Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Элементы теории поля. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

08.09.2026

Размер:

2 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 109 10 > Следующая >>>

По правилам возведения в квадрат вектора получаем

 

2 2 2

i j k

x y z x y z



     

      



     



 



 

2 2 2

x y z

  

   

  

divgradU U





rot gradU

 

rot gradU U  

 

00U rot gradU   

divrot a

a 

       

00divrota a a a a divrota             

rotrot a

 

rotrot a a  

Оператор

оператором Лапласа или Лапласианом

Значит,

2) Для получения величины

широко применяется в математической физике и называется

необходимо применить оператор 

сначала скалярно, а затем векторно

Вынося скалярный множитель за знак векторного произведения, учитывая, что

векторное произведение двух одинаковых векторов равно нулю, получаем

3) Величина

ров

, в котором два перемножаются векторно, а третий – скалярно.

4) Вторая производная

ное произведение

представляет собой смешанное произведение трех векто-

может быть представлена как двойное вектор-

По правилам векторного умножения имеем

     

a a a      

rotrot a grad diva a



  

grad diva rotrot a a





()aP

( ) 0diva P 

( ) ( ) ( )

diva P dV a P n P d





 

( ) 0diva P 

( ) ( ) 0a P n P d









()aP

( ) ( ) 0a P n P d









Значит,

8 Виды векторных полей и их свойства

1) Если векторное поле

полем без источников и называется трубчатым или соленоидальным.

Установим основное свойство трубчатого или соленоидального поля. Возьмем

в поле некоторую область V, ограниченную замкнутой поверхностью  и запишем для нее формулу Гаусса-Остроградского

обладает тем, что

, то оно является

из которой следует, что, если

Значит, основным свойством соленоидального векторного поля является

равенство нулю потока вектор

взятую в поле

, то

через произвольную замкнутую поверхность,

Из этого основного свойства соленоидального поля вытекает, что векторные

0divrotb 

()a a P

()aP

( ) ( )a P rotb P

()bP

()aP

()bP

()a a P

, ,..., ,...,

b b b

, , ... , , ...

rotb a rotb a rotb a  

 

1 2 2 2

0rot b b rotb rotb a a     

0 rot gradU

2 1 2 1

b b gradU b b gradU     

b b gradU

()aP

( ) 0rot a P 

0rot gradU 

()aP

gradU

( ) ( )a P gradU P

()aP

x y z

a dx a dy a dz   



линии у них не имеют ни начала, ни конца, они либо замкнуты, либо уходят в бесконечность.

Из формулы

непременно существует такой вектор b, ротором которого является вектор

следует, что, если поле

– соленоидальное, то

, то

есть

при этом вектор

Если вектор

называется вектор-потенциалом векторного поля

– вектор-потенциал векторного поля

, то у

трубчатого поля существует бесчисленное множество вектор-потенциалов

но все они охватываются формулой

Действительно,

, но

Вывод: два вектор-потенциала соленоидального поля определяются по формуле

2) Поле

Если

является полем вектора

3) Поле

называется безвихревым, если

, то это возможно, если

скалярной функции U, то есть

называется потенциальным, если циркуляция вектора по произ-

вольной замкнутой кривой равна нулю, то есть

, то есть поле

x y z

a dx a dy a dz rot a n d rota



     

 

0rot a 

()UP

( ) ( )a P gradU P

()UP

()aP

( ) 0diva P 

( ) 0rot a P 

a gradU

0diva 

0divgradU 

Пусть кривая L является кривой, ограничивающей ориентированную поверхность , взятую в поле (см. рисунок 29).

Рисунок 29

Воспользуемся формулой Стокса

Значит, тождественное обращение в ноль циркуляции векторного поля приводит к выполнению условия безвихренности

безвихренности

и условие потенциальности векторного поля полностью

эквивалентны, при этом скалярная функция

векторного поля

. Представление векторного поля в виде поля

. Следовательно, условие

называется потенциалом

градиента скалярной функции U имеет большое значение, так как изучение

векторного поля в этом случае сводится к исследованию намного более простого

скалярного поля

3) Если векторное поле

, то потенциал такого поля является гармонической функцией.

Действительно, если

является и трубчатым

, то

, если

, то

, и безвихревым

или

   

00UU     

, но

 





0U

222

2 2 2

UUU

x y z



  

  

()aP

   

 

2 2 2

a y z i xy y j xz z k     

 

a y z

 

a xy y

 

a xz z

diva

x y z



  

  

 

2 2 2

2 , ( ) 0

xy y x y y z

y y x x





      

   

 

1, 2 1 2 2 1

xz z x div a x y x x y



          



,,x y z

2 2 1 0xy  

, то есть

, то есть в

этом случае функция U в некоторой области G непрерывна, имеет непрерывные

частные производные до второго порядка и в каждой точке этой области удовлетво-

ряет уравнению Лапласа, а тогда она по определению является гармонической.

Таким образом:

1) Если векторное поле

соленоидальное, то оно характеризуется вектор-

потенциалом;

2) Если векторное поле

безвихревое, то есть потенциальное, то оно ха-

рактеризуется потенциалом, то есть скалярной функцией U;

3) Если векторное поле

и трубчатое, и безвихревое, то его потенциалом

является гармоническая функция U.

Задача 1. Определить вид поля вектора

Решение:

1) Устанавливаем, что

Записываем

2) Находим

Поле несоленоидальное в

3) Записываем формулу

переменных

, кроме точек плоскости

i j k

rot a i k

x y z y z x y



   



  

    

   

      

   

Вычисляем

( ) 0; ( ) 0 0;

xz z xy y

y y z z y z



        

     

( ) 2 ; ( ) 2

y z z xz z z z z z

z z x x z x



          

     

2 2 2

( ) ; ( ) 2 2

xy y y y z y y y y

x x y y x y



           

     

rota z j yk rot a z y    

( ,0,0)x

   

a y z i x z j xk    

 

a y z

 

a x z

az

diva

x y z



  

  

Следовательно,

Данное поле вихревое, но в точках

мощность вихря равна нулю.

Задача 2. Определить вид поля вектора

Решение:

1) Устанавливаем

2) Записываем формулу дивергенции

3) Находим

 

0, ( ) 0

y z x z

x x y y





     

   

 

x div a



   



,,x y z

i j k

rot a i j k

x y z y z z x x y



   



  



      

   



        



   

0; ( ) 1 0 1 1

x x z

y y z z y z



          

     

( ) 1; ( ) 1 0

y z x

z z x x z x



       

     

( ) 1; ( ) 1 0

x z y z

x x y y x y



        

     

;1rot a i rot a  

Данное поле трубчатое в

3. Записываем формулу

Вычисляем

переменных

Следовательно,

Данное поле вихревое и мощность вихря равна 1.

8.1 Задания для самостоятельной работы

a x i x j xzk  

   

8 1 4 4a x i zx y j zk    

     

2 2 2 2 2 2

a x y i y x j y z k     

     

2a yz x i x y j x z k     

2 2 2

a x i y j z k  

 

3 2 3a yz x i x y j x z k     

a x i y j zk  

2 2 2( )a xyi xy j xz zy k   

a xzi z j yk  

2a yi yz j z k  

32a xzi x j yk  

 

2a y xz i x z j z k    

2a x i y j zk  

2a yi zy j z k  

3 3 2

a x i y j z k  

 

3 3 3 1,5a xyi yz j zy z k   

   

 

a zx y i zy x j x y k     

 

2a xi y j x z k    

   

a x y i x z j zk    

   

22a xi x y j x z k    

23a xi y j zk  

Определить вид поля вектора .

1. а)

б)

2. а)

б)

3. а)

б)

4. а)

б)

5. а)

б)

;

6. а)

б)

7. а)

б)

8. а)

б)

9. а)

б)

10. а)

б)

;

11. а)

;

б)

 

77a xi z j x y z k    

a xy i x y j zk  

 

17 7 10a xi y j x z k   

   

a x xy i y yz j xzk    

   

2a x y i y z j   

     

8 1 4 4a x i xz y j y z k     

 

3a zi y x j zk   

 

23a y z i y j xk   

   

5 6 11 6a x y i y j x z k    

 

a x y i xz y j z k    

 

5 3 2 3a y i z x z k   

   

 

2a y x i x y j x z k     

 

2 4 2a yi z k  

 

3 3 5a z y i x j z x k    

 

2a xi y j z x k    

 

8 1 2a yz x i x j xy z k     

 

23a xi y j z x k   

   

3a y z i x y j xyk    

 

9 9 2a yi z k  

   

 

22a yz x i xz y j x z k     

 

3 2 2a xi y j z k   

     

2 3 2a z x i x y j y z k     

12. а)

б)

13. а)

б)

14. а)

б)

15. а)

б)

16. а)

б)

;

17. а)

б)

18. а)

б)

19. а)

б)

20. а)

б)

21. а)

;

б)

22. а)

;

б)

 

6 2 4 5a xi y j z k

  

   

   

 

6 2 4

a y z x i e y x j x z k       

7 3 4a xyi y j yzk  

   

5 1 2a yz x i x j zk    

a xi y j zk





  

 

22a xi z j x z k    

   

23a x z i y j z x k    

23. а)

б)

24. а)

б)

25. а)

б)

;

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 109 10 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]