Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Элементы теории поля. Учебное пособие
.pdf
1 2 3
x y z
L L L
a dx a dy a dz
2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1
' ' ' ' ' '
x y z
A A A O O A A A AO O A A A A O O A
a dx a dy a dz
2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1
' ' ' ' ' '
x y z
A A A O O A A A O A A O A A O A A O
a dx a dy a dz
2 3 3 1 1 2
x y z x y z
A A A A A A L
a dx a dy a dz a dx a dy a dz
0
0
1
( ) lim
L
x y z
l
SP
L
L
W P a dx a dy a dz
S
1 2 3
11
LL
L L L L
SS
замечаем, что
1
L
пр
ZOY
L
2
L
пр
XOY
L
3
L
пр
XOZ
L
или
1
cosLL
2
cosLL
3
cosLL
1 2 3
1 2 3
cos cos cos
.
L L L
L L L
S S S
0L
SP
0
0
1
( ) lim
L
x y z
l
SP
L
L
W P a dx a dy a dz
S
00
12
12
12
cos cos
lim lim
LL
x y z x y z
S P S P
LL
LL
a dx a dy a dz a dx a dy a dz
SS
0
3
3
3
0 0 0
cos
lim ( )cos ( )cos ( )cos
L
x y z
i j k
SP
L
L
a dx a dy a dz W P W P W P
S
0
()
k
WP
(29)
Запишем формулу определения завихренности
и воспользуемся выводами (29).
Тогда
Перейдем теперь к пределу при
Вычислим
.
71
Возьмем точку
0 0 0 0
( , , )P x y z
x
y
1 2 3 4
0
0
0
( ) lim .
x y z
k
x
y
a dx a dy a dz
WP
xy
00
1 2 1 2
00
11
lim lim
x y z
xx
yy
a dx a dy a dz
x y x y
=
на линиях (сторонах прямоугольника) 1 и 2 вектор
a
постоянен и
равен значению в точке
0
P
; на сторонах (линиях) 1 и 2
y const
и
0, 0z const dy dz
=
0 0 0 0 0 0
0
12
0
1
lim , , , ,
22
xy
x
y
yy
a x y z dx a x y z dy
xy
00
0 0 0 0
0
0
1
lim , , , ,
22
yy
x
y
y y y y
a x z x a x z x
xy
в центре прямоугольника со сторонами
и
будем считать его замкнутым контуром. Выберем положительное направление
обхода (см. рисунок 27).
Рисунок 27
Тогда
Рассмотрим
72
0 0 0 0 0 0
0
0
1
lim , , , ,
22
xx
x
y
y y y
a x y z a x y z
xy
=
к разности применяем
теорему Лагранжа
0 0 0 0 0 0
0
0
( , , ) ( , , ) ( )
lim
x x x
x
y
a x c z y a x y z a P
y y y y
0
34
0
0
()
lim .
y
x
y
aP
x y x
0
0
0
()
()
( ) .
y
x
k
aP
aP
WP
xy
0
()
j
WP
0
()
i
WP
00
0
( ) ( )
()
xz
j
a P a P
WP
zx
0
0
0
()
()
()
y
z
i
aP
aP
WP
yz
( ) ( , , ) ( , , ) ( , , )
x y z
a P a x y z i a x y z j a x y z k
0
P
cos , cos , cos
00
0 0 0 0
0
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) cos cos cos
yy
z x z x
i
a P a P
a P a P a P a P
WP
y z z x x y
Аналогично получаем
Тогда
Вычисление
и
аналогичное. В результате получаем
и
Итак, из доказанной теоремы следует, что завихренность векторного поля
в точке
этого поля вокруг вектора l,
помещенного в эту точку и имеющего направляющие косинусы
вычисляется по формуле
6.2 Ротор и его свойства
Естественно возникает вопрос: вокруг какого направления завихренность
наибольшая?
73
Введем два вектора: вектор
0
cos cos cosl i j k
00
0 0 0 0
0
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
()
yy
z x z x
a P a P
a P a P a P a P
rot a P i j k
y z z x x y
0
P
0
()rot a P
0
l
0
0
()
l
WP
0
0 0 0 0 0
( ) ( ) ( ) 1 cos ( ) cos
l
W P rot a P l rota P rota P
0
()rot a P
0
l
cos 1
0
l
0
()rot a P
0
()rot a P
0
P
00
( ) ( )
í àèá
W P rota P
0
()rot a P
rot a
rot (P0)
P
0
и вектор
.
Тогда замечаем, что завихренность в точке
скалярному произведению векторов
где – угол между векторами
и
, то есть
и
(см. рисунок 28).
вокруг вектора l равна
, а тогда
,
Рисунок 28
Из полученного соотношения видно, что завихренность будет наибольшей,
если
направлением вектора
вокруг которого завихренность векторного поля в данной точке
равна модулю этого вектора
, то есть
. Это означает, что направление вектора
. Значит, вектор
указывает направление,
. В связи с этим
совпадает с
наибольшая и
назвали
вектором-вихрем. Он указывает и направление вихря, и величину этого вихря.
Заметим, что
равен символическому определителю третьего порядка
74
xz
y
i j k
rot a
x y z
aa
a
rot a
a ñ const
0c
a r xi y j zk
0rotr
1 1 2 2 1 1 2 2
( ) ( ) ( ) ( )rot c a P c a P c rot a P c rot a P
yy
xx
zz
xz
y
i j k
Ua Ua
Ua Ua
Ua Ua
rotU a i j k
x y z y z z x x y
Ua Ua
Ua
z y x z y x
U U U U U U
U rot a a a i a a j a a k
z y z x x y
xz
y
i j k
U rot a U rot a gradU a
x y z
Ua Ua
Ua
( ) 2
x x z
a P e x i e j e k
0
(1,1,1)P
( 2,2,1)l
l
обладает следующими свойствами:
1) Если
, то
.
В однородном поле никаких завихренностей нет, так как жидкость ГДМ
движется как абсолютно твердое тело.
2) Если
, то
В поле радиуса-вектора r жидкость ГДМ движется без вихрей.
3)
4)
.
.
Рассмотрим следующие задачи.
Задача 1. Определить завихренность векторного поля
в точке
векторами
в направлении вектора
и
.
, модуль
.
и угол между
75
( ) ( , , ) ( , , ) ( , , )
x y z
a P a x y z i a x y z j a x y z k
0 0 0 0
( , , )P x y z
,,
x y z
l l l l
00
0 0 0 0
0
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) cos cos cos
yy
z x z x
i
a P a P
a P a P a P a P
WP
y z z x x y
2
x
x
a e x
x
y
ae
y
z
ae
0 0 0 0 0
( , , ) (1,1,1)P x y z P
2,2,1l
2, 2, 1
x y z
l l l
0
yy
yy
zz
aa
aa
e e e
y z y z
00
( ) ( )
0 0 0 0
x x z
z
a a P a P
a
z x z x
0
0
()
()
0
yy
xx
xx
a a P
a a P
e e e
x y x y
2 2 2 1
cos , cos , cos
3 3 3
4 4 1
y
x
z
l
l
l
l l l
0
2 2 1 2 1
( ) 0
3 3 3 3 3 3
l
e
W P e e e
22
0
( ) 2rota P e e e
0
0
()
2 2 0 1 1 1
cos cos
3 2 3 2 3 2 3 2
()
l rot a P
e e e
ee
l rot a P
()a a P
Решение.
1) Записываем формулу вычисления завихренности векторного поля
Согласно этой формуле
2) Устанавливаем, что
и
3) Находим
в точке
вокруг вектора
.
.
,
,
,
.
.
,
,
.
4) Вычисляем
6.3 Задания для самостоятельной работы
Задача 1. Найти завихренность векторного поля
направлении вектора l.
.
,
.
.
в указанной точке в
76
Задача 2. Найти
rot a
rot a
2
(3 ) ( 2 ) (2 ) (0,3, 4), (2,4,4)
x
a z x i e y j x xy k l M
(ln 7 ) ( 2 ) ( 2 ) (1, 2,2), (1,1,1)
y
a y x i xz y j e z k l M
2
( ) ( 3 ) (3 ) (3,0,4), ( 2,1,1)a x z y i x y j z y k l M
3
( ) ( 3 ) ( ) (2, 1,2), (2,2,4)
z
a e x i xz y j z x k l M
(6 ) ( z) (2 3 ) ( 4,3,0), (2,1, 1)
x
a x y i e j y z k l M
2
(4 2 ) (ln 4 ) ( 3 ) ( 2, 1,2), (1,1,1)a x y i z y j x z k l M
(1 ) (4 ) (0, 4, 3), (2,2, 1)a z i x j xyk l M
2
( ) ( 2 ) ( ) (2, 2, 1), ( 1, 2,4)a z x i x y j y z k l M
22
( ) ( ) ( ) ( 3,4,0), (3,4,1)a yz x i x y j xy z k l M
22
( ) ( 2 ) ( 3 ) (2,2, 1), (1,1, 2)
y
a e x i x y j y z k l M
( 2 ) ( 3 ) ( ) (1, 2, 2), (1,1,2)
z
a z x i e y j y z k l M
( 4 ) (ln ) 4 (1, 1,1), (1,2,1)
z
a e x i x y j zk l M
22
(3 2 ) ( 3 ) ( ) (0,2, 2), (1,5, 2)a x z i z y j y z k l M
2
( 2 ) ( ) ( 1 ) ( 1,2, 2), (3,0,4)
y
a e x i xz y j x z k l M
2
( ) ( ) ( ) (2, 3, 2), (0,1,1)
xy
a x y i xz y j e z k l M
( 2 ) ( 2 ) ( ) (8,4,8), ( 2,1, 1)
y xy
a e x i xz y j e z k l M
2
( ) (3 ) (3 5 ) ( 1,2, 2), (1,3,2)a z y i x z j z x k l M
2
(6 2 ) ( 2) ( 2 ) (4,0,3), (1,2,1)a yz x i x j xy z k l M
22
( ) ( 3 ) ( 1) (5, 2,3), (1,1,2)a y z i x y j xy k l M
2
(2 ) ( 2 ) ( ) (4,0,3), (2,1,3)a yz x i xz y j x z k l M
2 2 2
( 2 ) ( 3) ( 3 ) (0,1, 1), (1, 3,4)a z x i y x j z y k l M
2
( 4 ) ( ) (4 1) (0,2,1), (4,1, 2)
z
a z x i e y j z k l M
22
( ) (2 ) ( 4 ) ( 2,2, 1), (1,1,0)a z x i x y j x z k l M
в этой точке и угол между векторами l и
.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
77
24.
22
(5 6 ) (11 2 ) ( 4 ) ( 2, 1,1), (1, 3,4)a x y i x y j z x k l M
22
( 6 ) ( 2 ) ( ) (5,1, 1), (1, 1,2)
z
a y z x i e y x j x y z k l M
i j k
x y z
U U U
gradU i j k
x y z
U i j k U gradU U gradU
x y z
y
x
z
a
a
a
diva
x y z
a
25.
7 Оператор Гамильтона
Дифференциальные операции в теории поля упрощаются, если ввести
оператор Гамильтона, называемый еще символическим вектором «набла»
.
С его помощью основные действия по дифференцированию скалярных и
векторных функций сводятся к соответствующему умножению оператора
функции.
Действительно:
на эти
1) Градиент скалярного поля U
можно представить как умножение вектора
2) Дивергенцию векторного поля a
на скаляр U
.
можно рассматривать как скалярное произведение векторов и
78
y
x
z
x y z
a
a
a
i j k a i a j a k diva
x y z x y z
a diva
xz
y
i j k
rot a
x y z
aa
a
a rot a
rot a
rot U a Ua U a U a gradU a Urot a
.
3) Ротор векторного поля a
совпадает с векторным произведением оператора
на a
.
Теперь как просто записывается четвертое свойство
4)
.
Преимущество использования оператора Гамильтона заключается в том, что,
выполняя различные другие дифференциальные действия над скалярными и
векторными функциями, можно рассматривать
применять к нему правила векторной алгебры, учитывая, что
дифференциальный оператор, обладающий свойствами производной. Оператор
обладает следующими свойствами:
формально как обычный вектор и
есть
79
1) Так как оператор
1 2 1 2
U U U U
1 2 1 2
grad U U gradU gradU
1 2 1 2
a a a a
1 2 1 2
()div a a diva diva
1 2 1 2
a a a a
1 2 1 2
rot a a rot a rot a
Uc
ac
0c , 0c , 0c
U U U
grad U gradU U grad
Ua U a U a
div U a a gradU U diva
U a U a U a
rot U a gradU a U rot a
diva
divgradU
rot gradU
grad diva
divrot a
rotrot a
divgradU
2
divgradU gradU U U
сумме двух функций равен сумме произведений оператора на каждое слагаемое
является линейным, то результат его применения к
или
или
или
2) Поскольку
когда U, a являются постоянными, то есть
.
3)
является дифференциальным оператором, то в тех случаях,
или
или
или
,
, будет
.
С помощью оператора Гамильтона легко вычисляются вторые производные
скалярных и векторных функций. Заметим, что скалярное поле
поле характеризуются пятью вторыми производными:
,
Определим каждую из вторых производных с помощью оператора .
1) Величину
применения оператора
,
.
мы получаем в результате двукратного скалярного
.
и векторное
,
,
80
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]