Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Элементы теории поля. Учебное пособие
.pdf
Вывод: дивергенция векторного поля
()a a P
0 0 0 0
( , , )P x y z
a xi y j zk
3
x y z
diva
x y z
( , , ) ( , , ) ( , , )
( , , )cos ( , , )cos ( , , )cos
V
P x y z Q x y z R x y z
dV P x y z Q x y z R x y z d
x y z
cos
cos
cos
0
()nP
( , , )P x y z
Q( , , )x y z
( , , )R x y z
( , , ) ( , , ) ( , , )
x y z
a a x y z i a x y z j a x y z k
V
()
V
diva P dV
()a a P
в данной точке
есть
скалярная величина, равная сумме значений частных производных от проекций
вектора в данной точке.
Например, пусть поле задано вектором вида
. В этом случае
жидкость ГДМ вытекает из начала координат и растекается. Тогда
,
то есть в любой точке поля возникает 3 куб. единицы объема жидкости ГДМ в
каждую единицу времени.
Запишем формулу Остроградского
,
где
тора
вектора
,
,
– значения косинусов направляющих углов нормального век-
к замкнутой поверхности , ограничивающей область V.
Если в ней функции
,
и
, то ее правая часть определяет поток
являются проекциями
вектор a через замкнутую поверхность , а левая часть представляет собой
тройной интеграл по области
от дивергенции вектора a, то есть
Следовательно, поток векторного поля
через замкнутую поверхность
равен тройному интегралу по области V, ограниченной замкнутой поверхностью
, от дивергенции этого векторного поля
61
()
V
diva P dV
(28)
r xi y j zk
r xi y j zk
()
V
divr P dV
x
ax
y
ay
z
az
1
x
ax
1
y
ay
1
z
az
22
.
3 3 3 3
ÖÈË
V
dV V R h R h
2a xi zk
Формула (28) называется формулой Остроградского-Гаусса.
Например, вернемся к задаче: найти поток радиуса-вектора
через внешнюю сторону кругового цилиндра, если начало координат совпадает с
центром нижнего основания цилиндра, у которого R – радиус основания, а h –
высота.
Решение.
Внешняя сторона кругового цилиндра является замкнутой поверхностью,
ограничивающей круговой цилиндр, поэтому для нахождения потока вектора
можно воспользоваться формулой Остроградского-Гаусса, то есть
где теперь
,
Находим
Следовательно,
Рассмотрим еще задачу: найти поток векторного поля
мкнутую поверхность
,
,
.
,
.
.
через за-
62
22
22
3 2 1
:4
0
z x y
xy
z
.
()
V
diva P dV
()diva P
2
()
()
()
( ) 0 2 1 3
x
y
x
z
y
z
ax
aP
aP
aP
diva P a
x y z
az
22
22
3 2 1
3 2 1
22
0
0
3 3 3 | 3 3 2 1
xy
xy
V D D D
dxdydz dxdy dz dxdy x y dxdy
=
22
:4D x y
2
4
2
22
00
3 4 3 2 1
y
dx x y dy
Решение.
1) Устанавливаем, что поверхность замкнутая, поэтому для вычисления
потока векторного поля через эту поверхность можно воспользоваться формулой
Остроградского-Гаусса
.
2) Находим
.
3) Вычисляем
63
=
переходим к полярным координатам:
cos , sinx r y r
Якобиан преобразования
Jr
=
22
22
2 2 2 2 3 2 2
0 0 0 0
12 3 cos 2 sin 1 12 3cos 2sind r r r dr d r r dr
2
4 4 2
22
3 2 3 2 2 2
0 0 0
32
12 3 cos 2 sin 12 cos sin
4 4 2
r r r
d r r r dr d
2
0
=
2 2 2 2
2 2 2
0 0 0 0
12
12 12cos 8sin 2 12 4cos 10 4 4cos2 120
2
d d d d
6 4 2sin 2
2
60 12 60 72 72
.
0
64
5.3 Задания для самостоятельной работы
()a a P
0 0 0 0
( , , )P x y z
2
0
4ln 3 8 2 (1,1, 1)a x i xy j z P
3
33
0
6 3 6 (2,4,4)
2
x
a i y j z k P
32
0
3
1
(1,2,1)a i y j yz k P
x
2 3 2
0
(2,1,4)a xz i x y j zy k P
22
0
2ln 5 4 2 (1,1,1)a x i xyz j x zk P
2 2 2
0
11
5 (1,1,3)
4
a x yi x z j k P
z
2
0
3 (1,3,3)
2
xy
a i yz j x z k P
2
0
1
7ln 4 (1,1,2)
13
a x i xyzj xz P
0
1
arctan (2,2,1)
y
a i xz j k P
x
yz
2
2
0
2
ln 1 (1,2,4)
y
a x i xy z j k P
z
22
0
2
1
(1,1, 2)a x y i yz j P
x yz
32
0
( ) (3,4,1)
xy
a x yi z y x j k P
z
22
22
0
2
4 (1,1,0)
xz
a xyi z y j k P
y
3 3 3
2 2 2 2 2
2 2 2
0
( 4) ( 3) ( ) (0, 3,4)a x i y j x y z k P
2 2 2 2 2 2
0
ln 1 (3,0, 4)a x y i y z j x z k P
2 2 2 2 2
0
(1,1,1)a x y z i xy j xy zk P
22
0
2
ln( ) (2,1,1)
x
a xi z y j z P
yz
Задание 1. Найти дивергенцию векторного поля
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
в точке
.
1.8
1.9
1.10
1.11
1.12
1.13
1.14
1.15
1.16
1.17
65
1.18
23
22
0
2
(1,5, 2)
yz
a x yi xy z j k P
x
23
2
0
ln 1 (1,1,1)
yz
a y x i arctg y j k P
x
0
3
ln ( 2,1, 1)
y
a x yi arctg yz j P
xz
2
22
0
4ln 3 (1,3,2)
yz
a x i xy z j k P
x
2
0
23
3
sin( 2 ) ( , ,3)
22
z
a x y i xyz j k P
x yz
2
22
0
32
ln( 1) (1,1,2)
x
a x y zi y j k P
yz
3 2 2 3 2
0
(1, 3,4)a x i x z j x yz P
3
0
3
(4,1, 2)
x yz xy
a i j k P
yz
xy
()a a P
22
16
( ) ( ) :
, 0 ( 0)
xy
a x z i z y k S
z x z z
22
, 4 , 1 ( 0)
3 3 2 :
,0
y x y x y x
a xi y j zk S
z y z
22
2 2 2
4
2:
, ( 0)
y x y
a xi z j S
z x y z
22
2
( ) :
2
x y y
a z y i y j xk S
y
22
1, 0
(3x 2 ) 5 :
3 2 6
x y z
a xi y j yk S
x y z
22
22
2 1, 0
3( ) ( 2 ) :
2
z x y z
a z y i x z k S
xy
22
22
4 2( )
:
2( )
z x y
a xi z j yk S
z x y
1.19
1.20
1.21
1.22
1.23
1.24
1.25
Задание 2. Найти поток векторного поля
через замкнутую
поверхность S (нормаль внешняя).
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
66
2.8
22
1, , 0
2:
,0
x y x y y
a zi y j xk S
z x y z
22
2:
1
z x y
a zi y j xk S
z
22
3 2 12, 3 6, 0
4:
4
x y x y y
a xi y j zk S
z x y
22
1, 0, 1
8 8 3 :
,0
x y x y
a xi y j xk S
z x y z
22
2 2 2
3 2( )
6 2 3 :
, ( 0)
z x y
a xi y j zk S
z x y z
22
44
( ) ( ) :
3 4 12, z 1
xy
a z y i x z j zk S
x y z
22
2 2 2
3 27 2( )
( 2 ) 2 4 :
, ( 0)
x x y
a y z i y j xk S
z x y z
22
, 2 , 2
( 6 ) 6( ) 5 :
,0
y x y x y
a y z i x z j yk S
z x y z
22
1
6 5 :
, 0 ( 0)
xy
a yi y j zk S
z x z z
22
22
1
3 (4 3 ) 2 :
y 2, 0
xy
a zi y x j zk S
z x z
22
22
2
3 ( 3 ) 3 :
,0
x y x
a yi x y j xk S
z x y z
22
, 2 , 1
(2 2 ) (3 ) (2 ) :
,0
y x y x x
a x y z i y x j z y k S
z x y z
22
22
, , 2
8 2 (2 3 5 ) :
2 , 1
z x y y x y x
a xi z j x y z k S
z x y x
22
2 2 2
5 3 12 :
2( ), ,
z x y
a xi z j zk S
z x y y x y x
22
2 3 4 :
2
x y z
a xi y j zk S
zx
2.9
2.10
2.11
2.12
2.13
2.14
2.15
2.16
2.17
2.18
2.19
2.20
2.21
2.22
67
2.23
22
22
2 4( )
(3 ) (2 3 ) :
4( )
z x y
a x y i y z k S
z x y
22
1
(3y 4 ) (4 3 ) ( ) :
4 , 0
xy
a z i x z j x y z k S
z x y z
22
22
2
3 4 ( ) :
,0
x y y
a xi z j x z k S
z x y z
()a a P
0
P
l
0
P
L
L
()aP
x y z
Ö a dx a dy a dz
L
S
L
L
0
P
0
P
2.24
2.25
6 Завихренность векторного поля
Рассмотрим векторное поле
произвольный вектор
плоскости около точки
направление обхода замкнутого контура
вдоль контура L (см. рисунок 25)
. Перпендикулярно вектору построим плоскость. В этой
проведем замкнутый контур
. Возьмем в этом поле в точке
. Возьмем положительное
. Вычислим циркуляцию векторного поля
Пусть
– площадь области, ограниченной контуром
следующее определение.
.
Рисунок 25
. Тогда имеет место
Определение. Конечный предел отношения циркуляции векторного поля вдоль
контура
, содержащего точку
ограниченной этим контуром, при условии, что контур L стягивается в точку
с вектором l, к площади области,
,
68
называется завихренностью векторного поля в точке
0
P
0
0
( ) lim
x y z
l
LP
L
a dx a dy a dz
WP
S
0
()
l
WP
0
P
l
( ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) ,
x y z
a P a x y z i a x y z j a x y z k
( , , )
x
a x y z
( , , )
y
a x y z
( , , )
z
a x y z
0 0 0 0
( , , )P x y z
0 0 0 0
( , , )P x y z
0 0 0 0
( ) ( )cos ( )cos ( )cos
l i j k
W P W P W P W P
cos , cos , cos
0 0 0
0 0 0
( ) , ( ) , ( ) .
yy
xx
zz
i j k
P P P
aa
aa
aa
W P W P W P
y z z x x y
(направления) l и записывается так
вокруг вектора
С точки зрения ГДМ векторного поля завихренность
стремление частицы жидкости ГДМ повернуться в точке
вокруг столба.
Завихренность может быть положительной, отрицательной и равной нулю.
6.1 Вычисление завихренности векторного поля
Теорема. Если векторное поле задано в прямоугольной системе координат, то
есть
показывает
вокруг вектора
, как
где функции
,
,
частными производными в точке
завихренность векторного поля в точке
формуле
где
– косинусы направляющих углов вектора l,
при этом
– непрерывные вместе со своими
и некоторой ее окрестности, то
вокруг вектора l вычисляется по
69
Тогда, окончательно,
0 0 0
0
( ) cos cos cos .
yy
xx
zz
i
P P P
aa
aa
aa
WP
y z z x x y
( ) ( , , ) ( , , ) ( , , )
x y z
a P a x y z i a x y z j a x y z k
0 0 0 0
( , , )P x y z
cos , cos , cos
' ' ' 'X O Y Z
1 2 3
,,A A A
1 2 3
( , , ')L A A O
2 1 2
( , , ')L A A O
3 1 3
( , ', )L A O A
1
L
2
L
3
L
Доказательство. В векторном поле
возьмем в точке
произвольный вектор l с направляющими косинусами
. На векторе l, на некотором расстоянии от его начала, возьмем
точку 'O, в которой возьмем систему координат
В качестве замкнутого контура возьмем треугольник
.
, плоскость ко-
торого перпендикулярна вектору l. Рассмотрим также три замкнутых контура
,
и
(см. рисунок 26).
Рисунок 26
Вычислим сумму криволинейных интегралов по замкнутым контурам
, то есть
,
и
70
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]