Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Элементы теории управления. Учебное пособие.pdf
Sq Rd
Rq
Rd
R Rd
m
I
I
L
L
σ
⋅Ψ
= −
Ψ
⋅ +Ψ
Сократим на
Rd
Ψ
1
Sq m Sq
Rq
R
Rm
m
I LI
I
L
LL
L
σ
σ
=−=−
+
+
R Rq m Sq
LI LI= −
R Rq
Rq
Rm
LI
I
LL
σ
=
+
( )
Rq R m R Rq
I L L LI
σ
+=
Rq
I
( )
Rm R
LLL
σ
+=
2
33
.
22
Sq Rd
e Rq Rd
R Sd Rd
I
T pI p
LI
σ
Ψ
=− Ψ=
+Ψ
Sq
I
( )
2
2
3
e
Sq R Sd Rd
Rd
T
I LI
p
σ
= +Ψ
Ψ
R
constΨ=
( , 0)
Rd Rq
constΨ= Ψ=
Sq
I
.
. (2.32)
Из (2.26) получим
Далее следует
Сократим левую и правую часть (2.33) на
Выражение (2.34) представляет собой известное тождество, что
доказывает истинность (2.31).
Подставим (2.31) в (2.15’)
и подставим в (2.32)
.
. (2.33)
. (2.34)
Выразим из (2.35)
Выражением (2.36), при заданном законе управления
, проекция статорного тока
51
(2.35)
. (2.36)
ставится в зависимость от
e
T
(
)
R Sd Rd
LI
σ
+Ψ
R
L
σ
Rd
Ψ
Sq
I
e
T
Sq
I
( )
Sq
I
(
)
e
T
Rd
const
Ψ=
R
Ψ
Sd
I
e
T
m
Ψ
момента
равен
есть, управляя составляющей
. Сомножитель
. Проекция статорного тока
, можно практически безынерционно
при малом рассеянии
пропорциональна моменту
примерно
. То
управлять моментом двигателя.
В данном случае, на основе выражений (2.31), (2.35) была получена
формула (2.36), которая определяет проекцию статорного тока АД на ось q
в зависимости от момента АД
‚ при этом выражения (2.31), (2.35)
получены в соответствии с основным законом векторного управления
(
и
задаёт направление оси d), а следовательно формула
(2.35) — тоже ему соответствует.
Вывод: в общем случае на линейном участке кривой намагничивания
в соответствии с (2.30) составляющая тока статора
момента
и является чисто намагничивающей, а на нелинейном участке
не зависит от
характеристики, в соответствии с (2.29), она зависит от момента (согласно
(2.21), через
) довольно слабо и, в основном тоже является
намагничивающей.
2.3.5. Выбор оптимального магнитного потока ротора
Вопрос выбора магнитного потока ротора тесно связан с энергетической
эффективностью работы электродвигателя.
Обычно двигатели проектируются с учетом оптимизации КПД в
номинальной точке. Если проектировщику известен номинальный магнитный
поток ротора двигателя и предполагается его работа в основном на
номинальной нагрузке, то естественно выбрать величину магнитного потока
ротора равной ее значению в номинальной точке двигателя. Очень часто так и
поступают. Если номинальный магнитный поток ротора и момент двигателя
неизвестны, то проектировщик может считать номинальным тот момент, при
котором ему необходимо обеспечить максимально энергетически выгодный
режим работы двигателя. Затем, задавшись некоторым критерием оптимизации,
надо найти необходимый магнитный поток ротора. В качестве критерия
оптимизации можно принять критерий минимума статорного тока, что
обеспечит минимальные потери.
Предполагается, что параметры двигателя известны (прил. 4) и кривая
намагничивания имеет кусочно-линейную аппроксимацию.
Тогда, варьируя значениями магнитного потока ротора, при назначенном
номинальном моменте надо произвести вычисления по следующим, выведенным
ранее формулам (нумерация слева означает, что формула взята из предыдущего
материала, а её номер соответствует нумерации, сложившейся ранее):
52
22 2
S Sd Sq
II I= +
Rd
constΨ=
R
Ψ
,0
Rd Rq
constΨ= Ψ=
0 00
0, 0,
ii
i a a bb L= = = = =
0
,
Sd
I
L
Ψ
=
0
L const=
( )
2
0
22
1
33
e eR
Sq R Sd Rd
Rd Rd
T TL
I LI
p pL
σ
σ
= +Ψ = +
ΨΨ
2
2
22 2
00
2
1 min
3
Rd e R
S Sd Sq
Rd
TL
II I
L pL
σ
Ψ
=+= + + =
Ψ
2
2
00
2
1 0;
3
Rd
Rd e R
Rd
TL
L pL
σ
Ψ
′
Ψ
+ +=
Ψ
2
23
00
22
2 1 0.
3
Rd e R
Rd
TL
L pL
σ
Ψ
− +=
Ψ
*
Rd
Ψ
(2.37)
При условии выполнения основного закона векторного управления
(
и
задаёт направление оси d),
, для
линейного участка кривой намагничивания из (2.29) (при условии
) следует
(2.38)
где
— главная индуктивность на линейном участке.
Преобразуем с учетом соотношения (2.38) формулу (2.36):
. (2.39)
Если ток статора минимален, то в соответствии с (2.37), (2.38), (2.39)
. (2.40)
Найдем значение магнитного потока ротора, соответствующее
экстремуму тока статора (для асинхронного двигателя этот экстремум
соответствует минимуму тока статора). Для этого вычислим производную от
квадрата модуля тока статора по магнитному потоку ротора и приравняем ее к
нулю
(2.41)
(2.42)
Найдем из этого выражения значение
оптимального магнитного
потока
53
( )
*
0
2
3
e
Rd R
T
LL
p
σ
Ψ= +
( )
*
*
0
00
12
;
3
Rd e
Sd R
T
I LL
LLp
σ
Ψ
= = +
( )
( )
*
0
*
00
0
0
0
2 23
1
3 32
12
.
3
eR e R
Sq
Rd e
R
e
R
TL T pLL
I
p L pL T
LL
T
LL
Lp
σσ
σ
σ
+
= += =
Ψ
+
= +
**
Sd Sq
II=
( )
( )
( )
( )
22
*
0
0
0
22
3
2
3
3
21
.
2
3
3
RR
ee
Rd
e
R
R RR
e
R RR
e
R
RR
TT
p
T
p LL
p
R RR
T
L L LT
T
p LL
p
σ
σ
σ
ω
∆= = =
Ψ
+
= = = =
+
+
. (2.43)
Подставим выражение для найденного оптимального магнитного потока
(2.43) в выражения для составляющих тока статора (2.38) и (2.39):
(2.44)
(2.45)
Заметим, что исходя из (2.44), (2.45) следует
. Следовательно, в
отсутствии насыщения магнитопровода двигателя, при минимуме статорного
тока, модули проекций этого тока на оси координат системы, связанной с
магнитным потоком ротора, равны по величине, а угол между векторами
статорного тока и магнитного потока ротора составляет 45 градусов.
Подставив в формулу (2.18) вычисленное ранее значение оптимального
магнитного потока и осуществив арифметические преобразования, получим
формулу оптимального скольжения
(2.46)
При отсутствии насыщения магнитопровода двигателя скольжение,
соответствующее минимуму тока статора, не зависит от момента и
представляет собой постоянную величину, обратную постоянной времени
ротора.
значение оптимального магнитного потока можно найти, применив тот же
Для нелинейного участка кривой намагничивания аналитическое
54
( )
SmS
L LR
σ
+
*
Rd
Ψ
Rd
constΨ=
R
Ψ
подход, что и на линейном участке, если рассматривать главную индуктивность
как функцию магнитного потока намагничивания. Для аппроксимации кривой
намагничивания можно использовать кусочно-линейную аппроксимацию (2.28)
и формулу вычисления основного магнитного потока (2.21).
При описанном выше способе выбора магнитного потока ротора
номинальному моменту соответствует минимум тока. При работе же с
нагрузками, отличающимися от номинальной, минимум тока, естественно, не
обеспечивается. В этом случае, при изменении нагрузки магнитный поток
ротора можно поменять, но с постоянной времени существенно большей
постоянной времени статора двигателя
. В этом случае магнитный
поток можно считать условно-постоянным, а условие основного закона
векторного управления — выполненным.
Оптимизация магнитного потока уместна, когда:
•
•
вопрос экономии энергии является важным;
нагрузка существенно переменна и меняется не очень быстро (много
медленнее постоянной времени статора двигателя).
Если же требуется максимальное быстродействие привода при резких
скачках нагрузки и ограниченном токе статора, то лучше работать с
постоянным магнитным потоком. При этом магнитный поток выбирается,
исходя из допустимого тока статора, являющегося минимальным для
максимального момента. Естественно, что подобный подход несколько
ухудшает энергетические показатели привода при малых моментах.
Из вышесказанного можно сделать вывод: в зависимости от
требований к системе надо строить ее структуру, балансируя между
энергетической эффективностью и быстродействием.
Формула вычисления оптимального значения
(2.43) была
получена при условии выполнения основного закона векторного
управления (
частоты амплитуда тока статора ограничивается ростом индуктивного
сопротивления двигателя. Следовательно, с ростом частоты ограничивается и
предельно достижимый двигателем момент.
от частоты и определяется следующим соотношением
и
задаёт направление оси d).
2.3.6. Ограничение момента
Очевидно, что при работе на номинальном напряжении с повышением
Максимальный момент, который двигатель способен обеспечить, зависит
55
max
,
ном
ном
MM
ω
ω
=
ном
M
ном
ω
.P M const
ω
= =
( )
max
M
_ limS
I
(2.47)
где:
– номинальный момент двигателя;
– номинальная скорость двигателя.
Данное соотношение исходит из предположения о сохранении
механической мощности при работе двигателя на различных скоростях:
Это утверждение не является абсолютно точным, так как на разных
частотах потери в двигателе разные, и мощность, строго говоря, не сохраняется.
Но, тем не менее, в первом приближении это соотношение обычно можно
считать верным. На рис. 2.3 представлен график, построенный по соотношению
(2.47).
номинального.
возрастание обычно ограничивают на уровне некоторого перегрузочного
момента
допустимого тока силового преобразователя.
значением, связанным с его физической реализацией. Зная магнитный поток
ротора и предельно допустимый ток силового преобразователя
используя формулу (2.35), вычислить перегрузочный момент по формуле
Рис. 2.3
Рассмотрим график более подробно.
На частотах выше номинальной предельный момент падает относительно
На частотах ниже номинальной предельный момент возрастает. Его
, который выбирается исходя из требуемой динамики привода и
Ток реального силового преобразователя всегда ограничен предельным
, можно,
56
22 2
2
_ lim
_
33
22
Rd S Sd
Sq Rd
e пер
R Sd Rd R Sd Rd
II
I
Tp p
LI LI
σσ
Ψ−
Ψ
= =
+Ψ +Ψ
Sd
I
0
Sd
I
L
Ψ
=
22 2
_ lim 0
_
0
3
.
2
Rd S Rd
e пер
R
IL
Tp
LL
σ
Ψ −Ψ
=
+
.
ном
пер ном
пер
M
M
ωω
=
dq
при этом вычисляется с использованием формул (2.21), (2.29) и (2.30).
В частном случае, на линейном участке кривой намагничивания, при
соотношение (2.48) перепишется в виде
Частота, ниже которой начинается ограничение момента на уровне
перегрузочного, определяется выражением
(2.48)
(2.49)
(2.50)
При построении системы регулирования необходимо учитывать
условия ограничения момента, используя для этого соотношения (2.47),
(2.48), (2.49), (2.50).
2.4. Синтез Simulink-модели системы векторного управления
асинхронным двигателем
Для разработки алгоритма векторного управления необходимо
реализовать структуру, изображённую на рис. 2.1. В данном параграфе будет
рассмотрен синтез системы управления током статора асинхронного двигателя.
Положим в качестве объекта управления линейную модель АД вида (1.70).
Если временно исключить из структуры векторного управления ( рис. 2.4)
ШИМ и все виды преобразования координат и положить‚ что и объект
управления, и система управления рассматриваются исключительно во
вращающейся
координатной системе, то в этом случае, для синтеза
регуляторов тока по напряжению можно использовать линейную теорию,
основанную на теории наблюдателей и модальном методе размещения
желаемых полюсов замкнутой системы, далее будут изложены основные
положения данного подхода.
57
0
()x Ax B u Fz
=++
z Pz=
y Cx=
n
xR∈
k
yR∈
l
zR∈
0
m
uR∈
; ;; ;
nn nm ll kn ml
AR BR PR CR FR
×× ×× ×
∈ ∈ ∈∈ ∈
A
B
C
F
Рис. 2.4. Общая структура системы управления током статора асинхронного
двигателя, рассматриваемая исключительно во вращающейся dqсистеме координат
Положим, что наблюдаемая система будет иметь вид:
(2.51)
где:
— вектор пространства состояния наблюдаемой системы;
— вектор измеряемых величин наблюдаемой системы;
— вектор возмущающих воздействий наблюдаемой системы;
— вектор управляющих воздействий наблюдаемой системы;
— постоянные матрицы,
согласованные с указанными выше векторами.
— матрица, определяющая динамику наблюдаемой системы;
— матрица согласования с управляющим воздействием; P— матрица,
определяющая динамику возмущающих воздействий;
определяющая измеряемые выходные величины;
— матрица согласования с
— матрица,
возмущающим воздействием.
Для наблюдаемой системы (2.51) построим наблюдатель:
58
01
ˆˆ ˆ
ˆ
( )( )x Ax B u Fz L y y
=+ ++ −
2
ˆ
ˆˆ
()z Pz L y y=+−
ˆˆ
y Cx=
ˆ
n
xR∈
ˆ
k
yR∈
ˆ
l
zR
∈
[ ]
()
1 2 12
;;
T
nk lk nl k
LR LR L LL R
× × +×
∈ ∈= ∈
12
ˆ
ˆ
( ); ( );
xx zz
εε
=−=−
12
;
nl
RR
εε
∈∈
1 11 2
2 21 2
1
() ;
;
ˆ
() ;
A L C BF
LC P
yy C
ε εε
ε εε
ε
=−+
=−+
−=
1 11 2
2 21 2
11
1
() ;
;
ˆˆ
( );
ˆ
() ;
A L C BF
LC P
x L C A BR x
yy C
ε εε
ε εε
ε
ε
=−+
=−+
= +−
−=
0
ˆ
ˆ
u Rx Fz=−−
mn
RR
×
∈
; (2.52a)
; (2.52b)
, (2.52c)
где:
— вектор измеряемых величин наблюдателя;
— вектор возмущающих воздействий наблюдателя;
наблюдателя.
Вычтем из системы (2.51) систему (2.52) и, с учётом замены
получим систему
— вектор пространства состояния наблюдателя;
— матрица обратной связи
(2.54)
, (2.53)
которая, в силу замены (2.53), характеризует динамику сходимости
наблюдателя (2.52) к наблюдаемой системе (2.51).
Далее объединим систему (2.54) с подсистемой (2.52a):
(2.55)
положив при этом, что
,
. (2.56)
В объединённую систему (2.55) из (2.52) вошла подсистема,
описывающая наблюдатель пространства состояний (2.52a), но не вошла
59
;
ˆ
();
A
yy C
ηη
η
=
−=
(2 ) (2 )
1
()()()
0
;
()
nl nl
nl nl nl n
A LC
AR
L C A BR
n n l nn
+× +
+× + +×
−
= ∈
−
×+ ×
−
()()
;
0
nl nl
A BF n n n l
AR
P ln ll
+× +
××
= ∈
××
−
(2 )
0 () ;
k nl
C C R k nl kn
×+
= ∈ ×+ ×
−
()
0;
k nl
C C R kn kl
×+
= ∈ ××
−
1
2
.
ˆ
x
ε
ηε
=
A
A
()
A LC−
()A BR−
A
()A LC−
()A BR−
,AB
,AC
A
ˆˆ
ˆ
; ;0x xz zx→→→
(2.58)
подсистема, описывающая наблюдатель, восстанавливающий вектор
возмущающих воздействий (2.52b), ниже этому будет дано пояснение.
Объединённую систему (2.55) можно записать в матричном виде
(2.57)
где
(2.59)
(2.60)
(2.61)
(2.62)
Необходимо заметить, что вследствие особенностей структуры матрицы
(2.58) и свойств определителя — следует, что характеристический полином
матрицы
состоят из собственных значений матриц
равен произведению характеристических полиномов матрицы
и матрицы
, а собственные значения матрицы
и
.
(2.58)
Далее, пусть пара матриц
матриц
— полностью наблюдаема, тогда вследствие указанных выше
— полностью управляема и пусть пара
особенностей структуры матрицы
назначить любые желаемые устойчивые корни характеристического уравнения,
сделав асимптотически устойчивым нулевое решение системы (2.57), что
вследствие (2.53),(2.62) означает
60
(2.58), для системы (2.57) можно
, откуда следует, что в