Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Элементы теории управления. Учебное пособие.pdf
ABC
U
ABC
dq
d
U
,AB
sin( )
dA d
UU t
ω
=
2
sin
3
dB d
UU t
π
ω
= −
2
sin
3
dСd
UU t
π
ω
= +
U
dq
ABC
sin cos
22
sin cos .
33
22
sin cos
33
A
dA qA
d
B dB qB
q
dC qC
C
tt
U
UU
U
U UU t t
U
UU
U
tt
ωω
ππ
ωω
ππ
ωω
+
=+= − −
+
++
Рис. 1.8. Связь вращающейся системы координат dqc неподвижной системой
координат
Рассмотрим обратную задачу, найдём представление обобщённого
вектора
в неподвижной системе координат
представление во вращающейся системе координат
Проекции
на оси
и C, в соответствии с рис. 1.8, равны
;
;
Обобщая всё вышесказанное, приходим к матричному представлению
преобразования координат обобщённого вектора
координат
в неподвижную систему координат
, если известно его
(рис. 1.8).
.
из вращающейся системы
:
21
(1.47’)
U
;
;
0 ( );
0 ( ).
Sq S Sq Sq Sd
Sd S Sd Sd Sq
R Rq Rq R Rd
R Rd Rd R Rq
d
U RI
dt
d
U RI
dt
d
RI
dt
d
RI
dt
ω
ω
ωω
ωω
= + Ψ+Ψ
= + Ψ −Ψ
= + Ψ+ − Ψ
= + Ψ− − Ψ
;
;
;
;
Sq S Sq m Rq
Sd S Sd m Rd
Rq R Rq m Sq
Rd R Rd m Sd
LI LI
LI LI
LI L I
LI LI
Ψ= +
Ψ= +
Ψ= +
Ψ= +
;
;
S Sm
R Rm
LL L
LL L
σ
σ
= +
= +
m
L
S
L
σ
R
L
σ
Полученные зависимости (1.47), (1.47’) были сформулированы для
некоторого обобщённого вектора
, но они также верны для любого
обобщённого вектора рассматриваемой математической модели асинхронного
двигателя.
1.4. Нелинейная математическая модель трёхфазной асинхронной
машины с короткозамкнутым ротором
Запишем уравнения (1.39) − (1.42) в виде системы:
(1.48)
Согласно закону Ампера, потокосцепления обмоток и токи, протекающие
по этим обмоткам, связаны следующими выражениями:
где
— взаимная индуктивность статора и ротора;
— индуктивность рассеяния статора характеризует ту часть
магнитного потока статора, которая не сцеплена с ротором и не принимает
участие в создании момента (собственная индуктивность статора);
— индуктивность рассеяния ротора характеризует ту часть
магнитного потока ротора, которая не сцеплена со статором и не принимает
участие в создании момента (собственная индуктивность ротора).
(1.49)
(1.50)
22
00
00
.
00
00
Sq S m Sq
Sd S m Sd
Rq m R Rq
Rd m R Rd
LL I
L LI
LLI
L LI
Ψ
Ψ
=
Ψ
Ψ
1
00
00
.
00
00
Sq S m Sq
Sd S m Sd
Rq m R Rq
Rd m R Rd
IL L
I LL
IL L
I LL
−
Ψ
Ψ
=
Ψ
Ψ
22
22
22
22
00
00
.
00
00
Rm
m SR m SR
Sq Sq
Rm
m SR m SR
Sd Sd
Rq Rq
mS
m SR m SR
Rd Rd
mS
m SR m SR
LL
L LL L LL
I
LL
L LL L LL
I
I
LL
L LL L LL
I
LL
L LL L LL
−
−−
Ψ
−
−−
Ψ
=
Ψ
−
−−
Ψ
−
−−
22
22
22
22
;
;
;
.
Rm
Sq Sq Rq
m SR m SR
Rm
Sd Sd Rd
m SR m SR
mS
Rq Sq Rq
m SR m SR
mS
Rd S d Rd
m SR m SR
LL
I
L LL L LL
LL
I
L LL L LL
LL
I
L LL L LL
LL
I
L LL L LL
=− Ψ+ Ψ
−−
=− Ψ+ Ψ
−−
= Ψ− Ψ
−−
= Ψ− Ψ
−−
Запишем выражение (1.49) в матричном виде
(1.51)
Выразим из (1.51) столбец токов через обратную матрицу
(1.52)
После расчета обратной матрицы в системе (1.52) получим
Теперь перейдём от матричного уравнения вида (1.53) к системе
уравнений:
(1.54)
23
(1.53)
Подставим (1.54) в (1.48). В результате получим
22
22
22
22
;
;
0 ( );
0
Rm
Sq S Sq Rq Sq Sd
m SR m SR
Rm
Sd S Sd Rd Sd Sq
m SR m SR
mS
R Sq Rq Rq R Rd
m SR m SR
mS
R Sd Rd
m SR m SR
L Ld
UR
L LL L LL dt
L Ld
UR
L LL L LL dt
L Ld
R
L LL L LL dt
L Ld
R
L LL L LL
ω
ω
ωω
= − Ψ+ Ψ + Ψ+Ψ
−−
= − Ψ+ Ψ + Ψ−Ψ
−−
= Ψ− Ψ + Ψ+ − Ψ
−−
= Ψ− Ψ +
−−
( ).
Rd R Rq
dt
ωω
Ψ− − Ψ
22
22
22
22
;
;
( );
() .
RS mS
Sq Sq Sd Rq Sq
m SR m SR
RS mS
Sd Sq Sd Rd Sd
m SR m SR
mR S R
Rq Sq Rq R Rd
m SR m SR
mR SR
Rd Sd R Rq Rd
m SR m SR
d LR LR
U
dt L LL L LL
d LR LR
U
dt L LL L LL
d LR LR
dt L LL L LL
d LR LR
dt L LL L LL
ω
ω
ωω
ωω
Ψ = Ψ−Ψ − Ψ +
−−
Ψ=Ψ+ Ψ− Ψ+
−−
Ψ=− Ψ+ Ψ− − Ψ
−−
Ψ=− Ψ+ − Ψ+ Ψ
−−
e
T
( )
sin , .
e S S SS
Tk I I= ⋅ Ψ ⋅ ⋅ ∠Ψ
k
Раскроем скобки в (1.55) и перенесем производные в левую часть, а все
остальное в правую, получим:
(1.55)
Рассмотрим электромеханическое уравнение, которое позволит нам
выразить в математической модели момент вращения
Правило левой руки (Закон Ленца) связывает величины момента, тока и
потокосцепления статора. Основываясь на этом законе, запишем уравнение для
однополюсного асинхронного двухфазного двигателя в следующем виде
системе координат практически не зависит от количества фаз АД, но в
уравнении (1.57) коэффициент пропорциональности
выражением:
Общий вид уравнений (1.56) математической модели АД в обобщенной
24
(1.56)
вала ротора АД.
(1.57)
определяется
,
2
m
kp= ⋅
m
p
2m =
1p =
1k
=
m
k
e
T
(
)
3
sin ,
2
e S S SS
Tp I I= ⋅ Ψ ⋅ ⋅ ∠Ψ
dq
( )
3
2
e Sd Sq Sq Sd
Tp I I= ⋅ Ψ −Ψ
( )
;
S Sd Sq
I II=
( )
;
S Sd Sq
Ψ=Ψ Ψ
(
)
1
,
m
em
d
TT
dt J
ω
= −
J
m
ω
e
T
m
T
m
ω
R
ω
где
− количество фаз;
− количество пар полюсов АД.
Зависимость (1.58) легко понять, т.к. в случае двухфазной машины с
одной парой полюсов (
,
), значение коэффициента
дальнейшем увеличении количества фаз
, а следовательно и момент вращения АД
Для трехфазного АД уравнение (1.57) будет выглядеть следующим
образом:
Во вращающейся системе координат
окончательный вид (1.60):
(1.58)
, но при
или пар полюсов p, коэффициент
, возрастает пропорционально.
. (1.59)
выражение (1.59) примет
, (1.60)
где
;
.
Более подробно переход от (1.59) к (1.60) см. в прил. 2.
Основываясь на втором законе Ньютона – законе равновесия моментов на
валу машины, запишем основное уравнение движения привода:
(1.61)
где:
[кг·м2] – момент инерции на валу машины;
− угловая скорость вала машины;
− развиваемый двигателем вращающий момент;
− момент нагрузки на валу.
Связь угловой скорости ротора
с электрической угловой скоростью
определяется выражением:
25
Rm
p
ωω
= ⋅
p
1p =
2
ω πγ
=
1p >
p
ω
R
ω
R
ω
R
ω
m
ω
( )
13
.
2
m
Sd Sq Sq Sd m
d
p I IT
dt J
ω
= ⋅ Ψ −Ψ −
331
.
22
m
Sd Sq Sq Sd m
dp p
I IT
dt J J J
ω
= ⋅Ψ − ⋅Ψ −
22
22
3
2
31
.
2
m Rm
Sd Sq Rq
m SR m SR
Rm
Sq Sd Rd m
m SR m SR
dp L L
dt J L LL L LL
pL L
T
J L LL L LL J
ω
= ⋅Ψ − Ψ + Ψ −
−−
− ⋅Ψ − Ψ + Ψ −
−−
22
331
.
22
mm m
Sq Rd Sd Rq m
m SR m SR
d pL pL
T
dt J L LL J L LL J
ω
=−⋅ΨΨ+⋅ΨΨ−
−−
Sq Rd
ΨΨ
Sd Rq
ΨΨ
, (1.62)
где
— число пар полюсов двигателя.
Необходимость выражения (1.62) можно пояснить следующим образом:
скорость вращения магнитного поля статора, при
определяется как
, где γ — частота питающей статор сети. Если
скорость вращения магнитного поля статора уменьшится в
составлении уравнений модели АД считают, что
вращения ротора выражают как
(
—электрическая угловая скорость),
не зависит от p, а скорость
после чего заменяют в полученных уравнениях АД величину
, то реальная
раз, но при
в соответствии
с выражением (1.62), что окончательно позволяет правильно учесть
зависимость угловой скорости ротора
от числа пар полюсов двигателя p.
Используя (1.60), преобразуем выражение (1.61) и получим:
(1.63)
Раскроем скобки в (1.63)
(1.64)
Подставим (1.54) в (1.64)
(1.65)
Раскроем скобки и приведем подобные в (1.65)
(1.66)
Таким образом, мы получили нелинейное дифференциальное уравнение
(1.66), так как в него входят произведения переменных
,
26
.
22
22
22
22
;
;
( );
() ;
RS mS
Sq Sq Sd Rq Sq
m SR m SR
RS mS
Sd Sq Sd Rd Sd
m SR m SR
mR S R
Rq Sq Rq m Rd
m SR m SR
mR SR
Rd Sd m Rq Rd
m SR m SR
d LR LR
U
dt L LL L LL
d LR LR
U
dt L LL L LL
d LR LR
p
dt L LL L LL
d LR LR
p
dt L LL L LL
d
ω
ω
ωω
ωω
ω
Ψ = Ψ −Ψ − Ψ +
−−
Ψ=Ψ+ Ψ− Ψ+
−−
Ψ=− Ψ+ Ψ− − Ψ
−−
Ψ=− Ψ+ − Ψ+ Ψ
−−
22
331
.
22
mm m
Sq Rd Sd Rq m
m SR m SR
pL pL
T
dt J L LL J L LL J
=−⋅ΨΨ+⋅ΨΨ−
−−
0 0 0 00
22
0 0 0 00
22
0 0 0 00
22
0 0 00
2
;
;
( );
()
RS mS
Sq Sq Sd Rq Sq
m SR m SR
RS mS
Sd Sq Sd Rd Sd
m SR m SR
mR SR
Rq Sq Rq m Rd
m SR m SR
mR
Rd Sd m Rq
m SR
d LR LR
U
dt L LL L LL
d LR LR
U
dt L LL L LL
d LR LR
p
dt L LL L LL
d LR
p
dt L L L
ω
ω
ωω
ωω
Ψ = Ψ−Ψ − Ψ +
−−
Ψ=Ψ+ Ψ− Ψ +
−−
Ψ=− Ψ+ Ψ− − Ψ
−−
Ψ=− Ψ+ − Ψ
−
0
2
0
00 00 0
22
.
;
331
;
22
SR
Rd
m SR
mm m
Sq Rd Sd Rq m
m SR m SR
LR
L LL
d pL pL
T
dt J L LL J L LL J
ω
+Ψ
−
=−⋅ΨΨ+⋅ΨΨ−
−−
Окончательно, в общем случае, нелинейную математическую модель
асинхронного двигателя, с учетом (1.56),(1.62),(1.66), можно записать в виде
системы дифференциальных уравнений:
(1.67)
1.5. Линейная математическая модель трёхфазной асинхронной
машины
Изучим возможность линеаризации нелинейной модели АД (1.67), для
этого, на основе (1.67), рассмотрим уравнение статики относительно
некоторого положения равновесия
(1.68)
Вычтем из (1.67) систему (1.68):
27
0 0 0 00
22
0 0 0 00
22
0
2
() ()() ( )();
()() () ()();
() (
RS mS
Sq Sq Sq Sq Sd Sd Rq Rq Sq Sq
m SR m SR
RS mS
Sd Sd Sq Sq Sd Sd Rd Rd Sd Sd
m SR m SR
mR
Rq Rq Sq S
m SR
LR LR
d
UU
dt L LL L LL
LR LR
d
UU
dt L LL L LL
LR
d
dt L L L
ω
ω
Ψ −Ψ = Ψ −Ψ − Ψ −Ψ − Ψ −Ψ + −
−−
Ψ −Ψ = Ψ −Ψ + Ψ −Ψ − Ψ −Ψ + −
−−
Ψ −Ψ =− Ψ −Ψ
−
0 0 00
2
0 0 00 0
22
0
00
22
) ( ) [( ) ( ) ];
( ) ( ) [( ) ( ) ] ( );
()
33
[]
22
SR
q Rq Rq m Rd m Rd
m SR
mR SR
Rd Rd Sd Sd m Rq m Rq Rd Rd
m SR m SR
mm m m
Sq Rd Sq Rd
mSR mS
LR
pp
L LL
LR LR
d
pp
dt L LL L LL
dL L
pp
dt J L LL J L LL
ωω ωω
ωω ωω
ωω
+ Ψ−Ψ−−Ψ−−Ψ
−
Ψ −Ψ =− Ψ −Ψ + − Ψ − − Ψ + Ψ −Ψ
−−
−
=− ⋅ ΨΨ −ΨΨ + ⋅
−−
00 0
.
1
[ ] ( );
Sd Rq Sd Rq m m
R
TT
J
ΨΨ −ΨΨ − −
[]⋅
22
22
00
22
2
;
;
() ;
(
RS mS
Sq Sq Sd Rq Sq
m SR m SR
RS mS
Sd Sq Sd Rd Sd
m SR m SR
mR S R
Rq Sq Rq m Rd Rd m
m SR m SR
mR
Rd Sd
m SR
d LR LR
U
dt L LL L LL
d LR LR
U
dt L LL L LL
d LR LR
pp
dt L LL L LL
d LR
dt L L L
ω
ω
ωω ω
ω
∆Ψ = ∆Ψ − ∆Ψ − ∆Ψ + ∆
−−
∆Ψ = ∆Ψ + ∆Ψ − ∆Ψ + ∆
−−
∆Ψ = − ∆Ψ + ∆Ψ + − ∆Ψ + Ψ ∆
−−
∆Ψ = − ∆Ψ + −
−
00
2
00
22
00
22
);
33
22
331
.
22
SR
m Rq Rd Rq m
m SR
mm
m Rd Sq Rq Sd
m SR m SR
mm
Sd Rq Sq Rd m
m SR m SR
LR
pp
L LL
d pL pL
dt J L LL J L LL
pL pL
T
J L LL J L LL J
ωω
ω
∆Ψ + ∆Ψ − Ψ ∆
−
∆ = − ⋅ Ψ ∆Ψ + ⋅ Ψ ∆Ψ +
−−
+ ⋅ Ψ ∆Ψ − ⋅ Ψ ∆Ψ − ∆
−−
Sq
Sd
Rq
Rd
m
x
ω
∆Ψ
∆Ψ
= ∆Ψ
∆Ψ
∆
(1.69)
(1.70)
Третье, четвёртое и пятое уравнения (1.69) являются нелинейными,
нелинейные члены данных уравнений взяты в скобки вида
, линеаризация
которых приведена в прил. 3. Итак, система (1.69), записанная в терминах Δ –
переменных, с учётом прил. 3, примет вид
Положим, что:
— вектор пространства состояния; (1.71)
28
Sq
Sd
I
y
I
∆
=
∆
Sq
Sd
m
U
U
u
T
∆
∆
=
∆
22
22
00
22
00
22
000
222
00
00
0 ()
0 ()
333 3
222
RS mS
m SR m SR
RS mS
m SR m SR
mR SR
m Rd
m SR m SR
o
mR SR
m Rq
m SR m SR
mmm
Rd Rq Sd
m SR m SR m SR
LR LR
L LL L LL
LR LR
L LL L LL
LR LR
pp
L LL L LL
A
LR LR
pp
L LL L LL
LLL
ppp p
J L LL J L LL J L LL
ω
ω
ωω
ωω
−−
−−
−
−−
− −Ψ
−−
=
− − −Ψ
−−
−⋅Ψ⋅Ψ⋅Ψ−
−−−
0
2
;
0
2
m
Sq
m SR
L
J L LL
⋅Ψ
−
10 0
01 0
00 0
.
00 0
1
00
o
B
J
=
−
22
22
0 00
.
0 00
Rm
m SR m SR
o
Rm
m SR m SR
LL
L LL L LL
C
LL
L LL L LL
−
−−
=
−
−−
∆
;
oo
o
x Ax Bu
y Cx
= +
=
— вектор измеряемых величин; (1.72)
— вектор управляющих воздействий; (1.73)
(1.74)
(1.75)
В соответствии с (1.54) и (1.71):
(1.76)
Окончательно, наблюдаемая линейная система (1.70), записанная в
— координатах (1.71), (1.72), (1.73) — примет вид:
29
. (1.77)
22
22
00
22
2
;
;
() ;
(
RS mS
Sq Sq Sd Rq Sq
m SR m SR
RS mS
Sd Sq Sd Rd Sd
m SR m SR
mR SR
Rq Sq Rq m Rd Rd m
m SR m SR
mR
Rd Sd
m SR
d LR LR
U
dt L LL L LL
d LR LR
U
dt L LL L LL
d L R LR
pp
dt L LL L LL
d LR
dt L L L
ω
ω
ωω ω
ω
∆Ψ = ∆Ψ − ∆Ψ − ∆Ψ + ∆
−−
∆Ψ = ∆Ψ + ∆Ψ − ∆Ψ + ∆
−−
∆Ψ = − ∆Ψ + ∆Ψ + − ∆Ψ + Ψ ∆
−−
∆Ψ = − ∆Ψ + −
−
00
2
00
22
00
22
) ; (1.78)
33
22
331
;
22
0.
SR
m Rq Rd Rq m
m SR
mm
m Rd Sq Rq Sd
m SR m SR
mm
Sd Rq Sq Rd m
m SR m SR
m
LR
pp
L LL
d pL pL
dt J L LL J L LL
pL pL
T
J L LL J L LL J
d
T
dt
ωω
ω
∆Ψ + ∆Ψ − Ψ ∆
−
∆ = − ⋅ Ψ ∆Ψ + ⋅ Ψ ∆Ψ +
−−
+ ⋅ Ψ ∆Ψ − ⋅ Ψ ∆Ψ − ∆
−−
∆=
m
T
m
T const=
0
mmm
TTT
∆= −
0
m
T
m
T const∆=
0
m
d
T
dt
∆=
m
T const∆=
m
T
1.6. Линейная математическая модель трёхфазной асинхронной
машины с учётом динамики внешнего возмущающего воздействия
Рассмотрим систему (1.70) в расширенном виде:
Последнее уравнение (1.78) вводится для того, чтобы показать характер
динамики величины момента нагрузки
мы полагаем, что
,
на валу двигателя, в данном случае
, где
— некоторое постоянное
значение, характеризующее момент нагрузки на валу двигателя в некоторой
рабочей точке АД, относительно которой строилась линейная модель АД.
Таким образом,
, а, следовательно, верно утверждение о том, что
. Конечно же момент нагрузки на валу не является постоянной
величиной, но мы принимаем то, что
значительно больше времени переходных процессов физических величин
самого АД.
30
, потому что время изменения