5_Zakony zberezhennia

166

деяких ситуаціях маса зменшується за рахунок висипання чи витікання якихось речовин з борту транспортного засобу: наприклад, розсипання добрива чи розпилення хімікатів при сільськогосподарських роботах або виливання води при гасінні лісових пожеж з літаків та гелікоптерів. Але маса так само може зростати, наприклад, при дозаправці літака під час польоту або при навантаженні платформи сипучим матеріалом під час її руху. У

найзагальнішому випадку одночасно мають місце процеси від’єднання деякої маси та приєднання деякої іншої за величиною маси до тіла, що рухається. При цьому відносні швидкості мас, які приєднуються і від’єднуються від тіла, що рухається, можуть бути самими різним як за величиною, так і за напрямом. Наприклад, при насипанні піску з бункера на платформу, що рухається, і одночасному висипанні його через дірку в платформі напрями руху маси, що приєднується, маси, що від’єднується, перпендикулярні до напрямку руху тіла

(платформи) (Рис. 5.12). При нульовій відносно тіла швидкості приєднання або від’єднання маси збільшується або зменшується маса тіла, але при цьому разом з цими масами тілу імпульс не передається і від нього не забирається. При польоті літака з повітряно-реактивним двигуном приєднання і від’єднання мас відбувається, як правило, в напрямку колінеарному з рухом літака і зі значними відносними (щодо літака) швидкостями, завдяки чому необхідно враховувати не лише збільшення або зменшення маси тіла (літака) при приєднанні й від’єднанні мас, але й набуття ним і втрату імпульсу, який переноситься масами, що приєднуються та від’єднуються.

Рівняння Мєщєрського. Ми розглянемо найбільш загальний випадок руху тіла змінної маси, коли має місце одночасне приєднання й від’єднання мас з різними ненульовими швидкостями відносно тіла змінної маси, схематично зображене на Рис. 5.12.

Рис. 5.12. До руху тіла змінної маси.

реактивного двигуна.

Тоді (5.82) можна переписати так

Це основне диференціальне рівняння поступального руху тіла змінної маси для випадку одночасного приєднання та від’єднання частинок називається рівнянням Мєщєрського.

Величину

Рис. 5.13. До руху реактивного літака

Хоча рівняння Мєщєрського (5.83) за і формою збігається з основним рівнянням динаміки частинки (добуток маси тіла, рух якого розглядається, на його прискорення дорівнює сумі всіх сил, що діють на нього з реактивною силою включно), необхідно пам’ятати, що його ліва частина в загальному випадку не може бути подана, як похідна за часом від добутку маси тіла

170

За допомогою рівняння Мєщєрського (5.83) можна розглянути широке коло практично важливих задач, серед яких рух літака з повітряно-реактивним двигуном та рух ракети у вільному просторі, які ми розглянемо нижче.

Рух реактивного літака. При всій різноманітності повітряно-реактивних двигунів, якими оснащено реактивні літаки, всі вони тим чи іншим чином приєднують (засмоктують)

атмосферне повітря і викидають (відокремлюють) продукти згоряння. (Рис. 5.13). При застосуванні рівняння Мєщєрського (5.83) до руху реактивного літака можна вважати, що маса літака залишається сталою, оскільки секундна витрата палива мала порівняно з повною масою

реакції з боку повітря, яку можна подати як суму так званої сили лобового опору літака та

(Рис. 5.13), причому реактивна сила направлена в напрямку руху літака тоді, коли u1 u2 ,

тобто швидкість витікання продуктів згоряння більша за швидкість потоку повітря відносно реактивного двигуна.

У найбільш розповсюдженому з повітряно-реактивних двигунів так званому турбореактивному двигуні (Рис. 5.15а) повітря надходить до двигуна через вхідний отвір 1 і його тиск підвищується компресором 2, вал якого обертається газовою турбіною 4, встановленою в потоці продуктів згоряння, які розширюються на виході камери згоряння 3 і викидаються з двигуна через сопло 5 зі швидкістю u2 , яка перевищує швидкість u1 .

171

Реактивну силу, що виникає при роботі реактивного або ракетного двигуна називають силою тяги і

вимірюють у ньютонах або ж у кілограмах сили, 1 кгс 9,81 Н , а для великих двигунів, відповідно, в

кілоньютонах або в тонах сили. Слід підкреслити, що сила тяги є більш адекватною характеристикою реактивних двигунів, ніж потужність, якою прийнято характеризувати поршневі двигуни внутрішнього згоряння, парові турбіни, електродвигуни тощо. Це пов’язано з тим, що реактивний двигун фактично поєднує в собі функцію власне двигуна (електродвигун, парова машина або турбіна, двигун внутрішнього згоряння тощо), який перетворює енергію різних видів (електричну, теплову, хімічну тощо) в механічну енергію (роботу) і рушія (рушійного пристрою, наприклад, ведучого колеса, гусениці, водяного ґвинта чи

а

б

m1

3 5

1

Рис. 5.15. Турбореактивний (а) та ракетний (б) двигуни.

повітряного пропелера3 тощо), який забезпечує перетворення механічної енергії двигуна в роботу по пересуванню транспортного засобу. Так звану статичну силу тяги реактивного двигуна вимірюють на спеціальних вимірювальних стендах, де сила тяги двигуна врівноважується іншою відомою силою

(наприклад, силою пружності динамометра). За таких умов двигун не рухається і його потужність дорівнює нулю, незалежно від величини його сили тяги.

Натомість у літаках з таким рушієм як повітряний ґвинт, двигун, що обертає цей ґвинт, завжди виконує роботу по обертанню згаданого ґвинта, незалежно від того рухається літак чи стоїть нерухомо на

3Термін propeller в англійській мові взагалі означає «рушій». Він застосовується до будь-яких рушіїв, а не лише, майже виключно, до повітряних ґвинтів, як , наприклад, в українській або російській мові.

172

гальмах або на випробувальному стенді. За рахунок цієї роботи здійснюється прискорення деякої маси повітря, яка проходить через уявну трубу з діаметром, що дорівнює діаметру ґвинта, тобто надання цій масі

штовхає) літальний апарат у напрямку протилежному швидкості потоку повітря u . Таким чином, дія

рушійної установки, обладнаної повітряним ґвинтом (пропелером), який обертається поршневим або газотурбінним двигуном, з точки зору механіки нічим не відрізняється від дії реактивного рушія: в обох випадках сила тяги, що рухає літальний апарат, виникає за рахунок прискорення потоку газів відносно літального апарату і являє собою силу реакції, яка передбачається третім законом Ньютона.

Необхідно відзначити, що одна й та сама сила тяги може бути створена при передачі повітряному потоку деякого імпульсу за одиницю часу p mu , але при різних співвідношеннях маси m і швидкості u

повітряного потоку прискорюваного пропелером. Оскільки робота, яку виконує повітряний ґвинт за

одиницю часу, є енергія m 2 / 2 , яка передається ґвинтом повітряному потоку за одиницю часу, то ясно, що

витрати енергії для створення однієї й тієї ж сили тяги менші, коли більша маса повітря відкидається ґвинтом з меншою швидкістю. Розглянемо простий приклад. При відкиданні ґвинтом за одну секунду маси

повітря 10 кг зі швидкістю u 100 м / с повітряному потоку щосекунди передається імпульс

p 1000 кг м / с , що відповідає силі тяги 1000 Н . Така сама величина сили тяги може бути забезпечена при

12 100 102 5 кДж , тобто на порядок менше! Зрозуміло, що при одній і тій самій потужності двигуна його статична сила тяги буде тим більша, чим більша маса повітря, що відкидається ґвинтом. Тому несучий ґвинт гелікоптера, який має забезпечити силу тяги більшу за вагу гелікоптера, має великий діаметр і порівняно повільно обертається, а діаметри тягнучих ґвинтів літаків значно менші і обертаються вони зі значно більшої швидкістю.

Потужність, яку розвиває реактивний двигун залежить від його швидкості. Так, двигуни одного з найбільших у світі пасажирських літаків Боїнг-747-200 у горизонтальному польоті на висоті 12,2 км зі сталою швидкістю 265 м / c створюють силу тяги F 245 кН , що складає лише чверть від їх сумарної

статичної сили тяги. Їх сумарна потужність при цьому складає 65 тис. кВт або 87 тис. к. с. Цієї потужності достатньо, щоб компенсувати втрати енергії літака на подолання сили опору повітря. Але при наборі висоти

173

і при розгоні літака двигуни працюють з повною тягою, оскільки виконують додаткову роботу, яка йде на збільшення потенціальної енергії літака в полі тяжіння землі, а також на збільшення його кінетичної енергії.

Рух ракети. Розглянемо рух ракети у вільному просторі, тобто за відсутності зовнішніх сил зумовлених наявністю оточуючого середовища (наприклад, повітря) або силових полів. Оскільки рух ракети забезпечується викиданням у вільний простір робочого тіла (звичайно, газоподібних

продуктів горіння ракетного палива) з деякою відносною швидкістю u1 (відокремлення маси)

(Рис. 5.15б), а приєднання маси до ракети відсутнє, то в рівнянні Мєщєрського (5.83) треба

де dm 0 , оскільки маса ракети зменшується внаслідок відділення від неї робочого тіла.

Вектор прискорення, якого набуває ракета, направлений протилежно вектору відносної швидкості

відділення робочого тіла u .

Рівняння руху ( 5.86) можна записати у вигляді