Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Элементы теории управления. Учебное пособие.pdf
αβ
Sm
U
2
1, ,
aa
(
)
2
2
1;
3
S SA SB SC
I i ai a i= ⋅ +⋅ + ⋅
SA
i
SB
i
SC
i
( )
cos ;
S
SA Sm I
iI t
ωϕ
= +
2
cos ;
3
S
SB Sm I
iI t
π
ωϕ
= +−
стрелки вокруг начала координат координатной плоскости
на рис. 1.3. Длина обобщенного вектора равна
, а частота вращения ω.
, изображенной
Проекции этого вектора на координатные оси, определяемые векторами
(рис. 1.3), будут иметь вид, соответственно (1.4), (1.5), (1.6). Как и в
двухфазном случае, фазовый сдвиг напряжений равен угловому значению
между осями обмоток статора.
Рис. 1.4. Представление токов на трехфазной обмотке статора в векторной форме
Аналогично обобщенному вектору напряжения статора, обобщенный
вектор тока статора можно представить в виде
,
,
где
– скалярные величины токов обмоток статора A, B, C
соответственно.
(1.10)
(1.9)
(1.11)
11
2
cos ;
3
S
SC Sm I
iI t
π
ωϕ
= ++
Sm
I
ω
S
I
ϕ
( )
( )
2
3
4
0
3
22
cos cos
33
2
cos .
3
SS
I
I
S
S
S
j
S Sm I I
j
jt
j
jt jt
S
I ms ms
II t e t
e t Ie Ie e Ie
π
π
ωϕ
ϕ
ωω
π
ωϕ ω ϕ
π
ωϕ
+
= + + −+ +
+ ++ = = =
0
,
jt
S
S
I Ie
ω
=
0
I
S
j
S
Sm
I Ie
ϕ
=
(1.12)
где
— амплитудное значение фазного тока статора;
— частота фазных токов (1.10), (1.11), (1.12) или скорость вращения
магнитного поля статора ;
— начальная фаза обобщенного вектора тока статора.
Подставив (1.10), (1.11), (1.12) в (1.9), получим
Таким образом,
где
.
(1.13)
(1.14)
Рис. 1.5. Представление потокосцеплений на трехфазной обмотке статора в векторной
Аналогичным образом обобщенный вектор потокосцепления статора
можно представить в виде
форме
12
( )
2
2
1;
3
S SA SB SC
aa
ψψ ψ
Ψ= ⋅ + ⋅ + ⋅
SA
ψ
SB
ψ
SC
ψ
( )
cos ;
S
SA Sm
t
ψ ωϕ
Ψ
=Ψ+
2
cos ;
3
S
SB Sm
t
π
ψ ωϕ
Ψ
=Ψ +−
2
cos ;
3
S
SC Sm
t
π
ψ ωϕ
Ψ
=Ψ ++
Sm
Ψ
( )
(
)
2
3
4
0
3
22
cos cos
33
2
cos ,
3
SS
S
S
S
j
S Sm
j
jt
j
jt jt
Sm Sm S
tet
e t e ee e
π
π
ωϕ
ϕ
ωω
π
ωϕ ω ϕ
π
ωϕ
Ψ
Ψ
ΨΨ
+
Ψ
Ψ= Ψ + + − + +
+ ++ =Ψ =Ψ =Ψ
S
ϕ
Ψ
0,jt
SS
e
ω
Ψ=Ψ
0
S
j
S Sm
e
ϕ
Ψ
Ψ=Ψ
,
S
S SS
d
U RI
dt
Ψ
= +
Ra
u
Rb
u
Rc
u
(1.15)
где
,
,
– скалярные величины потокосцеплений обмоток
статора A, B, C соответственно, которые в свою очередь определяются как
(1.16)
(1.17)
(1.18)
где
— амплитудное значение фазного потокосцепления статора;
Подставим (1.16), (1.17), (1.18) в (1.15), получим
где
— фазовый сдвиг обобщенного вектора потокосцепления
статора.
Таким образом,
где
В соответствии с (1.3), (1.9), (1.15) систему (1.2) можно записать в
векторной форме
(1.19)
(1.20)
.
(1.21)
Рассмотрим обобщённые векторы напряжения, тока и потокосцепления
ротора. Положим,
,
,
— скалярные величины фазных напряжений
13
1
R
jt
e
ω
−
⋅
R
jt
ae
ω
−
⋅
2
R
jt
ae
ω
−
⋅
( )
cos
R
Ra Rm U
uU t
ωϕ
= +
2
cos
3
R
Rb Rm U
uU t
π
ωϕ
= +−
2
cos
3
R
Rc Rm U
uU t
π
ωϕ
= ++
( )
( )
( )
2
2
() ()
0
2
1
3
22
cos cos
33
2
cos
3
RR R
RR
R
R
U
U
R
R RR R
jt jt jt
R Ra Rb Rc
Rm U U
jt
U
jt
j
jt jt jt
Rm Rm R
U eu aeu aeu
U t at
at e
Ue e Ue e Ue
ωω ω
ω
ωϕ
ϕ
ω ωω ωω
π
ωϕ ω ϕ
π
ωϕ
−− −
−
+
− −−
= ⋅ +⋅ + ⋅ =
= + + −+ +
+ ++ ⋅ =
= = =
()
0
,
R
jt
RR
U Ue
ωω
−
=
0
U
R
j
R Rm
U Ue
ϕ
=
Ra
u
Rb
u
Rc
u
Rm
U
ω
Ra
u
Rb
u
Rc
u
R
ω
R
U
ϕ
ротора. Будем считать, что источники фазных напряжений ротора неподвижны
относительно статора, сориентированы «звездой» и их действие направлено так
же‚ как и действие источников фазных напряжений статора. Сам ротор в целом
представляет собой электрический и магнитный проводник, поэтому понятие
“фазных обмоток” ротора — весьма условно.
Исходя из вышесказанного, следует, что на неподвижной относительно
ротора комплексной плоскости, единичные векторы‚ определяющие действия
фазных напряжений‚ можно представить как:
;
;
Положим,
;
;
.
В этом случае обобщенный вектор напряжения ротора‚ в комплексной
плоскости неподвижной относительно ротора, примет следующий вид:
.
или
где
,
,
— скалярные величины фазных напряжений ротора;
— амплитудное значение фазного напряжения ротора;
— частота фазных напряжений
частотой фазных напряжений статора) или скорость вращения магнитного поля
статора;
— электрическая угловая скорость ротора;
— фазовый сдвиг обобщенного вектора напряжения ротора.
;
14
(1.22)
(1.23)
,
,
ротора (совпадающая с
( )
2
2
1
3
RR R
jt jt jt
R Ra Rb Rc
I ei aei aei
ωω ω
−− −
= ⋅ +⋅ + ⋅
0
()
,
R
jt
R
R
I Ie
ωω
−
=
0
I
R
j
R
Rm
I Ie
ϕ
=
Ra
i
Rb
i
Rc
i
Rm
I
R
I
ϕ
(
)
2
2
1
3
RR R
jt jt jt
R Ra Rb Rc
e ae a e
ωω ω
ψψ ψ
−− −
Ψ= ⋅ +⋅ + ⋅
()
0
,
R
jt
RR
e
ωω
−
Ψ=Ψ
0
R
j
R Rm
e
ϕ
Ψ
Ψ=Ψ
Ra
ψ
Rb
ψ
Rc
ψ
Rm
Ψ
R
ϕ
Ψ
()
R
ωω
−
ω
R
R RR
d
U RI
dt
Ψ
= +
Ra Rb Rc R
RRRR= = =
Обобщенный вектор тока ротора равен
или
(1.24)
(1.25)
где
,
,
− скалярные величины фазных токов ротора;
;
− амплитудное значение фазного тока ротора;
− фазовый сдвиг обобщенного вектора тока ротора.
Обобщенный вектор потокосцепления ротора равен
или
(1.27)
где
,
,
;
— скалярные величины фазных потокосцеплений ротора;
(1.26)
— амплитудное значение фазного потокосцепления ротора;
где
— фазовый сдвиг обобщенного вектора потокосцепления ротора.
Следует заметить, что обобщённые вектора ротора вращаются
относительно ротора со скоростью
вращаются с той же скоростью
вектора статора.
В соответствии со вторым законом Кирхгофа запишем векторное
уравнение равновесия ЭДС на обмотках ротора
где
— активное сопротивление роторной обмотки.
, но относительно статора они
и в том же направлении, что и обобщённые
, (1.28)
15
0
R
U =
,
S
S SS
d
U RI
dt
Ψ
= +
0,
R
RR
d
RI
dt
Ψ
= +
( )
0
00
,
jt jt jt
S
SS S
d
Ue RIe e
dt
ωω ω
= +Ψ
( )
0
() ()
0
0.
rr
jt jt
R
RR
d
RIe e
dt
ωω ωω
−−
= +Ψ
0
0
00
,
jt jt jt jt
S
S
SS S
d
Ue RIe j e e
dt
ω ωω ω
ω
Ψ
= + Ψ+
0
0
() () ()
0
0 () .
R RR
jt jt jt
R
R
R RR
d
RIe j e e
dt
ωω ωω ωω
ωω
− −−
Ψ
= + − Ψ+
jt
e
ω
()
R
jt
e
ωω
−
dq
0
0
00
,
S
S
SS S
d
U RI j
dt
ω
Ψ
= + Ψ+
0
0
0
0 () .
R
R
R RR
d
RI j
dt
ωω
Ψ
= + − Ψ+
Перепишем еще раз векторные уравнения равновесия ЭДС на обмотках
статора и ротора с учетом того, что обмотки ротора замкнуты накоротко
(т.е.
)
(1.29)
(1.30)
или с учетом (1.8), (1.14), (1.20), (1.23), (1.25), (1.27)
(1.31)
(1.32)
После дифференцирования получим
Сократим обе части уравнения (1.33) на
соответственно на
систему координат
. Данное преобразование предполагает переход в
, вращающуюся вместе с обобщёнными векторами АД
(рис. 1.6). В результате получим
(1.33)
(1.34)
, а обе части уравнения (1.34)
(1.35)
(1.36)
16
αβ
αβ
dq
(
) ( )
( )
0
,
S Sd Sq
S Sd Sq Sd Sq Sd Sq
U U jU
d
R I jI j j j
dt
ω
=+=
= + + Ψ +Ψ + Ψ +Ψ
( ) (
) ( )
0 () .
R Rd Rq R Rd Rq Rd Rq
d
R I jI j j j
dt
ωω
= + + − Ψ +Ψ + Ψ +Ψ
,
Sq S Sq Sq Sd
d
U RI
dt
ω
= + Ψ+Ψ
Sd S Sd Sd Sq
d
U RI
dt
ω
= + Ψ −Ψ
Рис. 1.6. Переход от неподвижной системы координат
к вращающейся системе
координат dq
Выделим в уравнениях (1.35) и (1.36) вещественную (обозначим
индексом d) и мнимую (обозначим индексом q) части, перейдя тем самым от
неподвижной системы координат
(рис. 1.6)
Запишем отдельно вещественную и мнимую части:
— для уравнения (1.37)
к вращающейся
системе координат
(1.37)
(1.38)
(1.39)
, (1.40)
17
0 ( ),
R Rq Rq R Rd
d
RI
dt
ωω
= + Ψ+ − Ψ
0 ( ).
R Rd Rd R Rq
d
RI
dt
ωω
= + Ψ− − Ψ
ABC
ABC
U
dq
ABC
dq
ABC
dq
2
π
U
dq
ABC
— для уравнения (1.38)
(1.41)
(1.42)
Следует заметить, что:
1. Длина и все остальные параметры обобщенного вектора не зависят от
количества фаз АД.
2. Полное представление математической модели АД в виде обобщенных
векторов тока, напряжения, потокосцепления ротора и статора фактически
сводит математическую модель трехфазного АД к ее двухфазному аналогу.
1.3. Неподвижная
и вращающаяся dq системы координат
и матрицы перехода между ними
Теперь определим зависимость между координатами обобщенных
векторов в неподвижной
примере некоторого обобщённого вектора
и во вращающейся dq системах координат (на
).
Поскольку для представления обобщенного вектора на плоскости
достаточно двух базисных векторов, рассмотрим вместо одной трехфазной
машины серию из трех двухфазных машин.
Рассмотрим соотношения, позволяющие осуществлять переход между
вращающейся
На рис. 1.7, 1.8 системы координат
и неподвижной
системами координат.
и
ориентированы друг к другу
так, чтобы получить преобразования Парка, основанные на синусе, но если на
рис. 1.7, 1.8 повернуть систему координат
на
, то в этом случае можно
получить преобразования Парка, основанные на косинусе.
Найдём представление обобщённого вектора
координат
, если известно его представление в неподвижной системе
во вращающейся системе
координат
.
18
ABC
1
A
U ⋅
sin
Ad A
UU t
ω
=
cos
Aq A
UU t
ω
=
B
Ua
⋅
2
sin
3
Bd B
UU t
π
ω
= −
2
cos
3
Bq B
UU t
π
ω
= −
2
C
Ua⋅
d
q
2
sin
3
Cd C
UU t
π
ω
= +
2
cos
3
Cq C
UU t
π
ω
= +
U
ABC
Рис. 1.7. Связь неподвижной системы координат
координат dq
Исходя из рис. 1.7, проекции
и
.
на оси d и q, соответственно, равны
Проекции
на оси d и q имеют вид:
.
Проекции
на оси
и
.
:
c вращающейся системой
,
и
Известно, что система координат на плоскости состоит из двух
непараллельных осей, поэтому рассмотрим три варианта представления
обобщённого вектора
в неподвижной системе координат
.
19
A
22
0 sin sin
33
.
22
0 cos cos
33
A
d
Bd Cd
B
Bq Cq
q
BC
C
U
tt
U
UU
U
UU
U
tt
U
ππ
ωω
ππ
ωω
−+
+
= =
+
−+
B
2
sin 0 sin
3
.
2
cos 0 cos
3
A
d
Ad Cd
B
Aq Cq
q
AC
C
U
tt
U
UU
U
UU
U
tt
U
π
ωω
π
ωω
+
+
= =
+
+
C
2
sin sin 0
3
.
2
cos cos 0
3
A
d
Ad Bd
B
Aq Bq
q
AB
C
U
tt
U
UU
U
UU
U
tt
U
π
ωω
π
ωω
−
+
= =
+
−
U
1
.
3
d ddd
q qqq
BC AC AB
U UUU
U UUU
= ++
,,ABC
dq
22
sin sin sin
33
2
3
22
cos cos cos
33
A
d
B
q
C
U
tt t
U
U
U
tt t
U
ππ
ωω ω
ππ
ωω ω
−+
=
−+
Положим, отсутствует ось
имеет следующий вид:
С отсутствующей осью
А с отсутствующей осью
, тогда в данном случае матрица перехода
(1.43)
матрица перехода примет следующий вид:
(1.44)
третья матрица перехода имеет вид:
С учетом того, что мы трижды получили представление обобщенного
вектора
в системе координат dq, будет верным равенство:
Подставив (1.43), (1.44), (1.45) в (1.46), получим окончательный вид
матрицы перехода от неподвижной системы координат
системе координат
:
(1.45)
(1.46)
к вращающейся
. (1.47)
20