5_Zakony zberezhennia
.pdf
184
Той факт, що власна потенціальна енергія U сист залежить не від положення частинок
системи в просторі взагалі, а лише від їх взаємного розташування добре видно з представлення внутрішньої потенціальної енергії системи частинок у формі суми потенціальних енергій парних взаємодій частинок (формула ((5.112)), де кожний доданок є фактично функцією взаємного
|
|
|
|
|
|
|
розташування двох частинок системи, Uik |
U (rik ) . |
|||||
Перепишемо (5.108) з врахуванням (5.111) |
||||||
dT dU |
сист |
Aвн.неконс Aзовн |
, |
(5.114) |
||
сист |
|
|
|
|
||
або |
|
|
|
|
|
|
d (T U |
сист |
) Aвн.неконс Aзовн . |
|
(5.115) |
||
сист |
|
|
|
|
||
Величину |
|
|
|
|
|
|
Eсист Tсист U сист |
|
(5.116) |
||||
називають повною механічною енергією системи частинок. Повна механічна енергія системи частинок є функцією механічного стану системи частинок, оскільки в кожний момент часу вона залежить від положень і швидкостей всіх частинок системи6
|
n |
mi i2 |
|
1 |
n |
|
|
|
Eсист |
|
|
|
|
|
|
rj ) . |
(5.117) |
2 |
2 |
|
||||||
|
|
|
Uij (ri |
|||||
|
i 1 |
|
|
|
i, j 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
i j |
|
|
|
Це представлення є широко вживаним, але не єдино можливим. Внутрішню потенціальну енергію можна,
наприклад, подати у вигляді суми потенціальних енергій всіх і кожної частинки системи у потенціальному полі усіх
n
інших частинок, U Ui . Легко бачити, що i 1
n
Ui 1 Uk .
2 k 1
k i
Елементарна зміна повної механічної енергії системи частинок визначається сумою робіт внутрішніх сторонніх сил та зовнішніх сил, що прикладені до частинок системи
dE Aвн.неконс Aзовн , |
(5.118) |
сист |
|
а швидкість, з якою відбувається зміна повної енергії, визначаєься сумарною потужністю,
тобто сумою потужностей цих сил:
6 Саме тому повна механічна енергія відіграє виняткову роль як у класичній так і в квантовій механіці.
|
|
185 |
|
dE |
N вн.неконс N зовн. . |
(5.119) |
|
dt |
|||
|
|
Ці два останні рівняння виражають собою умову зміни повної механічної енергії системи частинок:
Повна механічна енергія системи частинок може змінюватись лише за рахунок роботи
(або потужності) внутрішніх сторонніх (неконсервативних) та зовнішніх сил.
З рівностей (5.119-120) випливає також і умова збереження повної механічної енергії
системи частинок:
Повна механічна енергія системи частинок зберігається, якщо сумарна робота (або потужність) зовнішніх сил та внутрішніх сторонніх (неконсервативних) сил дорівнює нулю.
Для замкненої системи частинок зовнішні сили відсутні, отже Aзовн 0 і її повна механічна
енергія може змінюватися лише за рахунок роботи внутрішніх неконсервативних (сторонніх) сил:
dE Aвн.неконс . |
(5.120) |
сист |
|
За наявності внутрішніх неконсервативних (сторонніх) сил повна механічна енергія замкненої системи частинок може зменшуватися, збільшуватися або залишатися сталою залежно від знаку сумарної роботи всіх внутрішніх неконсервативних сил. Наприклад, у випадку руху ракети в пустоті повна механічна енергія замкненої системи ракета – викинуті гази зростає за рахунок перетворення при згорянні палива так званої хімічної енергії в теплову з наступним перетворенням теплової енергії в кінетичну енергію продуктів згоряння, коли вони прискорюються при витіканні через сопло з камери згоряння. Іншим прикладом може бути зростання повної механічної енергії осколків осколочної гранати після її вибуху.
Серед внутрішніх неконсервативних сил можна виділити так звані дисипативні сили,
наприклад, сили тертя, потужність і, отже, робота яких Aвн.дис завжди від’ємна7. Будь-яка
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
дисипативна сила може бути подана у вигляді F дис |
k() , причому коефіцієнт k( ) є додатно |
||||||||
визначена |
величина, |
k( ) 0 . |
Тоді |
потужність |
дисипативної |
сили |
|||
|
дис |
|
|
2 |
0 . Внутрішні дисипативні сили для будь-якої пари частинок |
||||
N F |
|
k() k() |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7Зменшення кінетичної енергії руху тіла свого часу трактувалося як її «зникнення», латиною dicipatio (дисипація) звідки
іпоходить термін «дисипативний».
186
замкненої системи частинок відповідно до третього закону Ньютона рівні за модулем і
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
протилежно направлені: F дис F |
дис . Їх сумарна потужність завжди від’ємна: |
||||||||||||||||
|
|
|
|
ki |
|
|
|
|
ik |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
1 |
n |
|
|
|
|
1 n |
|
|
||
N вн.дис Fikвн.дис i |
|
|
|
Fikвн.дис (i |
k |
) |
|
Fikвн.дис ik |
|
||||||||
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
i,k 1 |
|
|
|
|
2 i,k 1 |
|
|
|
|
2 i,k 1 |
|
|
|||
|
|
k i |
|
|
|
|
|
|
k i |
|
|
|
|
|
k i |
|
|
|
1 |
n |
|
|
1 |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k(ik ) ik ik |
|
|
|
|
k(ik ) ik2 |
0. |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
2 i,k 1 |
|
|
|
2 i,k 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
k i |
|
|
|
|
|
k |
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
Рівність (5.120) можна подати у вигляді
dEсист Aвн.дис Aвн.стор ,
де через Aвн.дис позначено роботу внутрішніх дисипативних сил, а через Aвн.стор
(5.121)
(5.122)
роботу
всіх інших внутрішніх сторонніх сил.
З (5.122) випливає умова збереження повної механічної енергії замкненої системи частинок: повна механічна енергія замкненої системи частинок зберігається, якщо втрати
енергії на роботу проти внутрішніх дисипативних сил компенсуються роботою інших внутрішніх сторонніх сил.
За наявності в замкненій системі частинок лише внутрішніх дисипативних сил її повна механічна енергія може тільки зменшуватися з часом, оскільки
dE |
N вн.дис 0 . |
(5.123) |
|
dt |
|||
|
|
Для замкненої системи частинок, в якій відсутні сторонні сили, може бути сформульований
закон збереження повної механічної енергії замкненої системи частинок:
Повна механічна енергія замкненої системи частинок, між якими діють лише
консервативні сили, зберігається.
Такі системи частинок називають консервативними8. Тоді можна закон збереження повної
механічної енергії замкненої системи частинок сформулювати так:
Повна механічна енергія замкненої консервативної системи частинок зберігається.
Для консервативної системи частинок справедливі рівності
8 Від латинського conservo –– зберігаю. Звідси походять і назви сил: консервативні –– це ті, при яких енергія зберігається, а неконсервативні –– це ті, при яких енергія не зберігається.
187
Eсист Tсист (t) Uсист (t) const , |
(5.124) |
які свідчать про те, що в такій системі з часом може змінюватися як кінетична, так і потенціальна енергія системи частинок, але лише так, щоб їх сума залишалася сталою, тобто завжди dTсист dUсист . Більше того, можуть змінюватись швидкості і положення всіх частинок
системи, тобто її механічний стан, але лише так, щоб її повна механічна енергія залишалася сталою.
n
i 1
mi i2 (t) |
|
1 |
n |
|
|
|
|
|
|
|
Uij (ri |
(t) rj (t)) const . |
(5.124) |
2 |
2 |
|||||
|
|
|
i, j 1 i j
Поняття замкненої консервативної системи в механіці є певною ідеалізацією, оскільки при механічному русі макроскопічних тіл завжди присутні сторонні дисипативні сили тертя (опору),
які можна суттєво зменшити, але не усунути повністю.
Дуже хорошим наближенням до замкненої консервативної системи є Сонячна система, яка існує декілька мільярдів років і рух планет та інших тіл в якій відбувається без помітних змін.
Необхідно підкреслити, що зменшення механічної енергії системи частинок не означає зникнення енергії взагалі, а лише її перехід в інші види енергії, тобто універсальний закон збереження енергії при цьому не порушується при зменшенні повної механічної енергії замкненої системи частинок завжди виникає еквівалентна кількість енергії інших видів: теплової,
променистої тощо. Наприклад, прискорений відносний рух заряджених частинок призводить до збудження електромагнітних хвиль, внаслідок чого кінетична енергія руху заряджених частинок переходить в енергію електромагнітного поля. При гальмуванні транспортних засобів кінетична енергія переходить у теплову завдяки від’ємній роботі дисипативних сил тертя або опору. Те саме відбувається у вимірювальних приладах, що мають рухомі елементи (стрілку, рамку тощо), при гасінні небажаних коливань цих елементів за допомогою різного роду демпферів, які переводять кінетичну енергію рухомого елементу в тепло за рахунок дисипативних сил внутрішнього тертя в повітрі або в рідині. При ударі двох більярдних куль частина їх кінетичної енергії переходить в тепло (йде на їх нагрівання), а деяка мала частина переходить в енергію акустичних хвиль, завдяки чому ми чуємо звук удару.
188
Зауважимо, що повна механічна енергія системи Eсист у загальному випадку не є адитивною величиною, на відміну, наприклад, від кінетичної енергії. Адитивність E має місце лише для систем частинок, що не взаємодіють між собою. Наприклад, якщо енергії двох систем 1
і 2, що не взаємодіють між собою, є E1 та E2 , то повна механічна енергія системи, що складається з цих двох систем, які ми тепер розглядаємо як підсистеми, становить E1 2 E1 E2 . Але, якщо
підсистеми 1 і 2 (тобто частинки, що належать до цих підсистем) взаємодіють між собою, то адитивність повних енергій порушується, оскільки повна енергія системи може бути подана таким чином:
E1 2 T U T1 T2 U T1 T2 U1 U2 U12 E1 E2 U12 , |
(5.125) |
де доданок U12 являє собою потенціальну енергію взаємодії частинок |
підсистеми 1 з |
частинками підсистеми 2. У загальному випадку N підсистем |
|
N |
|
E Ek Uвз , |
(5.126) |
k 1
де Uвз – енергія взаємодії підсистем між собою. Отже повна механічна енергія не є
адитивною величиною внаслідок неадитивності потенціальної енергії.
5.5.1. Енергія незамкненої системи частинок
Реалізувати замкнену систему макроскопічних тіл у земних умовах неможливо, оскільки неможливо ізолювати її від гравітаційного поля Землі. Тому велике практичне значення має розгляд повної механічної енергії незамкненої системи частинок. Обмежимось важливим випадком незамкненої системи частинок, між якими поряд з внутрішніми консервативними діють внутрішні дисипативні сили. Швидкість зміни повної механічної енергії такої системи частинок визначається потужністю внутрішніх дисипативних та зовнішніх сил, прикладених до частинок системи.
dE |
N вн.дис N зовн. . |
(5.127) |
|
dt |
|||
|
|
З рівняння (5.127) випливає, що повна механічна енергія такої системи частинок зберігається, якщо сумарна потужність внутрішніх дисипативних та зовнішніх сил, прикладених до частинок системи, дорівнює нулю. При цьому втрати енергії системою внаслідок дії внутрішніх
189
дисипативних сил компенсуються за рахунок дії зовнішніх сил. Наприклад, вільні коливання гравітаційного маятника припиняються через деякий час внаслідок опору повітря, але якщо втрати його енергії поновлювати за рахунок роботи зовнішніх сил (наприклад, періодичного підштовхування), то коливання триватимуть так довго, як довго буде тривати підштовхування.
Саме завдяки цьому підтримується тривалий рух багатьох пристроїв і механізмів, наприклад,
механічних та електромеханічних годинників, незважаючи на існування дисипативних сил тертя
(опору).
Розглянемо тепер випадок руху незамкненої системи частинок за відсутності внутрішніх дисипативних сил. Зовнішні сили, прикладені до кожної ( i -тої ) частинки, поділимо на консервативні та неконсервативні:
|
|
|
неконс . |
|
(5.128) |
F |
зовн F |
конс F |
|
||
i |
i |
i |
|
|
|
За означенням консервативної сили |
|
|
|||
|
|
|
|
|
(5.129) |
F конс grad U , |
|
|
|||
i |
|
i |
|
|
|
де |
U (x1(t), y1(t), z1(t), x2 (t), y2 (t), z2 (t), . . . , xi (t), yi (t), zi (t). . . , xn (t), yn (t), zn (t),t) |
– |
функція |
||
потенціальної енергії поля зовнішніх потенціальних сил, що, у загальному випадку, може залежати від часу як у явному вигляді, так і неявно через координати частинок, які залежать від
часу, а нижній індекс i |
|
біля значка оператора градієнта означає, що градієнт обчислюється в |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
місці знаходження i -тої частинки. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
Обчислимо сумарну потужність зовнішніх сил |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
зовн |
|
n |
|
зовн |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
неконс |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
N |
|
|
|
|
Fi |
|
i |
i ( gradiU Fi |
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U |
|
|
U |
|
U |
|
|
|
n |
|
неконс |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
(x i y j |
z k ) |
|
|
i |
|
|
j |
|
k |
|
|
|
F |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
i |
|
|
i |
|
i |
|
xi |
|
|
|
yi |
|
zi |
|
|
|
|
|
i |
i |
|
|
|
||||||||||
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
n |
|
U |
dx |
|
U dy |
|
U |
dz |
|
|
n |
|
|
|
неконс |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
F |
|
|
|
(5.130) |
|||||||
|
|
|
x dt |
|
y dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
z dt |
|
|
|
|
i |
|
i |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
i 1 |
|
i |
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
n |
|
U |
dx |
|
U dy |
|
U |
dz |
|
|
U |
|
|
U |
|
n |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F |
неконс |
||
|
|
|
x dt |
|
y dt |
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
t |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
z dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
i |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
i 1 |
|
i |
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i 1 |
|
|
|
||
|
|
|
dU |
|
U |
|
|
n |
|
неконс |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
t |
i Fi |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
190 |
При спрощенні правої частини цього виразу до неї було додано вираз U |
U |
тотожно |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
t |
|
рівний нулю, після чого введено позначення так званої повної похідної від функції V за часом, |
|||||||||||||||||||||||||
|
dU |
|
U |
|
|
|
n U dx |
|
|
|
U dy |
|
|
U dz |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
i |
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
(5.131) |
|
|
dt |
|
|
|
t |
|
|
i 1 xi |
|
dt |
|
yi |
dt |
|
zi |
|
dt |
|
|
||||||
яка фактично є відношенням лінійної частини елементарного приросту функції |
dU за |
||||||||||||||||||||||||
елементарний проміжок часу dt |
до величини цього проміжку. В цей приріст дає внесок як явна |
||||||||||||||||||||||||
залежність потенціальної енергії |
U |
від часу |
t , так і її зміна за рахунок зміни конфігурації |
||||||||||||||||||||||
системи при переміщеннях частинок у зовнішньому потенціальному полі. |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
Тепер рівняння (5.131) можна записати так |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
dE |
|
|
|
dU |
|
|
|
U |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
t |
|
i |
Fi неконс , |
|
|
|
|
|
|
|
(5.132) |
||||||||
|
dt |
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
або
dE U N зовн.неконс ,
dt t
де введено позначення
E T U U ,
а N зовн.неконс означає потужність зовнішніх неконсервативних сил, N зовн.неконс
Величину E називають повною механічною енергією системи частинок
(5.133)
|
|
(5.134) |
|
n |
|
|
|
i |
Fi |
неконс . |
|
i 1 |
|
|
|
у зовнішньому
потенціальному полі. Вона складається з кінетичної енергії T , внутрішньої потенціальної енергії
U та з |
потенціальної енергії системи частинок у зовнішньому потенціальному полі U . |
|
З |
рівняння (5.133) випливає, |
що повна механічна енергія системи частинок у |
зовнішньому потенціальному полі |
U зберігається, якщо зовнішнє потенціальне поле |
|
стаціонарне, тобто не залежить в явному вигляді від часу, U 0 , та потужність зовнішніх
t
неконсервативних сил дорівнює нулю, N зовн.неконс 0 .
Потужність зовнішніх неконсервативних сил дорівнює нулю у двох випадках: коли ці сили
відсутні, |
|
неконс 0 |
|
|
неконс . |
|
F |
або коли для цих сил завжди |
i |
F |
|||
|
i |
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
191 |
Останній випадок |
має місце |
|
для так званих сил нульової |
потужності або, як їх ще |
||
|
|
|
|
|
|
|
називають, гіроскопічних сил9. Прикладом такої сили може бути сила Лоренца F |
q[ B] , |
|||||
|
|
|
|
Лор |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
або сила Коріоліса FКор |
2m[ |
] , оскільки в обох випадках F |
. |
|
|
|
Зауважимо, що оскільки сили інерції, як уже відзначалося, необхідно розглядати як зовнішні, то умова зміни повної механічної енергії системи частинок в НеІСВ набирає вигляду
E |
2 |
E Aвн.дис Aзовн. конс Aзовн.неконс Aін , |
(5.135) |
|
1 |
|
де Aін робота сил інерції.
Повну механічну енергію системи частинок можна подати у вигляді
|
~ |
MV 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
E |
E |
|
|
|
C |
U , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(5.136) |
||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
як суму |
внутрішньої |
або власної |
енергії |
системи |
частинок |
~ |
~ |
~ |
|
|
|||||||||||
E |
T |
U , яка складається з |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
n |
~2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
||
внутрішньої або власної |
кінетичної |
енергії |
системи |
частинок |
T |
i i |
, що визначається |
||||||||||||||
2 |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i 1 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
швидкостями руху частинок відносно центру мас, та її |
внутрішньої або власної потенціальної |
||||||||||||||||||||
~ |
|
1 |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
енергії U U |
|
|
|
U ij |
, яка визначається взаємним розташуванням частинок системи, та повної |
||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
2 i, j 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
i j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
механічної енергії |
руху |
системи частинок |
як цілого, |
яка |
складається з |
кінетичної |
енергії |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
MV 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
U у |
||
поступального |
руху |
системи частинок |
|
C |
як |
цілого |
і |
її потенціальної енергії |
|||||||||||||
|
2 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
зовнішньому потенціальному полі. Прикладом може бути політ футбольного м’яча, який можна розглядати як рух системи частинок, що складається з оболонки м’яча та молекул газу всередині неї, в зовнішньому потенціальному полі сили тяжіння. Наявністю атмосфери знехтуємо, щоб виключити несуттєві для нашого розгляду фактори. Якщо нас цікавить лише рух м’яча як цілого,
то нам цілком достатньо розглядати лише повну механічну енергію руху системи частинок як
цілого, тобто частинки з масою M mобол mгаз , що рухається з швидкістю VC і має
9 Щодо походження такої назви див. параграф 6.7.
|
|
|
192 |
||
|
|
|
MV 2 |
||
потенціальну енергію Mgh, тобто енергію E |
|
|
C |
Mgh . Якщо удар по м’ячу був |
|
поступ |
2 |
||||
|
|
|
|||
|
|
|
|
||
«кручений», то енергія пов’язана з обертовим рухом оболонки повинна бути віднесена до внутрішньої енергії системи частинок. До внутрішньої енергії системи частинок також належить відома з молекулярної фізики так звана внутрішня енергія газу, що заповнює оболонку, яка є не чим іншим як сумою кінетичних енергій молекул газу, обчисленою в СЦМ, та потенціальної енергії взаємодії між ними. Щодо енергії руху маси газу, що заповнює оболонку, як цілого, то вона, як видно з попереднього, дає внесок до повної механічної енергії руху системи частинок як
|
m V 2 |
m gh . |
цілого |
газ C |
|
|
||
|
2 |
газ |
|
|
Таким чином, представлення повної механічної енергії у вигляді (5.136) дозволяє перекинути надійний місток між оповитим певною таємницею поняттям «внутрішньої енергії»,
широко вживаним у молекулярній фізиці, та механічними величинами.
5.6. Застосування законів збереження
5.6.1 Одновимірний фінітний рух
При одновимірному русі механічний стан частинки визначається лише однією змінною
(координатою), що залежить від часу. Раніше нами було розглянуто демонстраційний дослід,
що ілюструє основні риси одновимірного руху, зокрема можливість фінітного руху, коли
частинка рухається в обмеженій області x2 x x1 (Рис. 5.8).
Покажемо, що одновимірний фінітний рух частинки в потенціальному полі за відсутності дисипативних сил завжди є періодичним. З виразу для повної механічної енергії частинки
(5.56), яка за вказаних умов зберігається, можна знайти її швидкість
|
dx |
|
2 |
(E U (x) ) . |
(5.137) |
|||||
|
dt |
|
m |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
З (5.137) знаходимо |
|
|||||||||
dt |
|
|
|
|
dx |
|
, |
(5.138) |
||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|||||||
|
|
2 |
|
(E U (x)) |
|
|
|
|||
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
193 |
звідки інтегруванням лівої частини від t1 до t2 , а правої від x1 до x2 знаходимо час t |
t2 |
t1 , |
|||||||||||||
за який частинка проходить від x1 |
до x2 |
|
|
||||||||||||
|
x2 |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|||||
t12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
(5.139) |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||
x1 |
|
|
(E U (x)) |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
m |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Цілком зрозуміло, що t21 t12 , а повний період, за який частинка пройде від x1 |
до |
x2 і |
|||||||||||||
повернеться назад складає T t12 |
t21 2t12 . |
|
|
||||||||||||
Отже, одновимірний фінітний рух є завжди періодичним з періодом |
|
|
|||||||||||||
|
x2 |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|||||
T 2 |
|
|
|
|
|
, |
|
(5.140) |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
2 |
|
(E U (x) ) |
|
|
|
|||||||||
|
x1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
що залежить від маси m частинки та від величини ділянки [ x1 , x2 ], якою обмежено
фінітний рух. Остання залежить від повної енергії частинки E та вигляду функції U (x)
5.6.2. Коливання частинки поблизу мінімуму потенціальної енергії
Розглянемо так звані малі коливання частинки при фінітному русі частинки поблизу мінімуму потенціальної енергії (Рис. 5.20). Розвинемо в ряд Тейлора функцію потенціальної
енергії U (x) поблизу точки її мінімуму x0 :
U (x) U (x |
|
) |
dU |
(x x |
|
) |
1 |
|
d 2U |
|
(x x |
|
)2 |
|
1 d 3U |
|
(x x |
|
)3 ... (5.141) |
||||||
0 |
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
||||||||||||||
|
|
|
dx2 |
|
3! dx3 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
dx |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x x |
|
|
x x0 |
|
|
|
|
|
x x0 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
Оскільки |
|
dU |
|
|
|
0 , то першим відмінним від нуля доданком у правій частині (141) |
|||||||||||||||||||
|
dx |
|
x x0 |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x x0 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
буде доданок |
квадратичний за |
|
зміщенням |
з |
мінімуму потенціальної енергії (з |
||||||||||||||||||||
положення рівноваги). Вважаючи коливання малими, нехтуємо всіма доданками більш високих степенів і вираз (141) набирає вигляду
U (x) U (x |
|
) |
1 |
|
d 2U |
(x x |
|
)2 . |
(5.142) |
0 |
|
|
dx2 |
0 |
|||||
|
2 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
x x0 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|