Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Эффективное природопользование моделирование, экономика, управление. Монография
.pdf
41
Общая сумма приведенных затрат на эксплуатацию и обустройство всей
группы месторождений определяется выражением
( )
( )
.,μ
11
1
==
−
+=
n
i
t
i
t
ii
T
t
t
yxcqyx
(2.4)
Окончательная задача состоит в нахождении неотрицательных величин
t
i
x
и
t
i
y
( )
,,1 ;,1 Ttni ==
минимизирующих μ(x, y) при ограничениях (2.1) — (2.3).
Сформулированная задача укладывается в схему модели, рассмотренной
в работе [Суспицын, 1975]. Из полученных в ней результатов следует, в частно-
сти, что мерой целесообразности включения в разработку любого i-го место-
рождения является величина
,λ
i
исчисляемая как
( )
.
1
min
1
λλ
11
1
1
1
+−
+
=
+−
+
==
=
−−
=
−
−
tT
qkqc
tT
qkq
t
T
t
t
ii
Tt
T
t
t
i
iii
i
i
Суть этой меры состоит в том, что если все месторождения ранжировать
в порядке возрастания
,λ
i
скажем так, что
,...λλ...λλλ
1321 nrr
iiiiii
−
и если при этом
,
1
1
ПQ
r
s
i
s
−
=
но
,
1
ПQ
r
s
i
s
=
то в разработку будут включены лишь
первые r месторождений из последовательности
,λ
s
i
определяя состав исполь-
зуемых в оптимальном плане источников сырья, позволяет отыскать и замыкающее месторождение (это месторождение по номером ir).
Так как источники, худшие по величине
i
λ
в сравнении с замыкающим,
не используются для выполнения производственного задания П, то можно
предположить, что нумерация I = 1, …, n соответствует ранжировке
s
i
λ
от 1 до r
и месторождение по номером n является, следовательно, «замыкающим». В этих
условиях оптимальный план задачи определяется векторами
x
и y с компонентами
;
11для0
)1,1(
для
1
−
−=
+−
=
i
i
i
i
t
i
tt
ni
Ttt
tT
Q
x
(2.5)
42
;
для0
)1,1(
для
1
−=
=
+−
=
i
i
i
ii
t
i
tt
ni
tt
tT
Qk
y
(2.6)
;11
для
для
0
1
−
+−
−
=
n
n
n
n
t
n
tt
T;tt
tT
ПQ
x
(2.7)
;
для
для
0
1
)(
n
n
n
nn
t
n
tt
;tt
tT
ПQk
y
=
+−
−
=
(2.8)
где
0
1
−=
=
ПQП
n
i
i
, а моменты времени ti
( )
ni ,1=
— точки минимума функции
.
1
)(λ
1
11
+−
+
=
=
−−
tT
qkqc
t
T
t
ii
i
Из решения (2.5) — (2.8) следует, что все месторождения, кроме замыкающего, отрабатываются к моменту времени Т полностью. Замыкающий n-й ис-
точник в периоде
Т,1
используется без остатка лишь тогда, когда сумма запа-
сов всех месторождений в точности совпадает с величиной производственного
задания П. Если же
ПQ
n
i
i
=1
, излишний для выполнения плана запас
ПQП
n
i
i
−=
=1
остается на замыкающем источнике. В дальнейшем будем считать для опреде-
ленности ΔП > 0, что, в частности, позволяет рассматривать исходную задачу
как каноническую задачу линейного программирования и обеспечивает ограни-
ченность множества решений двойственной задачи.
Второе свойство решения (2.5) — (2.8) состоит в том, что оптимальной
политикой разработки месторождений является равномерное извлечение запаса
в течение всего срока эксплуатации соответствующего месторождения.
Согласно условиям (2.5) — (2.8), окончание эксплуатации источников
приурочивается к завершающему моменту планового периода Т, и решение, таким образом, сводится к нахождению оптимальных сроков начала их эксплуата-
ции. Такими сроками и являются календарные даты
i
t
, минимизирующие функ-
ции времени λ
i
(t). В свою очередь, λi(t) зависит от экономических характеристик
43
источников, т. е. от ci и k
i
, и их точки минимума различны, так что неодинаковы
и сроки эксплуатации отдельных источников, определяемые выражением
.1θ +−=
ii
tT
Равномерная интенсивность разработки обусловливает однократность ка-
питаловложений в обустройство каждого i-го месторождения. Вложения, осу-
ществляемые в году
i
t
в объеме
i
i
i
t
i
Q
ky
i
θ
=
,
θ
или
−
=
т
n
n
t
n
ПQ
ky
n
используются
в дальнейшем полностью и не нуждаются в увеличении.
На практике однократные затраты на обустройство и равномерная экс-
плуатация месторождений невозможны из-за ряда условий геологического
и технологического характера, не отраженных в задаче. Ее решение характери-
зует некоторую «идеальную» политику обустройства и отработки источников,
к которой надо стремиться, поскольку это возможно по реально существующим
геолого-технологическим ограничениям. Кроме того, свойства «идеального»
решения, на наш взгляд, полезны для обсуждения более сложных ситуаций.
При условии однократности вложений в обустройство и равномерности
обработки запаса план (2.5) — (2.8) однозначно определяется установлением
дат начала освоения каждого i-го месторождения
)(
i
t
. Оптимизирующий смысл
этого приема и условия нахождения таких дат выявляются при рассмотрении
двойственной задачи.
Оптимальные даты
i
t
определяются минимумом функции времени вида
.
1
)(λ
11
+−
+
=
=
−−
tT
qkqc
t
T
t
t
ii
i
Функции λi связаны с формулировкой задачи, двойствен-
ной к исходной, соответственно с определением двойственных оценок. Обозна-
чив оценки ограничений (2.2) — (2.4) через ui, ω,
,
t
i
v
запишем двойственную за-
дачу (имея в виду, что
ПQП
n
i
i
−=
=1
> 0).
Найти ω ≥ 0, ui ≥ 0;
,0
t
i
v
максимизирующие функционал
=
−=
n
i
iii
t
i
QuПuv
1
ω),,ω(ψ
(2.9)
при условиях:
);,1 ;,1( ω
1
Ttniqcuvk
t
ii
t
ii
==−−
−
(2.10)
44
).11(
1
,T; t,niqv
t
T
t
i
==
−
=
(2.11)
Согласно известным соотношениям для пары двойственных задач линейного программирования, ограничения (2.10) для
i
tt
(т. е. там, где
0
−t
i
x
) вы-
полняются как строгие равенства. Аналогично для
i
tt =
превращаются в равен-
ства и условия (2.11). Кроме того, на векторах
yx,
и при оптимальных значени-
ях оценок ui, ω, и
t
i
v
(обозначим их соответственно через
t
ii
vu , ,ω
) функционалы
(2.4) и (2.9) совпадают. Приняв все это во внимание, получаем следующую си-
стему уравнений:
);1θτ0( ω
1
−=−−
−+−
i
t
ii
t
ii
ii
qcuvk
(2.12)
);1(
1
,niqv
i
i
t
T
tt
t
i
==
−
=
(*)
.ω)ω(),,ω(ψλλ),(
11
ПQuuvПQyx
i
n
i
ii
t
i
n
i
nii
−−==−=
==
(**)
Суммируя по τ для каждого i-го уравнения вида (2.12), получим условие
.)1(ω)1(
1
=
−
=
+
=+−−−+−
T
t
t
ii
T
t
i
t
iii
ii
i
qcutTvktT
С учетом равенства (*) его можно записать в таком виде:
.
1
ω
1
1
+−
+
=−
=
−
−
i
T
tt
t
i
t
i
i
tT
qkqc
u
i
i
Следовательно, минимальное значение
)(λminλ
1
t
i
Tti
=
определяется как раз-
ность между оценкой ограничения по суммарной добыче ресурса (П) и оценкой
запаса i-го месторождения. Тогда уравнение (**) записывается в виде
,ωλλλ
11
ПQПQ
n
i
iin
n
i
ii
−=−
==
откуда непосредственно следует, что
.λωn=
45
Допустимость оценок
t
ii
vu , ,ω
по ограничению (2.10) для
i
tt
и ограниче-
ния (2.11) для
i
tt
проверяется непосредственно, а выполнение равенства (2.14)
означает их оптимальность.
Оценка
выражает прирост суммы приведенных затрат (2.4) при увели-
чении производственного задания П на единицу (достаточно малую величину).
Эта дополнительная единица может быть получена только за счет расширения
добычи на худшем (n — м) месторождении, т. е., за счет резерва ΔП. Следова-
тельно,
определяется уровнем затрат на получение единицы (1т) ресурса
именно на замыкающем месторождении. В силу равномерности эксплуатации
источников сырья добыча дополнительной единицы также будет равномерно
распределена на весь срок
,1θ +−=
nn
tT
так что дополнительная добыча, прихо-
дящаяся на один год этого срока, выражается величиной
.θ1
n
Такое увеличение
годовой добычи потребует дополнительных капиталовложений в момент времени
n
t
в размере
.θ
nn
k
Приведенная к начальному моменту сумма дополни-
тельных капитальных затрат составит
.
θ
1
n
t
n
n
qk
−
Прирост же эксплуатационных
издержек выразится величиной
.
θ
1
n
T
t
n
n
qc
=
−
Сумма этих двух элементов затрат да-
ет их общее увеличение, обусловленное «единичным» дополнительным произ-
водственным заданием в размере
.
θ
1
1
n
t
n
T
t
t
n
n
n
qkqc
−
=
−
+
Отсюда следует, что
.λω
n
=
Введенное ранее в терминах величин
i
λ
понятие замыкающего место-
рождения полностью совпадает с общепринятым затратным его определением.
Баланс производства П замыкается тем источником сырья, который, будучи не-
обходимым для выполнения производственной программы, характеризуется
максимальным по сравнению со всеми прочими источниками уровнем затрат на
получение единицы ресурса. Если эта единица складывается из равновеликих за
некоторый период объемов добычи, как это имеет место в рассматриваемом
случае, то замыкающие затраты в традиционном смысле в точности определяются λ
n
.
Рассмотрим теперь принцип определения оптимальных сроков разработки месторождений
i
θ
(или, что то же самое, оптимальных дат начала работ по
их обустройству и эксплуатации (
i
t
)). При равномерном отборе запаса затраты на
извлечение единицы ресурса на каждом i-м месторождении в течение любого
46
периода
,1θ +−= tT
исчисляются величиной
.
1
)(λ
τ
1τ
+−
+
=
=
−−
tT
qkqc
t
T
t
t
i
t
i
i
Естественно
стремление найти такие сроки разработки месторождений, при которых указанная норма затрат была бы минимальной. Это и достигается минимизацией
)(λ t
i
из условия
),(λmin)(λλ
1
tt
i
Tt
iii
==
а наибольшее по всем i-м месторождениям значе-
ние
i
λ
устанавливает, по определению, уровень замыкающих затрат и указыва-
ет, следовательно, номер замыкающего месторождения n.
Нетрудно интерпретировать и оценки запасов по месторождениям
i
u
.
Каждая из них измеряет влияние потенциального приращения запаса i-гo ис-
точника на сумму затрат (2.4). Если бы такое приращение произошло, можно
было бы снизить общую сумму затрат, заменив равновеликую добычу из худшего источника. Следовательно, оценки ограничений по запасам ресурса в отдельных источниках, определяемые как
,λλλω
inii
u −=−=
представляют собой
максимально возможную экономию общей суммы строительно-эксплуатационных
расходов, обусловленную вытеснением добычи единицы ресурса на замыкающем
месторождении единицей прироста запасов на каждом из прочих месторождений.
Легко также оценить и область устойчивости оценок
ω
и
.
i
u
Очевидно,
что уровень замыкающих затрат
ω
будет неизменным до тех пор, пока увели-
чение производственного задания П не превзойдет резерва не используемых на
замыкающем месторождении запасов ΔП. Если же
=
n
i
i
QП
1
, то при прежнем
наборе месторождений в исходной задаче не существует допустимого плана
и требуется ввести в эксплуатацию источник сырья с худшими по сравнению
с n-м показателями затрат. Это приведет к увеличению удельных замыкающих
затрат ω, а значит, и к возрастанию показателей «экономии замещения»
.λω
ii
u −=
В то же время сокращение производственной программы оставляет
устойчивыми оценки
ω
и
i
u
также лишь в условиях неизменности замыкающих
затрат. Последние уменьшатся и установятся на уровне
1
λ
−n
относительно луч-
шего (n — 1)-го месторождения, как только снижение задания превзойдет разность Qn — ΔП. Тогда снизятся (на величину
1
λλ
−
−
nn
) и показатели «экономии
замещения».
Аналогично определяется устойчивость оценок ui при вариации ограничений на объем запасов П
i
в исходной задаче. Если приращение запасов на ме-
сторождениях (исключая последнее) превосходит уровень добычи ресурса на n-м
источнике (Qn – ΔП), то этот источник исключается из плана, а замыкающие
47
затраты определяются на уровне издержек предшествующего по эффективности месторождения (
1
λω
−
=
n
). Соответственно изменяются и оценки u
i
. При со-
кращении запасов имеем дело с ситуацией, подобной увеличению производ-
ственного задания, и необходимостью вовлечения в эксплуатацию источника,
не попавшего в первоначальную последовательность {1, ..., n}. Что касается оп-
тимальных оценок
),(
i
t
i
ttv
то их структура определяется соотношением
),(λ
1
ii
t
i
t
ii
ttqcvk =+
−
а сами по себе они выступают основой ежегодного возме-
щения (нормы амортизации) капиталовложений в обустройство i-гo месторождения.
Дальнейшему анализу свойств оценок (2.1) — (2.4) существенно препятствуют два момента: во-первых, явное рассмотрение времени как параметра оптимизации и, во-вторых, феномен дисконтирования. Если, скажем, в исходной
задаче принять дисконт за ставку, равную нулю (т. е. положить q = 1), то изложенный выше принцип отбора источников в строительно-эксплуатационную
программу трансформировался бы следующим образом. Для всех месторожде-
ний, включаемых в разработку, срок отработки запасов одинаков и совпадает
с плановым периодом Т, поскольку, не влияя на суммарный объем эксплуата-
ционных расходов, увеличение срока эксплуатации месторождения означает
снижение годовой нормы отбора запаса и соответственно снижение капитальных затрат на обустройство источника. Показатели в этом случае принимают
вид
T
k
c
i
i
+
и означают себестоимость единицы добычи в традиционном ее по-
нимании. Выполнение задания П обеспечивается включением в разработку ме-
сторождений с наименьшими уровнями себестоимости. Разница в затратах
+−
+
T
k
c
T
k
c
i
i
i
i
0
0
и задает норму годовой ренты. С другой стороны, этой раз-
ностью определяется оптимальная оценка запасов
,
i
u
так что отказ от идеи дис-
контирования равномерных затрат позволяет непосредственно описать свойства оптимальных оценок задачи оптимизации режима разработки совокупно-
сти месторождений в терминах классической теории ренты.
Но достигнутые подобным образом успехи в интерпретации оценок в динамических задачах (рассмотренной или более сложных) вряд ли являются серьезным основанием для «захоронения» самой идеи дисконтирования. Поэтому продолжим изучение двойственных характеристик исходной задачи в ее
первоначальном виде. Первый шаг в дальнейшем анализе свойств оценок
i
u
со-
стоит в содержательном понимании величин «средних» удельных затрат λ
i
(t),
48
формирующих оптимальные оценки. Выражение для λi(t) можно переписать
в следующем виде:
.
11
)(λ
1
1
+−
+
+−
=
=
−
−
tT
qc
tT
qk
t
T
t
i
t
i
i
Первое слагаемое в этом выражении означает «бухгалтерскую» аморти-
зацию капитальных средств, задолженных в году t и оцененных в масштабе ну-
левого года (служащего базисом для соизмерения равномерных затрат). Вызванные этими вложениями эксплуатационные расходы составляют величину
ci, начиная с этого года и до конца планового периода. Но в «ценах» базисного
года равновеликие, но разновременные расходы ci неравнозначны и составляют
соответственно
.,...,,
11 −− T
i
t
i
t
i
qcqcqc
Так что величина
1
τ
1τ
+−
=
−
tT
qc
T
t
i
представляет собой
среднеарифметическую величину удельных эксплуатационных затрат, оцененных в масштабе времени за период от момента вложений до конца планового
периода. А сам показатель λ
i
(t) может быть понят как «усредненная» себестои-
мость капитальных средств1. Если для обычной себестоимости с + k/T текущие
затраты с не зависят от интервала планирования (последним определяется нор-
ма годовой амортизации), то при расчете себестоимости с учетом дисконтирования на изменение ее величины в связи с изменением срока функционирования капитального имущества влияет не только компонента, связанная с амортизацией, но и средний уровень текущих затрат, несмотря на постоянство их
абсолютного объема.
На первый взгляд такое истолкование показателей λ
i
(t) позволяет объяснить
оценки
ω
и
i
u
в категориях теории ренты. Оценка задания (спроса на ресурс) ω
определяется условиями эксплуатации наихудшего (замыкающего) источника
(
)λω
0
i
=
, оценка запасов
i
u
равна разности в «себестоимости» замыкающего ме-
сторождения и индивидуальных издержек предприятия, эксплуатирующего i-й
источник:
.λλ
0
iii
u −=
Но в том-то и дело, что структура задачи такова, что опти-
мальный план эксплуатации каждого из месторождений предполагает такие сроки
1
Показатели λi(t) можно подсчитать и другим образом. Нужно взять «приведенные» текущие затраты
=
−
T
t
i
qc
τ
1τ
и прибавить к ним «бухгалтерскую» амортизацию капитальных средств, задолженных в обустройство
источника в году t (точнее, их временнýю оценку), и вычислить среднее арифметическое «фактических» себестоимостей.
49
отработки запасов θ =T – t + 1, при которых величины «себестоимости» λi(t)
минимальны. В отличие от рассмотренной выше ситуации (случай нулевой дисконтной ставки), когда требование минимума «себестоимости»
iii
kc θ+
приводит
к одинаковым для всех месторождений срокам эксплуатации (θ
i
= Т i = 1, 2, ..., i0),
минимизация показателей λ
i
(t) отнюдь не влечет совпадения оптимальных сроков
отработки запасов.
Идентифицировав понятия и признав оценку нормой ренты, мы должны
были бы, согласно схеме задачи (2.1) — (2.4), объявить массой ренты, получаемой от эксплуатации i-гo источника, величину
.iiQu
Так как оптимальным планом
годовой уровень добычи на этом месторождении предполагается равным
ii
Q θ
, то
выражение для массы ренты можно переписать в следующем виде:
.
=
=
T
t
iiii
i
xuQu
Следовательно, показатель
i
u
тем самым приобретает смысл нормы ренты.
Тем более, что такому содержанию
i
u
способствует истолкование величин λi
(формирующих оценку
i
u
) как годового уровня затрат, одна из компонент ко-
торого суть амортизации
( )
,
1
1
Qqk
i
t
i
−
другая — текущие издержки с усреднением
«фактора времени»
.θ
1
i
T
t
i
qc
=
−
Согласно этой логике, первое месторождение
должно ежегодно в течение всего периода его эксплуатации приносить ренту
в объеме
.
11
t
xu
Но в четвертом и пятом годах планового периода разрабатывает-
ся лишь одно первое месторождение (рис. 2.1).
Рис. 2.1. Очередность освоения месторождений однородного минерального сырья
2 4 6 8 10
t
λ
i
50
Если считать данную совокупность месторождений единственным постав-
щиком сырья, то на протяжении этого отрезка времени первое месторождение
(хотя и лучшее) является замыкающим, а затраты на извлечение из него запасов
за этот период времени — с необходимостью ценообразующие. Последнее же
означает, что не может быть в принципе никакой ренты на первом месторождении в четвертом и пятом годах планового периода. Далее. Начиная с шестого
года, в разработку включается второе месторождение с худшими затратными
показателями λi > λ
i
и на протяжении двух лет остается единственной базой
сравнения для первого месторождения. Если первое месторождение в эти годы
и приносит ренту, то уж никак не в объеме
t
ii
xu
(поскольку «фактически» все
еще нет затрат третьего источника), а, скорее,
.)()λλ(
211
t
i
t
ii
xuux −=−
И только ко-
гда в восьмом году в эксплуатацию включается третье месторождение, годовые
ренты составляют величину
t
ii
xu
(i = 1, 2).
Таким образом, далеко не всегда оценки
i
u
имеют смысл рентных показа-
телей в буквальном смысле этого слова. В лучшем случае они могут служить ос-
новой для расчета ренты (в рассматриваемом примере — для оценки годовой
ренты, приносимой условиями эксплуатации первого и второго месторождений,
начиная с года ввода в разработку третьего источника).
2.2. МОДЕЛИРОВАНИЕ ОСВОЕНИЯ
И ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ЗЕМЕЛЬНЫХ РЕСУРСОВ
В области экономико-математического моделирования освоения и экс-
плуатации земельных ресурсов наиболее разработаны и апробированы эконо-
мико-математические модели оптимизации использования земли в сельском
хозяйстве, отражающие процессы сельскохозяйственного производства с уче-
том рационального соотношения земель различных категорий, трансформации
земель из категории в категорию, освоения новых земель для сельскохозяйственной деятельности. Модели, отражающие использование земли в сельском
хозяйстве, в основном предназначены для определения специализации и размещения сельскохозяйственного производства с учетом работ по их улучшению. Кроме того, на основе расчетов по данным моделям возможно получение
экономических оценок земель как сельскохозяйственных ресурсов.
Рассмотрим свойства экономических оценок сельскохозяйственных зе-
мель на примере экономико-математической модели оптимизации освоения
и использования земельных ресурсов в сельском хозяйстве.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]