масою m0 , що складається із власне снаряду маси m та порохового заряду, розміщеного в його задній частині, які знаходяться в спокої у трубі,

а права частина є сумарний імпульс системи після миттєвого згоряння порохового заряду, що складається з

4Насправді існує два обмеження: принципове, фізичне, пов’язане з існуванням граничної швидкості c руху матеріальних об’єктів, і друге, технічне, яке полягає в тому, що кінцева маса ракети m після згоряння всього палива не може дорівнювати нулю.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

175

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

та імпульсу порохових газів з масою m0 m ,

імпульсу снаряду m ,

який набув швидкості

відносно ІСВ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

які набули швидкості u

відносно ІСВ. Отже, швидкість снаряда є

 

 

 

 

 

 

 

 

m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u(1

 

) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(5.91)

m0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Хоча, на перший погляд, з формули (5.89) випливає можливість досягнення ракетою будь-

якої бажаної швидкості існує, принаймні, два головних обмеження: одне,

принципове, фізичне,

пов’язане з існуванням граничної швидкості

c руху матеріальних об’єктів,

і друге, технічне, яке

полягає в тому, що кінцева маса ракети

m після згоряння всього палива (витрати всієї робочої

речовини) не може дорівнювати нулю.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таблиця 5.1

дає уявлення про

те,

як швидко зростає відношення

Таблиця 5.1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m0 m із

збільшенням

швидкості ,

якої

досягла

ракета

Таблиці 5.1

 

 

 

u

 

m0 m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

наведено

безрозмірне

відношення u ).

Оскільки

навіть

при найбільшій

 

 

 

0,001

 

1,001

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

можливій

для

ракетних двигунів

на

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,01

 

1,010

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

хімічному

паливі

швидкості витікання

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,1

 

1,105

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

газів

u 4,5 км / с для досягнення другої

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,4

 

1,492

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

космічної швидкості 11,2 км/с необхідно

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,7

 

2,014

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

забезпечити m0

m рівне 12, а практично

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

2,718

 

 

 

 

 

 

можна

 

реалізувати

 

ракету

 

з

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

7,389

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

відношенням m0 m , що не перевищує

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

20,08

 

 

 

 

 

 

10,

 

то

 

вдаються

до

застосування

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

54,60

 

 

 

 

 

 

багатоступеневих

 

ракет.

Багато-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

148,4

 

 

 

 

 

 

ступенева

ракета,

 

являє

собою,

як

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

403,4

 

 

 

 

 

 

правило,

декілька ракет, з’єднаних між

 

 

 

Рис. 5.17. Старт ракети-

7

 

1097

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

носія Зеніт-3LS з платформи

собою

послідовно,

таким

чином,

що

 

 

 

8

 

2981

«Одисей» поблизу екватора.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

вони

утворюють

єдину

конструкцію,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9

 

8103

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Кожний

ступінь

ракети, починаючи з

самого потужного

першого, після

 

 

 

10

 

22026

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

використання всього палива для прискорення наступних ступенів

 

 

 

 

 

 

відділяється від

них, і

таким чином зменшує початкову масу ракетної системи, яка

підлягає

176

подальшому прискоренню. На Рис. 5.17 показано українську триступеневу ракету-носій Зеніт-

3LS, яку використовують для запусків штучних супутників Землі з плавучої платформи «Одисей»,

розміщеної поблизу екватора (Вправа 8._).

У Додатку 2 наведено дані про деякі багатоступеневі ракетні системи, що працюють на рідкому паливі. Серед них найбільше відношення m0 m =295 має ракетно-космічна система Saturn

5-Apollo, яка використовувалась для пілотованих польотів на Місяць, здійснених американськими

астронавтами в 1969-72

р. р. і а фактично являє собою п’ятиступеневу систему з

початкову

масою m0 =2950 т. так

званого основного блока, що повертається в атмосферу

Землі. На

поверхню Землі з майже 3 тис. тон початкової маси повертається лише капсула з астронавтами з масою m =5,5 т, тобто менше 0,2% !

5.4. Умови зміни та закон збереження моменту імпульсу системи частинок

Для з’ясування умов зміни та збереження моменту імпульсу системи частинок знайдемо похідну за часом від моменту імпульсу системи частинок

 

 

 

n

 

 

 

 

n

 

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

dt

 

 

 

 

dL

 

 

 

dLi

 

 

 

Mi ,

 

 

i 1

 

 

i 1

 

 

 

 

 

 

 

(5.92)

 

 

 

 

 

 

де

 

 

 

 

 

 

– момент сил, що діють на i -ту частинку. Ці сили можуть бути розділені на

Mi

[ri Fi ]

внутрішні та зовнішні (див. (5.61)). Отже, права частина рівняння (5.92) може бути подана у вигляді суми моментів внутрішніх і зовнішніх сил, що прикладені до частинок системи

 

n

 

n

 

 

dt

 

 

 

 

 

 

dL

 

 

Miвн

 

Miзовн .

(5.93)

 

i 1

i 1

 

 

 

 

 

Покажемо, що коли між частинками системи діють центральні сили5, то їх сумарний момент завжди дорівнює нулю. Для цього застосуємо прийом, аналогічний використаному при

5Серед сил взаємодії, актуальних у класичній механіці, розглянутих у (3.3) нецентральною є лише сила Лоренца, для якої не виконується третій закон Ньютона, але її внесок у взаємодію частинок набуває помітної величини при швидкостях руху частинок, які не можна вважати малими порівняно зі швидкістю світла.

177

обчисленні суми внутрішніх сил у параграфі 5.2.1 (формула (5.64), а саме, подамо суму моментів внутрішніх сил у вигляді двох однакових доданків, перепозначимо (поміняємо місцями) індекси сумування, а потім застосуємо третій закон Ньютона:

n

 

вн

 

n

 

 

 

вн

 

 

 

n n

 

 

 

 

 

 

1

n

 

 

 

 

 

 

1

n

 

 

 

 

 

1

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M i

 

 

[ri Fi

 

]

[ri

Fik ]

2

[ri Fik ]

 

2

[ri Fik ]

 

2

[ri Fik ]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i 1

 

 

 

i 1

 

 

 

 

 

 

i 1 k 1

 

 

 

 

 

 

 

 

i,k 1

 

 

 

 

 

 

 

i,k 1

 

 

 

 

 

i,k 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k i

 

 

 

 

 

 

 

 

k i

 

 

 

 

 

 

 

 

k i

 

 

 

 

 

 

k i

 

 

(5.94)

 

 

n

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

1

 

 

 

 

1

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

[rk

Fk i ]

 

 

[ri Fik ]

 

 

 

[rk Fik ]

 

 

 

[(ri

rk ) Fik ]

 

 

 

[rik

Fik ] 0.

2

2

2

2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k ,i 1

 

 

 

 

 

i,k 1

 

 

 

 

 

k ,i 1

 

 

 

 

 

 

 

 

i,k 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i,k 1

 

 

 

 

 

i k

 

 

 

 

 

 

k i

 

 

 

 

 

 

i k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k

i

 

 

 

 

Безумовна рівність нулю сумарного моменту внутрішніх центральних сил, забезпечується

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

рівністю нулю кожного з векторних добутків

[rik Fik ] ,

оскільки центральна сила діє вздовж

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

прямої, яка проходить через частинки, rik

 

Fik .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Отже, момент імпульсу системи частинок змінюється під дією сумарного моменту

зовнішніх сил, прикладених до частинок системи:

 

dL

 

 

 

 

 

M зовн ,

 

(5.95)

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

де

M зовн Miзовн

– сумарний момент зовнішніх сил, прикладених до частинок системи.

i 1

Таким чином, можна вказати умови зміни та збереження моменту імпульсу системи

частинок:

Момент імпульсу системи частинок змінюється, якщо сумарний момент зовнішніх сил,

прикладених до частинок системи, відмінний від нуля.

Момент імпульсу системи частинок зберігається (залишається сталим), якщо сумарний момент зовнішніх сил, прикладених до частинок системи, прикладених до частинок системи дорівнює нулю.

Рівняння (5.95) можна спроектувати на орти деякої системи координат. Тоді для кожної

компоненти

 

( x, y, z )

матиме місце рівняння:

 

dL

 

зовн

,

 

 

 

M

 

(5.96)

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

178

звідки випливає, що коли деяка компонента сумарного моменту зовнішніх сил, прикладених

до частинок системи дорівнює нулю, то відповідна компонента вектора імпульсу системи

частинок зберігається.

Якщо система частинок замкнена, то сумарний момент зовнішніх сил у правій частині

рівняння (5.95) завжди і безумовно дорівнює нулю, оскільки для кожної частинки

 

зовн 0

, а отже

F

 

 

 

 

 

i

 

 

і

 

 

 

. Для замкненої системи частинок справедливий закон збереження моменту

Mi [ri

Fi ] 0

імпульсу системи частинок:

Момент імпульсу замкненої системи частинок є величина стала,

 

n

 

L

Li (t) const .

(5.97)

i 1

Отже, в замкненій системі частинок можливий лише такий рух частинок, при якому сума їх моментів імпульсу залишається сталою, хоча моменти імпульсу окремих частинок системи можуть змінюватися в процесі руху.

Демонстраційний дослід. Дві однакові муфточки можуть ковзати вздовж легкого направляючого стержня з упорами на кінцях, який розміщено горизонтально з можливістю обертання навколо вертикальної осі, що проходить через його середину (Рис.5.18). Спочатку муфточки розміщують поблизу осі обертання і зв’язують ниткою. Після розкручування стержня з муфточками шляхом прикладання до стержня сили в горизонтальній площині (тобто створення моменту зовнішніх сил паралельного осі обертання) система продовжує обертатися з деякою сталою кутовою швидкістю. Потім нитку перепалюють, муфточки розлітаються до упорів на кінцях стержня і кутова швидкість обертання після цього різко зменшується.

 

 

1

2

а

б

Рис. 5.18.

Демостраційний дослід.

Пояснення. Будемо вважати, що маса

стержня набагато менша за масу муфточок. Тоді момент

імпульсу системи після надання їй

обертання визначається лише рухом муфточок:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

179

 

 

 

 

 

 

m2 m1 m ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L m1[r1

1] m2[r2

2

] , або, оскільки

r2

r1

r

,

2

1

,

L 2m[r

] . Цей момент

направлений вздовж осі обертання системи. Проекція моментів прикладених до муфточок з боку стержня зовнішніх сил на напрям осі обертання дорівнює нулю. Отже величина проекції моменту імпульсу системи двох муфточок на напрям осі обертання також є величина стала, L 2mr . Після перепалювання нитки

маємо L 2mr ,

але оскільки перепалювання нитки не створює моменту зовнішніх сил, то проекція

моменту імпульсу

на напрям осі обертання залишається сталою, L L . Враховуючи, що

r та

r , маємо r 2 (r )2 . Оскільки r r , то .

 

5.4.1. Власний момент імпульсу системи частинок

Момент імпульсу частинки за означенням залежить від вибору точки, відносно якої його визначають. Те саме стосується і моменту імпульсу системи частинок, оскільки він є сумою моментів імпульсів окремих частинок. Нехай момент імпульсу системи частинок, визначений

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

відносно деякої точки O є L [ri

pi

] , а

момент імпульсу

тієї

ж системи частинок,

 

i 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

визначений відносно деякої точки O ,

 

 

є

L

[ri pi ] . Оскільки

ri ri a

, де a – радіус-вектор

 

 

 

 

i 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

можна записати так

точки O відносно точки O (див. Рис. 5.19), то момент імпульсу L

 

n

n

 

 

n

 

 

n

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

,

L

[ri

pi ] [(ri a) pi ] [ri pi ] [a

pi ] L a

pi

 

i 1

i 1

 

 

i 1

 

 

i 1

 

 

 

 

i 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

або

 

 

 

 

(5.99)

L L [a

P] ,

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

де

P

pi – імпульс системи частинок.

 

 

 

i 1

 

 

 

Таким чином, моменти імпульсу

 

та

 

L

L

одній і тій же самій системі відліку відносно

O

a

, визначені в

різних точок,

 

 

Рис. 5.19.

відрізняються на величину [a

P] . Якщо в якійсь системі відліку

 

(5.98)

mi

ri

ri

O'

До визначення

 

 

 

 

моменту імпульсу системи

імпульс

 

системи частинок

, то в цій системі відліку

 

P 0

завжди

 

 

 

 

L

L , тобто момент імпульсу системи частинок в такій системі відліку не залежить від

вибору точки, відносно якої його визначають. Як відомо, повний імпульс системи частинок P

180

завжди дорівнює нулю в СЦМ, відносно якої система частинок у цілому перебуває в спокої.

Таким чином, у СЦМ момент імпульсу системи частинок не залежить від вибору точки,

відносно якої його визначають.

Момент імпульсу, визначений в СЦМ називають власним моментом імпульсу. Ми

будемо позначати власний момент імпульсу системи частинок як ~ .

L

Момент сили також залежить від того, відносно якої точки його визначають. Діючи так само, як це було зроблено для вектора моменту імпульсу системи частинок, можна показати

(Вправа 5._), що

зв’язок між

сумарними моментами

 

 

 

 

M зовн

та M зовн зовнішніх сил прикладених

до частинок системи, визначених відносно різних точок O та O , виражається формулою

 

 

 

зовн

 

зовн

 

зовн

] ,

 

 

(5.100)

 

M

 

M

 

[a

F

 

 

 

 

де

 

зовн – результуюча зовнішніх сил, прикладених до частинок системи. Якщо

 

,

F

F зовн 0

то сумарний момент зовнішніх сил не залежить від вибору точки, відносно якої його визначають.

Ця властивість моменту сил широко застосовується при розв’язуванні практичних задач, оскільки дає можливість зручно обирати точки прикладання зовнішніх сил (див. вправи).

 

 

 

 

Необхідно підкреслити, що з умови F зовн 0 (рівність нулю результуючої зовнішніх сил,

прикладених до частинок системи) зовсім не випливає,

що дорівнює нулю і сумарний момент

 

 

 

 

M зовн тих самих зовнішніх сил.

 

 

5.4.2. Зв’язок між повним моментом імпульсу

 

системи частинок та її власним

L

 

 

 

 

 

~

 

 

моментом імпульсу L

 

 

 

– момент імпульсу системи частинок, визначений відносно деякої точки O деякої

Нехай L

 

 

 

~

системи відліку

K . Оскільки власний момент імпульсу

~

L

не залежить від вибору точки O в

СЦМ, відносно якої його визначають, останню можна обрати в центрі мас системи частинок точці

 

 

~

 

 

~

 

~

~

 

C . Тоді справедливі рівності

 

 

 

 

– радіус-вектор і швидкість i -тої

ri

ri

RC

та i i VC , де

ri

і i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

частинки визначені відносно центру мас, і вектор L може бути поданий так

 

 

n

 

 

n

~

 

~

 

 

 

 

 

 

 

 

L

 

mi [ri i ] mi [(ri

RC ) ( i VC )]

 

 

 

 

i 1

 

 

i 1

 

 

 

 

 

 

 

n

~

~

n

~

 

 

n

~

 

n

mi [ri

i ] mi [ri

VC ] [RC mi i ] [RC VC ] mi

 

i 1

 

i 1

 

 

 

i 1

 

 

i 1

181

 

 

 

1

 

n

 

~

 

 

 

 

1

 

n

 

 

~

 

 

 

 

~

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L M [

 

mi ri VC ] M [RC

 

 

mi i ]

[RC MVC ]

 

 

M

M

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i 1

 

 

 

 

 

 

 

 

i 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~

 

 

 

 

 

~

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L

M[RC VC ] M[RC VC ]

[RC P] .

 

 

 

(5.101)

Із врахуванням того,

що радіус-вектор

центру

мас і швидкість центру мас, визначені

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~

 

~

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

відносно центру мас, відповідно

RC

і

VC ,

тотожно дорівнюють нулю,

остаточно отримуємо

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

зв’язок між L та

~

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L у вигляді

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L L

[RC

P] .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(5.102)

Отже, момент імпульсу системи частинок

 

визначений у деякій системі відліку K може

L ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

бути поданий як сума її власного моменту імпульсу

~

і моменту імпульсу

L

[RC P] , пов’язаного з

рухом системи частинок як цілого відносно цієї системи відліку.

 

 

Цілком

зрозуміло, що

при

переході

від

однієї

системи відліку до

іншої або при зміні

положення

 

точки, відносно

якої визначено

 

момент

 

 

 

 

 

імпульсу системи частинок L , останній

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

змінюється лише за рахунок доданку

[RC P]

, пов’язаного із рухом системи частинок як цілого,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

при незмінному власному моменті імпульсу

~

 

 

 

 

 

 

 

L .

 

 

 

 

 

5.4.3. Рівняння моментів у СЦМ

Рівняння моментів у СЦМ має такій же вигляд як і в ІСВ

~

dLdt M~ зовн ,

але оскільки центр мас системи частинок у загальному випадку може рухатись прискорено, то, в

принципі, до зовнішніх сил, що дають внесок у сумарний момент зовнішніх сил, слід додати сили інерції, тобто записати

~

 

n

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

вз

 

 

 

ін

 

dt

 

 

 

dL

 

 

 

 

 

 

 

 

~

Fi

]

 

~

Fi ] .

(5.103)

 

i 1

[ri

i 1

[ri

 

 

 

 

 

 

 

 

Оскільки СЦМ за означенням не обертається, то при її прискореному русі можуть виникнути лише поступальні сили інерції, що діють на кожну частинку системи,

 

ін

 

 

 

Fi

 

 

 

 

mi RC

,

(5.104)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

182

де

 

 

– прискорення центру мас відносно ІСВ. Тоді сумарний момент сил інерції відносно

RC

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

центра інерції C є

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

n

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

~

 

 

 

 

 

 

 

M

 

 

 

~

 

 

 

M

 

 

 

[ri

( mi RC )]

 

miri

RC M

 

 

miri

RC

M[RC RC ] 0

,

(5.105)

 

 

 

 

 

 

~

 

 

 

~

 

 

 

 

~

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i 1

 

 

 

i 1

 

 

 

 

i 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~

0 .

де враховано, що радіус-вектор центру мас, визначений відносно центру мас RC

Отже,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~ вз

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dL

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

MC

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(5.106)

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

тобто власний момент імпульсу системи частинок змінюється лише під дією сумарного моменту всіх зовнішніх сил взаємодії, прикладених до частинок системи.

5.5. Умови зміни та збереження енергії системи частинок

Дослідимо зміну з часом кінетичної енергії системи частинок, означеної формулою (5.59).

Елементарний приріст кінетичної енергії системи за елементарний проміжок часу dt

є

 

n

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dTсист dTi

Ai

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(5.107)

 

i 1

 

i 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Розділимо спочатку сили, що прикладені до кожної ( i тої) частинки системи

на внутрішні

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

та зовнішні

Fi Fi

вн Fi зовн ,

а внутрішні сили

 

 

Fi

вн Fik

розділимо на консервативні та

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k i

 

 

неконсервативні

(сторонні),

 

конс

вн.н е

к

.

о

 

н с

 

 

Fik Fik

Fik

 

 

Тоді приріст кінетичної енергії системи

частинок може бути поданий як сума елементарних робіт зазначених груп сил

 

dT

Aвн.конc Aвн.неконср Aзовн. .

 

 

 

 

 

 

 

(5.108)

сист

сист

сист

 

сист

 

 

 

 

 

 

 

 

Розглянемо послідовно кожен із доданків у правій частині (5.108).

Робота внутрішніх консервативних сил є

 

 

 

n

n

 

 

 

 

1

n

 

 

 

 

1

 

n

 

 

 

 

1

n

 

 

 

Aсиствн.конc Fikконс dri

 

 

Fikконс dri

 

 

 

 

Fikконс dri

 

 

Fikконс dri

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i 1 k 1

 

 

 

 

2 i,k 1

 

 

 

 

 

2 i,k 1

 

 

 

 

2 i,k 1

 

 

 

 

 

 

 

k i

 

 

 

 

 

k i

 

 

 

 

 

 

 

k i

 

 

 

 

 

k i

 

 

(5.109)

 

1

n

 

 

 

1

n

 

 

 

 

 

1

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Fkконсi

drk

 

 

Fikконс

d (ri

rk )

 

 

Fikконс

drik

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 k ,i 1

 

 

 

2 i,k 1

 

 

 

 

 

2 i,k 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i k

 

 

 

 

k i

 

 

 

 

 

 

 

k i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

183

де було

використано

відомий штучний прийом подання суми у вигляді

напівсум,

переставлено

індекси

в другій

напівсумі, застосовано третій закон Ньютона

 

 

F конс F конс і

 

 

 

 

 

ik

k i

 

 

 

 

 

 

 

введено позначення rik

ri rk .

 

 

 

Кожен доданок

конс

в (5.109) можна розглядати як елементарну роботу по

Fik

drik

переміщенню i -тої частинки в потенціальному полі, що створює k -та частинка, і його може бути подано як зміну потенціальної енергії i -тої частинки в потенціальному полі k -тої частинки:

конс

 

конс

dUik .

(5.110)

Fik

drik Aik

Тоді сумарну елементарну роботу внутрішніх консервативних сил можна подати так

 

 

1

 

 

 

1 n

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

Aсиствн.конс

 

 

U ik

d

 

 

U ik

dU сист

,

(5.111)

 

 

 

 

2 i,k 1

 

 

2 i,k 1

 

 

 

 

 

 

 

k i

 

 

 

k i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

де через

Uik (rik ) позначено

потенціальні енергії

так

званих парних взаємодій частинок

системи між собою і введено позначення

 

 

1

n

 

 

U

 

U

.

(5.112)

 

сист

 

 

ik

 

 

 

 

2 i,k 1

 

 

 

 

 

k i

 

 

Величина Uсист називається внутрішньою або власною потенціальною енергією системи

частинок.

З викладеного вище випливає, що внутрішня потенціальна енергія системи частинок залежить виключно від їх взаємного розташування, або як, іноді кажуть, від конфігурації системи частинок, причому кожній конфігурації відповідає певне значення внутрішньої потенціальної

енергії U сист , яка є функцією положення всіх частинок системи

 

 

 

Uсист U (r1, r2

, r3

,..rn ) . Робота всіх

внутрішніх консервативних сил при зміні конфігурації системи частинок дорівнює зумовленому цією зміною приросту потенціальної енергії системи частинок, взятому зі знаком мінус:

Aвн.конс (Uсист2 Uсист1) ,

(5.113)

де енергія U сист1 відповідає початковій, а енергія Uсист2 кінцевій конфігурації системи

частинок.

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]