Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Элементы теории управления. Учебное пособие.pdf
22
sin sin sin
33
2
.
3
22
cos cos cos
33
ππ
ββ β
ππ
ββ β
−+
−+
ABC dq
→
sin ,cos
αα
ω
ω
B
F
v
B
F
v
[ ];F qv B= ×
sin ;F qvB
α
=
В соответствии с (1.47), в нашем случае, матрица преобразования из
неподвижной системы координат ABC во вращающуюся dq систему координат
примет следующий вид
(2.1)
Преобразование
(1.1) и по приведенным выше формулам, основано на арифметических
действиях, в которых прямое определение значений тригонометрических
функций потребуется лишь при отыскании величин
существенно для такого рода вычислений, осуществляемых непрерывно в
режиме реального времени.
Следует сказать, что система управления АД должна быть настроена так,
чтобы динамика изменения синхронной частоты
функционирования (РЧРпоСЧ), не форсировала бы динамику асинхронной
машины, а осуществляло бы изменение синхронной частоты
параметров внешней нагрузки и собственных характеристик электрической и
механической составляющих АД.
2.2. Математическое описание асинхронного двигателя
Математическое описание асинхронной машины базируется на
понимании обобщенных векторов тока, напряжения, потокосцепления статора
и ротора. Особое внимание будет уделено такому понятию как
потокосцепление или полный магнитный поток, поэтому рассмотрим основные
положения, касающиеся данного вопроса.
, осуществляемое в соответствии с матрицей
, что весьма
в соответствии с законом
с учётом
Магнитная индукция
характеристикой магнитного поля (его действия на движущиеся относительно
данного магнитного поля заряженные частицы и тела, имеющие магнитный
момент) в данной точке пространства. Определяет, с какой силой
поле действует на заряд q, движущийся со скоростью
Более конкретно,
действующая со стороны магнитного поля на заряд q, движущийся со
скоростью
, равна
— векторная величина, являющаяся силовой
.
— это такой вектор, что сила Лоренца
41
магнитное
,
v
B
F
i
Ψ
i
B
i
dS
||
i
B
i
dS
i
β
i
B
i
n
i
dS
| | cos
i ii i
B dS
β
Ψ=
k
Ψ
k тый−
k
n
i
k
Ψ
k
i
dS
1,
k
in=
k ого
−
1
k
i
n
kk
i=
Ψ= Ψ
∑
Ψ
Ψ
1
n
k
k =
Ψ= Ψ
∑
S
R
R
RS
R
R
m
S
ωω
ω
−
=
ω
m
ω
p
()
Rm
p
ωω
= ⋅
S
U
S
I
где знаком × — обозначено векторное произведение, α— угол между
векторами скорости
и магнитной индукции
(направление вектора
ортогонально им обоим и направлено по правилу векторного произведения или
правилу буравчика).
Магнитный поток
некоторую достаточно малую поверхность
на площадь участка
плоскости участка
, то есть
Магнитный поток
находится как сумма
магнитных потоков
, на которые можно разбить контур
индуктивности, то есть
Потокосцепление
— поток вектора магнитной индукции
равен произведению модуля
и косинус угла
между
и нормалью
.
через
виток катушки индуктивности
через малые фрагменты
витка катушки
.
(полный магнитный поток
) катушки
через
к
индуктивности — физическая величина, представляющая собой суммарный
магнитный поток, проходящий через все n витков катушки индуктивности, то
,
есть
.
Ниже приведена необходимая в дальнейшем аббревиатура, обозначающая
фиксированные параметры и названия переменных величин двигателя,
характеризующих физические процессы внутри АД:
— сопротивление статора, характеризует активные потери в
статорных обмотках и равно сопротивлению фазной обмотки статора;
— параметр характеризует активные потери в роторе, где:
— сопротивление ротора в режиме короткого замыкания
(вал двигателя заторможен),
— коэффициент скольжения,
где
— скорость вращения поля,
— скорость вращения ротора.
— количество пар полюсов асинхронной машины;
— электрическая угловая скорость ротора;
— вектор напряжения статора;
— вектор тока статора;
42
R
I
mSR
I II= +
Sm S
LLL
σ
= +
Rm R
LLL
σ
= +
m
L
S
L
σ
R
L
σ
m mm
LIΨ=
S SS
LI
σσ
Ψ=
R RR
LI
σσ
Ψ=
Sm S
σ
Ψ =Ψ +Ψ
Rm R
σ
Ψ =Ψ +Ψ
mmmmSmR
LI LI LI
Ψ= = +
( )
( )
;
Sm S
mm SS m S R SS mR m S S
mR SS
LI L I L I I L I LI L L I
LI LI
σ
σ σσ
Ψ =Ψ +Ψ =
=+= ++=++ =
= +
—вектор тока ротора;
— вектор тока намагничивания;
— индуктивность статора;
— индуктивность ротора;
— индуктивность намагничивания (взаимная индуктивность статора и
ротора) характеризует ту часть магнитного потока, которая сцеплена со
статором и с ротором и участвует в создании момента. На линейном участке
кривой намагничивания двигателя индуктивность намагничивания является
величиной постоянной. При насыщении магнитопровода двигателя величина
индуктивности намагничивания уменьшается;
— индуктивность рассеяния статора (собственная индуктивность
статора) характеризует ту часть магнитного потока статора, которая не
сцеплена с ротором и не принимает участие в создании момента;
— индуктивность рассеяния ротора (собственная индуктивность
ротора) характеризует ту часть магнитного потока ротора, которая не сцеплена
со статором и не принимает участие в создании момента;
— вектор магнитного потока намагничивания или вектор
потокосцепления;
— вектор магнитного потока (вектор потокосцепления)
рассеяния статора;
— вектор магнитного потока (вектор потокосцепления)
рассеяния ротора;
— вектор магнитного потока (вектор потокосцепления)
статора;
— вектор магнитного потока (вектор потокосцепления)
ротора;
С помощью вышеприведенных выражений магнитные потоки
выражаются через токи статора и ротора следующим образом:
; (2.2)
43
(2.3)
( )
( )
.
Rm R
mm RRmSR SRmS m RR
mS RR
LILILII LILI LLI
LI LI
σ
σ σσ
Ψ =Ψ +Ψ =
= + = ++ = + + =
= +
e
T
e
T
p
( )
3
2
e Rm
T pI= ⋅ ×Ψ
( )
3
sin ,
2
e R m Rm
T pI I= ⋅ Ψ⋅ ∠ Ψ
S
S SS
d
U RI
dt
Ψ
= +
0
R
RR
d
RI
dt
Ψ
= +
dq
Sq S Sq Sq Sd
d
U RI
dt
ω
= + Ψ+Ψ
Sd S Sd Sd Sq
d
U RI
dt
ω
= + Ψ −Ψ
0 ()
R Rq Rq R Rd
d
RI
dt
ωω
= + Ψ+ − Ψ
(2.4)
Электромагнитный момент асинхронного двигателя возникает вследствие
взаимодействия тока ротора с потокосцеплением в воздушном зазоре
(магнитным потоком намагничивания). Вектор электромагнитного момента
и его скалярная величина
полюсов
‚ определяются следующими выражениями:
для трехфазного двигателя, с учетом числа пар
,
. (2.5)
В соответствии со вторым законом Кирхгофа запишем уравнения
равновесия ЭДС статора и короткозамкнутого ротора (формулы (1.29),(1.30)
источник [1])
, (2.6)
. (2.7)
Во вращающейся
системе координат уравнение (2.6) примет вид
(формулы (1.39), (1.40) источник [1]):
, (2.8)
, (2.9)
а уравнение (2.6) примет вид (формулы (1.41), (1.42) источник [1]):
44
, (2.10)
0 ()
R Rd Rd R Rq
d
RI
dt
ωω
= + Ψ− − Ψ
;
;
;
;
;
;
3
( );
2
;
;
0 ( );
0 ( ).
mSR
Sm S
Rm R
m mm
S SS
R RR
e Rm
Sq S Sq Sq Sd
Sd S Sd Sd Sq
R Rq Rq R Rd
R Rd Rd R Rq
III
LI
LI
LI
T pI
d
U RI
dt
d
U RI
dt
d
RI
dt
d
RI
dt
σ
σ
σσ
σσ
ω
ω
ωω
ωω
= +
Ψ =Ψ +Ψ
Ψ =Ψ +Ψ
Ψ=
Ψ=
Ψ=
= ⋅ ×Ψ
= + Ψ +Ψ
= + Ψ −Ψ
= + Ψ+ − Ψ
= + Ψ− − Ψ
R
Ψ
d
Rd
constΨ=
R
Ψ
Rd
constΨ=
0
Rq
Ψ=
0
R Rq Rd
RI
ω
+∆ ⋅Ψ =
(2.12)
. (2.11)
Исходя из всего вышесказанного, запишем систему
Уравнения (2.12) представляют собой математическое описание
асинхронного двигателя, необходимое для построения системы
управления.
2.3. Синтез регулятора момента по току статора (РМТС)
2.3.1. Зависимость магнитного потока намагничивания от момента
( рис. 2.1), для этого положим, что вектор
законом векторного управления АД.
(2.11) примут вид:
Из системы (2.12) получим регулятор момента по току статора (РМТС)
, причём
Из сформулированного закона регулирования следует:
. В этом случае уравнения динамического равновесия ротора (2.10),
и магнитного потока ротора АД
определяет направление оси
. Наложенное на
условие называется основным
, (2.13)
45
;
0
R Rd
RI =
где
()
R
ω ωω
∆= −
R
I
q
( )
0
Rd
I =
R
Ψ
( )
;0
Rd Rq
constΨ= Ψ=
R
I
R
Ψ
0
Rd
R
Ψ
Ψ=
0
R
Rq
I
I
=
( )
( )
( )
(
)
( ) (
) ( )
( )
( )
(
)
33 3
22 2
33
22
33
.
22
e R m R R R R RR R
RRR RR RR RRR
R R Rd Rq Rq Rd
T pI pI pI I
pI ILI pI LII
p I pI I k
σσ
σσ
= ⋅ ×Ψ = ⋅ × Ψ −Ψ = ⋅ ×Ψ − ×Ψ =
= ⋅ ×Ψ − × = ⋅ ×Ψ − × =
= ⋅ ×Ψ = Ψ − Ψ
( )
( )
33
.
22
e Rd Rq Rq Rd Rq Rd
T pI I pI= Ψ− Ψ =− Ψ
Rq
I
Rd
Rq
R
I
R
ω
∆Ψ
= −
( )
2
33 3
.
22 2
Rd Rd
e Rq Rd Rd
RR
T pI p p
RR
ωω
∆ ⋅Ψ ∆ Ψ
=− Ψ=− − Ψ =
(2.15)
, (2.14)
— скорость скольжения ротора АД.
Из (2.14) следует, что вектор тока ротора
— направлен вдоль оси
, тогда как из вышесказанного следует, что вектор потокосцепления
ротора
— направлен вдоль оси d
вывод об ортогональности векторов
,
и из сказанного получаем
, поэтому делаем
,
. (2.14’)
В этом случае выражение для вектора электромагнитного момента
асинхронного двигателя (2.5) можно представить в следующем виде
Исходя из (2.15) и (2.14’) получим выражение для скалярной величины
электромагнитного момента асинхронного двигателя
Выразим
из уравнения (2.13)
(2.16)
и подставим (2.16) в (2.15’), получим
46
(2.15’)
(2.17)
ω
∆
2
2
.
3
R
e
Rd
R
T
p
ω
∆=
Ψ
Rm R
σ
Ψ =Ψ +Ψ
m R R R RR
LI
σσ
Ψ=Ψ−Ψ =Ψ−
0
0
md
Rd
m R RR R
mq Rq
LI L
I
σσ
Ψ
Ψ
Ψ= =Ψ− = −
Ψ
md Rd
Ψ=Ψ
mq R Rq
LI
σ
Ψ=−
( )
2
2 2 2 2 22
.
m md mq Rd R Rq Rd R Rq
LI LI
σσ
Ψ=Ψ+Ψ=Ψ+− =Ψ+
2
22
2 22
2
.
Rd Rd
m Rd R Rd R
RR
LL
RR
σσ
ωω
∆ ⋅Ψ ∆ ⋅Ψ
Ψ=Ψ+− − =Ψ+
2
22 2
22 22
2 22
2
2
2
3
2
.
3
Rd R Rd
m Rd R Rd R e
R Rd R
Re
Rd
Rd
R
L LT
R pR
LT
p
σσ
σ
ω
∆ ⋅Ψ Ψ
Ψ=Ψ+ =Ψ+ =
Ψ
=Ψ+
Ψ
m
Ψ
e
T
Rd
Ψ
Rd
constΨ=
R
Ψ
Выразим из (2.17) скорость скольжения
Из тождества
из (2.14’), следует
,
Подставим (2.16) в (2.19) и получим
выразим
, откуда следует:
(2.18)
, затем
и получаем
(2.19)
Затем подставим (2.18) в (2.20) и получим
Уравнение (2.21) представляет собой зависимость магнитного потока
намагничивания
ротора
при выполнении условия основного закона векторного
управления АД (
от момента
и
определяет направление оси d).
(2.20)
(2.21)
и координаты магнитного потока
47
m
Ψ
m
I
m
Ψ
m
I
m
L
m mm
LIΨ=
m
L
m
I
m im i
bI aΨ= +
m
L
m
I
2.3.2. Кусочно-линейные аппроксимации основных
характеристик АД
Рис. 2.2. а) характеристика намагничивания АД; б) зависимость главной
индуктивности от тока намагничивания АД; в) кусочно-линейная аппроксимация
характеристики намагничивания АД
Магнитный поток намагничивания АД
связан с током
намагничивания АД
через характеристику намагничивания двигателя. Вид
типичной характеристики намагничивания асинхронного двигателя
представлен на рис. 2.2, a.
Величина магнитного потока намагничивания
произведением величины тока намагничивания
АД
:
на главную индуктивность
является
. (2.22)
Вследствие насыщения магнитной цепи двигателя его главная
индуктивность
является функцией тока намагничивания
(рис. 2.2, б).
Имея экспериментальную или расчетную характеристику намагничивания,
можно аппроксимировать её некоторой математической функцией. С точки зрения
дальнейшей цифровой реализации весьма удобно осуществлять кусочно-линейную
аппроксимацию данной характеристики (рис. 2.2, в).
Для i-го участка кусочно-линейной аппроксимации характеристики
намагничивания АД (рис. 2.2, а) можно написать линейную функцию (рис. 2.2, в)
. (2.23)
Исходя из (2.22) и (2.23), для i-го участка кусочно-линейной
аппроксимации зависимости главной индуктивности
намагничивания АД
(рис. 2.2, б) можно написать функцию
48
от тока
mi
mi
mm
a
Lb
II
Ψ
= = +
m
I
m
Ψ
.
mi
m
i
a
I
b
Ψ−
=
m
L
m
Ψ
( )
mi
m
mi
b
L
a
Ψ
=
Ψ−
0
Rd
R
Ψ
Ψ=
0
R
Rq
I
I
=
0
0
Sd m Sd
Rd
R mS RR m R
Sq Rq m Sq R Rq
I LI
LI LI L L
I I LI LI
Ψ
Ψ= = + = + =
+
0;
m Sq R Rq
LI LI+=
. (2.24)
Так же, исходя из (2.23), для i-го участка кусочно-линейной
аппроксимации зависимости тока намагничивания
от магнитного потока
намагничивания АД
, можно написать линейную функцию
(2.25)
В силу (2.24) и (2.25) для i-го участка кусочно-линейной аппроксимации
зависимости главной индуктивности
АД
, получим функцию
от магнитного потока намагничивания
(2.25’)
В данном параграфе были получены кусочно-линейные функции для
аппроксимации: зависимости магнитного потока намагничивания от тока
намагничивания АД (2.23); зависимости главной индуктивности от тока
намагничивания АД (2.24); зависимости тока намагничивания от
магнитного потока намагничивания АД (2.25); зависимости главной
индуктивности от магнитного потока намагничивания АД (2.25’).
2.3.3. Связь между моментом АД и проекцией тока статора на ось d
В соответствии с тем, что в нашем случае
( (2.14’)) и, согласно (2.4)
откуда получим
— ортогонален
,
(2.26)
49
.
Rd m Sd
LIΨ=
m
m
m
L
I
Ψ
=
( )
.
mi
m
mi
b
L
a
Ψ
=
Ψ−
( )
Rd m i
Rd
Sd
m mi
a
I
Lb
Ψ Ψ−
Ψ
= =
Ψ
m
Ψ
Rd
Ψ
e
T
0
0a =
( ) ( )
0
0 00
,
Rd m Rd m
Rd
Sd
mm
a
I
b bb
ΨΨ− ΨΨ
Ψ
= = =
ΨΨ
0
b
0m
LL=
(
)
Sd
I
Rd
constΨ=
R
Ψ
Sq Rd
Rq
R Sd Rd
I
I
LI
σ
Ψ
= −
+Ψ
Rd
Sd
m
I
L
Ψ
=
. (2.27)
Так как
, то в силу (2.25) получим
(2.28)
Тогда, согласно (2.27), (2.28), получим
, (2.29)
где
определен через магнитный поток ротора
выражением (2.21).
При работе на линейном участке кривой намагничивания, при
выражение (2.28) перепишется в следующем виде:
и момент
(2.30)
где
— это постоянное значение индуктивности намагничивания
на линейном участке.
Таким образом, на основе выражений (2.27), (2.28) были получены
выражения (2.29) и (2.30), которые определяют проекцию статорного тока
на ось d
основного закона векторного управления (
, при этом, согласно (2.27), присутствует выполнение
и
задаёт
направление оси d).
2.3.4. Связь между моментом АД и проекцией тока статора на ось q
Докажем истинность (2.30)
. (2.31)
В соответствии с (2.27) получим
и подставим в (2.31)
50