5_Zakony zberezhennia

145

Покажемо, що робота консервативних сил при переміщенні частинки по довільній замкненій траєкторії або, як іноді кажуть, по замкненому контуру, дорівнює нулю. На Рис. 5.5

зображено замкнений контур, на якому обрано точки 1 та 2, які поділяють його на дві ділянки

a і b . Тоді роботу A по переміщенню частинки по цьому замкненому контуру, наприклад, із

точки 1 у точку 1 можна подати у вигляді суми робіт на згаданих ділянках контуру a і b :

При зміні напряму руху на протилежний робота змінює знак:

За означенням потенціального поля робота при переміщенні частинки із точки 1 у точку 2

по траєкторіям, одна з яких є ділянка a , а друга – ділянка b замкненого контуру, однакова:

Легко довести й обернене твердження:

Якщо робота сил деякого поля при переміщенні частинки по довільній замкненій траєкторії дорівнює нулю, то робота цих сил по переміщенню частинки між двома довільними точками поля не залежить від форми траєкторії.

Таким чином, рівність нулю роботи сил поля по переміщенню частинки по довільному замкненому контуру є необхідна і достатня умова незалежності роботи по переміщенню частинки між двома довільними точками поля від форми траєкторії. Отже, ця властивість також може бути покладена в основу означення потенційного поля.

Стаціонарне силове поле, в якому робота сили поля при переміщенні частинки по

замкненому контуру дорівнює нулю, називається потенціальним.

Розглянемо роботу APO по переміщенню частинки з довільної точки P потенціального поля в деяку фіксовану точку O . Ця робота залежить лише від положення точки P , яке можна

характеризувати її радіус-вектором rP або її координатами. Отже, робота APO є функція

147

вибору точки O . Іншими словами, частинці, що знаходиться в точці O , може бути приписане довільне значення потенціальної енергії.

До класу потенціальних належать так звані центральні силові поля, в яких силу, що діє на частинку, можна подати загальною формулою

r . Модуль сили в такому полі залежить лише від відстані r до силового центру (до центру поля), тобто має однакову величину в усіх точках, що лежать на сфері радіуса r , а лінія дії сили завжди проходить через центр поля.

Робота сил центрального поля по переміщенню частинки з однієї точки поля в іншу є

Порівнюючи (5.33) з формулами сил, наведеними в Розділі 3, можна побачити, що до класу центральних належать сила всесвітнього тяжіння, кулонівська сила, квазіпружна сила. У

цьому легко переконатися, наприклад, для гравітаційного поля, розглядаючи одну з частинок як центр силового поля і помістивши в нього початок відліку.

Із викладеного вище випливає послідовність дій по відшуканню функції потенціальної енергії потенціального силового поля за відомою формулою сили, що діє на частинку в цьому полі: спочатку необхідно обчислити роботу сил поля з переміщення частинки між двома довільними точками поля, а потім подати її у вигляді приросту деякої функції положення точки

(функції радіус-вектора або координат), взятого зі знаком мінус. Ця функція і буде функцією потенціальної енергії цього поля.

Приклад. Обчислення потенціальної енергії частинки в полі точкової маси або електричного

заряду.

Силу кулонівської або гравітаційної взаємодії між двома частинками можна подати у загальному

вигляді

149

5.2.2. Зв’язок між потенціальною енергією та силою

Знайдемо зв’язок між функцією потенціальної енергії частинки в деякому силовому полі та консервативною силою, що прикладена до частинки з боку цього поля. Скористаємося

З порівняння коефіцієнтів при однакових приростах незалежних змінних у лівій та правій

частинах цієї рівності дістанемо зв’язок між компонентами вектора сили F , прикладеної до частинки з боку потенціального поля в точці простору з координатами x, y, z , та частинними

151

U є тотожним запису gradU . Отже, рівність (5.45) можна також записати у вигляді

Результатом дії оператора градієнта на поле деякої скалярної величини є вектор, який називають градієнтом цієї величини. Можна показати, що градієнт вказує напрям

найшвидшого зростання величини скалярного поля.

Отже, до частинки, що знаходиться в потенціальному полі, з боку цього поля

прикладена сила, що дорівнює градієнту потенціальної енергії частинки в точці її знаходження, взятому зі знаком мінус.

5.2.3. Повна механічна енергія частинки

Сили, прикладені до частинки, в загальному випадку завжди можна розділити на консервативні або потенціальні та неконсервативні або сторонні. Відповідно до (5.18) сумарна робота цих сил змінює кінетичну енергію частинки:

З означення (5.49) видно, що повна механічна енергія частинки є функцією механічного стану частинки.

Умови зміни та збереження повної механічної енергії частинки. Відповідно до рівняння (5.48) приріст повної механічної енергії частинки на елементарному переміщенні дорівнює елементарній сумарній роботі всіх сторонніх сил,

152

а на скінченному переміщенні

де A12стор є сумарна робота всіх сторонніх сил на шляху між точкою 1 і точкою 2.

Оскільки

приріст повної механічної енергії частинки на деякому шляху дорівнює алгебраїчній сумі робіт

Aстор всіх сторонніх сил, що діють на частинку на цьому шляху: якщо Aстор 0 , то повна механічна енергія на цьому шляху зростає, а якщо Aстор 0 , то зменшується.

З рівнянь (5.50) та (5.52) випливає умова збереження повної механічної енергії частинки:

повна механічна енергія частинки зберігається, якщо сумарна потужність або робота всіх

сторонніх сил, що прикладені до частинки, дорівнює нулю.

Якщо сторонні сили взагалі відсутні, то їх потужність у правій частині рівняння (5.52)

завжди дорівнює нулю. Тоді справедливий закон збереження повної механічної енергії частинки:

Повна механічна енергія частинки, на яку не діють сторонні сили, зберігається,

тобто

5.2.4. Одновимірний рух частинки в потенціальному полі

У демонстраційному досліді частинка (невелика сталева кулька) рухається по плоскій

траєкторії, що лежить у вертикальній площині і проходить на різній висоті h над поверхнею демонстраційного стола (котиться вздовж направляючої, виготовленої з кутника) (Рис. 5.8).

Потенціальна енергія кульки в однорідному полі сили тяжіння є U (x) mgh(x) , де h(x)

висота кульки над поверхнею стола в точці з координатою x , яка відлічується вздовж поверхні

153

стола від початку направляючої, де її висота максимальна На направляючій є неглибокий мінімум на відстані порядку 1 м від початку (на Рис. 5.8 обрано різний масштаб по горизонталі

консервативної сили тяжіння кулька почне рухатись і її кінетична енергія буде зростати за рахунок роботи цієї сили, а потенціальна енергія спадати. Оскільки опір руху кульки при її коченні є дуже малий (так званий коефіцієнт тертя кочення набагато менший за коефіцієнт тертя ковзання), а опір повітря при малих швидкостях також незначний, то на невеликих

проміжках часу можна вважати, що повна механічна енергія кульки зберігається, E const .

Тому після проходження мінімуму між точками x1 та x2 потенціальна енергія частинки

починає зростати, а кінетична зменшуватись і, відповідно, зменшуватись швидкість. Після

проходження максимуму між точками x2 та x3 потенціальна енергія частинки знову

зменшується, а кінетична зростає, оскільки повна енергія частинки залишається сталою. Рух

кульки можливий лише на тих ділянках, де кінетична енергія додатна, тобто при E U (x) ,

оскільки швидкість має бути дійсною величиною. Ділянки, де E U (x) є недосяжними для

механічного руху. У зв’язку з цим, одновимірний рух може бути інфінітним, коли частинка прямує на нескінченність (у нашому випадку кулька може котитися по поверхні стола у напрямку необмеженого збільшення x ), або фінітним, коли частинка не виходить за межі

деякої ділянки між x1 та x2 , де виконується умова E U (x) . Для ходу

потенціальної енергії U (x) , зображеного на Рис. 5.8, фінітний рух може мати місце поблизу