Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Элементы теории поля. Учебное пособие
.pdf
Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего образования
«Оренбургский государственный университет»
Д. И. Пастухов, Н.В. Кулиш
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ
Рекомендовано ученым советом федерального государственного бюд-
жетного образовательного учреждения высшего образования «Оренбургский государственный университет» в качестве учебного пособия для
студентов, обучающихся по программам высшего образования по
направлениям подготовки 01.03.04 Прикладная математика, 01.03.02
Прикладная математика и информатика
Оренбург
2016
УДК
514.742(075.8)
ББК
22.151.5я73
П 19
Пастухов, Д.И.
П 19
Элементы теории поля : учебное пособие / Д.И. Пастухов, Н.В. Кулиш;
Оренбургский гос. ун-т. – Оренбург: ОГУ, 2016. – 91 с.
ISBN 978-5-7410-1533-9
ISBN 978-5-7410-1533-9
© Пастухов Д.И.
Кулиш Н.В., 2016
© ОГУ, 2016
Рецензент – кандидат технических наук, доцент В.А. Трипкош
В учебном пособии рассмотрены математические поля: скалярное поле
и векторное поле, их основные характеристики, решены задачи практического
вычисления характеристик, даны задания для самостоятельной работы,
выполнение которых позволяет наработать навыки решения задач.
Учебное пособие предназначено для студентов направлений подготовки
01.03.04 Прикладная математика и 01.03.02 Прикладная математика и
информатика.
УДК 514.742(075.8)
ББК 22.151.5я73
2
Содержание
Введение……………………………………………………………………......
4
1
Скалярное поле………………………………………………………………...
5
1.1
Определение скалярного поля. Поверхности (линии) уровня……………...
5
1.2
Производная в данном направлении…………………………………………
8
1.3
Градиент скалярного поля и его свойства……………………………………
11
1.4
Задачи для решения по теме «Скалярное поле»………………………….....
15
1.5
Задания для самостоятельной работы………………………………………..
20
2
Векторное поле… ……………………………………………………………..
23
2.1
Определение векторного поля. Гидродинамическая модель векторного
поля……………………………………………………………………………..
23
2.2
Задания для самостоятельной работы…………………………………………
30 3 Силовое поле…………………………………………………………………....
31
3.1
Работа в силовом поле. Линейный интеграл. Циркуляция вектора………...
31
3.2
Задания для самостоятельной работы………………………………………...
40
4
Поток векторного поля………………………………………………………...
45
4.1
Задания для самостоятельной работы………………………………………...
54 5 Дивергенция векторного поля…….…………………………………………...
55
5.1
Определение дивергенции векторного поля………………………………....
55
5.2
Вычисляемые дивергенции в прямоугольной системе координат………....
58
5.3
Задания для самостоятельной работы………………………………………...
65
6
Завихренность векторного поля……………………………………………....
68
6.1
Вычисление завихренности векторного поля…………………………….......
69
6.2
Ротор и его свойства…………………………………………………………...
73
6.3
Задания для самостоятельной работы………………………………………...
76 7 Оператор Гамильтона…………………………………………………………..
78 8 Виды векторных полей и их свойства………………………………………..
82
8.1
Задания для самостоятельной работы………………………………………...
88
Список использованных источников…………………………………………
91
3
Введение
x
x
В физике и естественно-технических дисциплинах, в результате развития
количественных методов, постепенно сложилось представление о математическом
поле – области пространства, каждой точке которого соответствует определенное
значение некоторой физической величины.
Поля бывают скалярные, векторные. Каждое из них, в свою очередь, может
быть стационарным (если физическая величина в каждой точке области со временем
не меняется) или нестационарным. Ясно, что стационарное поле есть функция трех
координат
функцию четырех переменных: координат
Введение понятия поля сыграло такую же прогрессивную роль, как, в свое
время, появление понятия переменной величины.
Настоящее пособие предназначено в помощь студентам при изучении
скалярных и векторных полей. Оно достаточно обоснованно поможет им овладеть
характеристиками скалярных и векторных полей и выработать умение применять их
в математическом моделировании изучаемых процессов.
, y, z точек пространства, нестационарное поле представляет собой
, y, z и времени t.
4
1 Скалярное поле
3
R
М
( , , )P x y z
()W f P
V
11
()P M gh
22
()P M gh
33
()P M gh
h
2
h
1
h
3 М1 М2 М3
1.1 Определение скалярного поля. Поверхности (линии) уровня
Пусть в пространстве
дана некоторая область V. Если в каждой точке этой
области задано значение некоторой физической величины, то говорят, что в данной
области задано поле данной физической величины. Если величина скалярная, то
поле называется скалярным.
Например:
1. Если областью V является нагретое тело
, то тело дает скалярное поле
температур, так как в каждой точке
физической величины – температуры
этого тела задано значение скалярной
.
2. Рассмотрим сосуд, заполненный жидкостью. Физическая величина – давле-
ние – определяет поле давлений. Действительно, в каждой точке области
ставляющей сосуд, давление определяется высотой столба жидкости
, пред-
,
,
, где
– плотность жидкости (см. рисунок 1).
Рисунок 1
3. Точечный заряд q в области, ограничивающей его, создает скалярное поле,
так как в каждой точке этой области определено значение физической скалярной ве-
личины – потенциала точечного заряда (см. рисунок 2)
5
0
2 2 2
0 0 0
( ) .
( ) ( ) ( )
MM
qq
M
r
x x y y z z
U
U
V
( , , )U x y z
( , , )U x y z C
C
q
М
0(x0,y0,z0
)
М(x,y,z)
Рисунок 2
Поэтому, в дальнейшем, мы будем абстрагироваться от физического смысла
величины, а будем все физические скалярные величины рассматривать в виде
скалярной функции
скалярная функция
. Значит, скалярное поле – это область, в которой задана
.
Установим, какие основные характеристики имеет скалярное поле. Для этого
поместим область
будет задано скалярной функцией
в прямоугольную систему координат, тогда скалярное поле
. Выделим в этом поле точки, в которых
оно постоянно. Аналитически это действие записывается так:
(1)
Выражение (1) является уравнением некоторой поверхности, так как
представляет собой функцию двух переменных, заданную в неявном виде. Значит,
совокупность точек, в которых скалярное поле является постоянным, образует
некоторую поверхность.
Придавая
различные значения, мы получаем целое семейство поверхностей,
которые называются поверхностями уровня.
Таким образом, в скалярном поле выделяются поверхности уровня, которые
показывают, что скалярное поле изменяется только при переходе от одной
6
поверхности уровня к другой. В точках поверхности поле постоянно, то есть
( , , )U x y z
2 2 2
( , , ) .
9 4 16
x y z
U x y z
2 2 2
9 4 16
x y z
C
3 C
2 C
4 C
XOY
D
( , )U U x y
( , )U x y C
( , )U x y
OZ
XOY
( , )Z U x y
ZC
( , )Z f x y
функция
не изменяется.
Например, поле задано функцией
В этом поле будут поверхностями уровня
эллипсоиды с полуосями
Замечание. Если область V задана на плоскости
,
,
.
в виде области
, а
функция
Если значения
плоскости
поверхности
поверхности
, то будут линиями уровня
(2)
откладывать на оси
, то линиями уровня на
будут проекции линий, которые получаются в пересечении
с плоскостями
(см. рисунок 3)
.
. Зная линии уровня, легко исследовать
7
V
U
M
M
l
1
M
X Y Z X Y
Рисунок 3
1.2 Производная в данном направлении
Пусть в области
задано скалярное поле
, которое поверхности уровня
разрезают на отдельные слои. Данное поле изменяется лишь при переходе от одной
поверхности уровня к другой. Поставим следующие вопросы:
1) Какова скорость изменения скалярного поля при переходе от одной
поврехности уровня к другой?
2) В каком направлении эта скорость наибольшая?
Чтобы ответить на эти вопросы рассмотрим математический аппарат –
производную в данном направлении. Возьмем две поверхности уровня. На одной
пусть дана точка
(вектор)
. На этой прямой возьмем точку
. Через данную точку
проведем направленную прямую
(см. рисунок 4).
8
()UM
1
()UM
1
1
( ) ( )U M U M
MM
1
MM
1
MM
1
1
1
( ) ( )
lim
MM
U M U M
MM
M
e
С
М М1 С
l
Рисунок 4
Вычислим значения поля в этих точках, то есть
отношение
где
– длина отрезка
Тогда имеет место определение 1.
Определение 1. Если существует конечный предел отношения (3)
и
(3)
. Составим
.
(4)
то он называется производной от функции U в данной точке
и записывается так:
по направлению
9
1
1
1
( ) ( )
()
lim
MM
U M U M
UM
l
MM
(5)
U
M
1
M
()
0
UM
l
()
0
UM
l
()UM
l
M
( , , )U x y z
( , , )M x y z
( , , )M x y z
l
( ) ( )
cos cos cos
U M U M U U
l x y z
cos ,cos
cos
( , , )U x y z
M
1 2 3
,
U U U
U x y z x y z
x y z
Из определения производной от функции
по данному направлению l
следует, что:
1) Если направление от точки
если нет – то
,
2)
характеризует скорость изменения скалярного поля в данной точке
.
к
совпадает с направлением l, то
по выбранному направлению l.
Её определение является инвариантным, значит, формула вычисления
(нахождения) в смысле сложности или упрощения зависит от системы координат.
Возьмем прямоугольную систему координат.
Тогда имеет место теорема 1.
Теорема 1. Если функция
данной точке
и некоторой её окрестности, то в точке
задания в области V дифференцируема в
производная по любому фиксированному направлению
где
Доказательство. Так как функция
и
– косинусы направляющих углов вектора l.
дифференцируема в точке
ее полное приращение в этой точке равно
существует
и вычисляется по формуле
(6)
, то
(7)
10
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]