Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Элементы теории поля. Учебное пособие
.pdf
1.11
22
: 1 ( 0) (1,0), ( 1,0)F yi x j L x y y M N
22
: 1 ( 0) ( 2,0), ( 2,0)F yi x j L x y y M N
22
2 : 1 ( 0, 0) (1,0), (0,1)F xyi y j L x y x y M N
22
11
: 2 1 ( 0) ( ,0), ( ,0)
22
F yi x j L x y y M N
2 2 2 2 2
( )( 2 ) : ( 0) (R,0), ( ,0)F x y i j L x y R y M N R
2 2 2 2 2 2
: 1 ( 0) (1,0), ( 1,0)F x y x y i y x x y j L x y y M N
2 2 2 2
: 4 ( 0, 0) (2,0), (0,2)F x yi xy j L x y x y M N
2 2 2 2 2 2
: 16 (x 0, 0) (1,0), ( 1,0)F x y x y i y x x y j L x y y M N
2 2 2 2
: 9 ( 0, 0) (3,0), (0,3)F y i x j L x y x y M N
2 2 2
( ) ( ) :F x y i x y j L
(1,0), (0,1)MN M N
2 2 2
( ) :F x y i y j L
(2,0), (0,2)MN M N
2
( ) :F x y i y j L
(3,0), (0,3)MN M N
2 2 2 2
( ) (2 ) : 9 ( 0) (3,0), ( 3,0)F x y i xy y j L x y y M N
22
2 2 2 2
( ) ( ) : 1 ( 0) (3,0), ( 3,0)
94
xy
F x y i x y j L y M N
2
2
: 1 ( 0, 0) (1,3), (0,3)
9
y
F xi y j L x x y M N
2
2
cos
2
,:
2
cos , sin
2
xt
a yi x j z k
y t z t
4cos
( ) ( ) ( ) , :
4sin , 1 cos
xt
a y z i z x j x y k
y t z t
3
23
3
4 cos
,:
4sin , 3
xt
a x y i j zk
y t z
1.12
1.13
1.14
1.15
1.16
1.17
1.18
1.19
1.20
1.21
отрезок
отрезок
1.22
отрезок
1.23
1.24
1.25
Задание 2. Найти циркуляцию векторного поля a вдоль контура в
направлении, соответствующем возрастанию параметра t.
2.1
2.2
2.3
41
2.4
2
cos
,:
22
sin , cos
22
xt
a x i y j zk
y t z t
2cos
2 3 , :
2sin , 2 2cos 2sin
xt
a yi x j zk
y t z t t
2cos
2 , :
2sin , 2 2cos 2sin
xt
a zi x j yk
y t z t t
cos
,:
sin , 3
xt
a yi x j zk
y t z
2
cos
,:
2sin , 2cos 2sin 1
xt
a xi z j yk
y t z t t
3cos
3 3 , :
3sin , 3 3cos 3sin
xt
a yi x j zk
y t z t t
2
1
cos
1
2
,:
1 1 1
3
sin , cos sin
3 3 4
xt
a xi z j xk
y t z t t
2
2 cos
,:
2sin , 2 cos
xt
a zi y j xk
y t z t
3cos
6 , :
3sin , 3
xt
a zi x j xyk
y t z
2
cos
2 , :
3sin , 2cos 3sin 2
xt
a xi z j yk
y t z t t
2 3 2
2 cos
2 , :
2sin , 1
xt
a x y i j xzk
y t z
4cos
4 3 , :
4sin , 4 4cos 4sin
xt
a yi x j xk
y t z t t
5cos
,:
5sin , 4
xt
a zi x j xzk
y t z
2cos
,:
2sin , 0
xt
a zi x j yk
y t z
2.5
2.6
2.7
2.8
2.9
2.10
2.11
2.12
2.13
2.14
2.15
2.16
2.17
42
2.18
3cos
( ) ( ) ( ) , :
3sin , 2(1 cos )
xt
a y z i z x j x y k
y t z t
cos
2 , :
sin , 4 cos sin
xt
a yi z j xk
y t z t t
2
cos
,:
sin , sin
xt
a xzi x j z k
y t z t
2 3 2
cos
3 , :
sin , 5
xt
a x y i j yk
y t z
6cos
7 , :
1
6sin ,
3
xt
a zi x j yzk
y t z
2cos
1
3 , :
2sin , 1 2cos 2sin
3
xt
a yi x j xk
y t z t t
2
3cos
2 , :
4sin , 6cos 4cos 1
xt
a xi z j yk
y t z t t
2
cos
3 , :
4sin , 2cos 4sin 3
xt
a xi z j yk
y t z t t
22
2
1
( ) , :
1
xy
a x y i x j k
z
2 2 2
2
22
9
3 , :
4 ( 0)
x y z
a yzi x z j xyk
x y z
22
5( ) 1
,:
4
z x y
a xzi j yk
z
2 2 2
22
9
,:
9
x y z
a yzi xz j xyk
xy
2 2 2
0
4 3 3 , :
3
x y z
a i x j zxk
z
2.19
2.20
2.21
2.22
2.23
2.24
2.25
Задание 3. Найти модуль циркуляции векторного поля a вдоль контура Ã.
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
43
3.6
22
2
4( ) 1
2 3 2 , :
5
z x y
a yi x j z k
z
2 2 2
2
22
25
2 2 , :
16 ( 0)
x y z
a yzi xz j y k
x y z
22
9
,:
1
xy
a xyi yz j xzk
x y z
2 2 2
22
4
(1 ) , :
1 ( 0)
x y z
a yi x j zk
x y z
22
2
1
2 , :
4
xy
a yi x j z k
z
22
2( ) 1
4 2 , :
7
x x y
a xi j xyk
z
22
2
2 3 , :
1
x y z
a yi x j z k
z
22
2
4
3 2 , :
2 3 4
xy
a zi y j yk
x y z
22
2 2 1
2 4 , :
3
xy
a yi z j xk
x y z
2 2 2
0
2 3 , :
2
x y z
a yi j yzk
z
2 2 2
2
40
( ) , :
1
2
x y z
a x y i x j z k
z
2 2 2
4
2 3 2 , :
1
x y z
a xzi j yk
z
2 2 2
2
22
25
2 3 2 , :
9 ( 0)
x y z
a yzi xz j x k
x y z
22
1
3 2 2 , :
1
xy
a xi yz j xk
x y z
3.7
3.8
3.9
3.10
3.11
3.12
3.13
3.14
3.15
3.16
3.17
3.18
3.19
44
3.20
2 2 2
0
2 3 2 , :
1
x y z
a yi j k
z
22
2
1
2 3 , :
3
z x y
a yi x j z k
z
2 2 2
2
22
25
3 2 , :
16 ( 0)
x y z
a yzi xz j y k
x y z
22
4
3 4 4 , :
2 2 3 1
xy
a zi y j yk
x y z
2 2 2
0
4 4 2 , :
3
x y z
a i x j xzk
z
22
1
2( ) 3 5 , :
2
xy
a x y i x j k
z
3
R
0
()nP
0
()nP
3.21
3.22
3.23
3.24
3.25
4 Поток векторного поля
Определение 1. Кусок поверхности
странстве
вектор
считается ориентированным в про-
, если в каждой точке поверхности определен единичный нормальный
, который является непрерывной функцией
(см. рисунок 15).
Рисунок 15
45
Определение 2. Потоком вектора
()a a P
()a a P
( ) constaP
()a a P
P
0
()nP
()h v a P
()Ï a P
( )||aP
0
()nP
cos ( ) cosh v a P
0
( ) cos ( ) ( )Ï h a P a P n P
0
( ) 1 cos ( ) ( )a P a P n P
0
( ) ( )Ï a P n P
через ориентированный кусок по-
верхности называется количество жидкости ГДМ, протекающей через кусок в
единицу времени.
Раскроем определение поток векторного поля
Пусть векторное поле однородное
.
, а куском поверхности
является кусок плоскости площадью , а направление вектора
точке
этого куска совпадает с направлением нормального вектора
Если поле однородно, то поток вектора через кусок будет равен объему
цилиндрического тела с основанием и высотой
есть
.
в каждой
.
(см. рисунок 16), то
гда
Пусть теперь
Рисунок 16
, а образует с ним угол
и
. Следовательно,
. То-
, так как
(см. рисунок 17).
46
Рисунок 17
0
()nP
0
( ) ( )a P n P
()a a P
P
()aP
3
R
Если угол
. Если угол
острый, то жидкость будет протекать в выбранном направлении
тупой, то поток будет отрицательным и жидкость будет
протекать в противоположном направлении. Это говорит о том, что у куска
поверхности есть положительная сторона и отрицательная.
Итак, если поле однородно и кусок поверхности является куском плоскости
площадью , то
(23)
Пусть теперь векторное поле стационарное
бесконечно малому смещению точки
вектора
. Возьмем произвольный кусок поверхности
соответствует бесконечно малое смещение
– непрерывное, то есть
, ориентированный в
пространстве
их.
(см. рисунок 18). На этом куске выберем n точек и пронумеруем
47
i
0
( ) ( )
i i i i
a P n P
0
1
( ) ( )
n
i i i
i
a P n P
max 0
i
0
0
1
max ( ) ( )
i
n
i i i
i
a P n P
()a a P
Рисунок 18
Проведем через каждую точку касательные плоскости. Эти плоскости будут
пересекаться, и мы получим многогранную поверхность, описанную около этого
куска поверхности . Площадь каждой грани обозначим через
каждой грани можно применить формулу (23)
.
После этого просуммируем потоки через каждую грань и найдем
приближенное значение потока через кусок поверхности
.
Для получения точного значения необходимо в полученной сумме перейти к
.Теперь к
пределу при условии, что
который является поверхностным интегралом от вектора
.
, то есть
, (24)
по поверхности
48
0
( ) ( )a P n P d
. (25)
()aP
()aP
r xi y j zk
Вывод: Поток вектора
поверхностному интегралу от данного вектора
через данный кусок поверхности равен
по данному куску поверхности
.
Задача 1. Найти поток радиуса-вектора
через внешнюю сто-
рону прямого кругового цилиндра, если начало координат совпадает с центром
нижнего основания цилиндра, у которого R – радиус основания, h – высота.
Решение.
1) Построим прямой круговой цилиндр, выделив основные части внешней его
стороны: нижнее основание
(см. рисунок 19).
верх.
, боковую поверхность
ниж.
и верхнее основание
бок.
Рисунок 19
49
2) Построим в произвольной точке
( , , )P x y z
0
()nP
.
. . 0 . .
0
1
( ) ( ) cos cos 0 0
2
,
ниж ниж ниж
ниж осн ниж осн
r P n P d r d r d П
rn
..
.пов. 0 0
0
0
(P) ( ) cos cos( , )
,
бок бок
бок
r n P d r r r n R
rn
.
2 2 2
..пов.
2 2 2
бок
бок бок
Rd R h R R h П R h
0
. . 0
0
0
1
1
cos cos
1
,
,
( ) ( ) cos
1
,
cos
,
верх верх
верх осн
rn
rz
r P n P d r d
rn
rh
rn
.
2 2 2
. . .
верх
верх верх осн
hd h h R R h Rh
2 2 2 2
..ц. . .ц .
0 2 3 3
вн ст вн ст
R h R h R h R h
5 (1 2 ) 4a xi y j zk
: 4 1
23
xz
Py
I
OZ
радиус-вектор r для каждой ча-
сти внешней его стороны. Укажем направление внешней нормали
части.
3) Установим, что
вн.ст.ц.
=
ниж.осн.
+
бок.пов.
+
верх.осн.
4) Вычисляем
к каждой
.
.
5) Определяем
.
Задача 2. Найти поток векторного поля
через часть
плоскости
угол с осью
).
, расположенную в
-ом октанте (нормаль образует острый
50
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]