Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Элементы теории поля. Учебное пособие
.pdf
17.
4a y j zk
a xi y j
49a xi y j
75a xi y j
6 12a xi zk
2 16a y j zk
4a xi y j
49a xi zk
a xi zk
( , , )x y z
( , , )F x y z
( , , )x y z
( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , )F x y z P x y z i Q x y z j R x y z k
AB
W
AB
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
3 Силовое поле
3.1 Работа в силовом поле. Линейный интеграл. Циркуляция вектора
Определение 1. Если в каждой точке области V пространства
материальную точку действует сила
координатами точки
, то есть
, полностью определяемая
то область V называется силовым полем или полем силы F.
При перемещении в силовом поле материальной точки по некоторой
направленной дуге
силовое поле совершает определенную работу
на
,
.
Вычислим величину этой работы. Возьмем параметрическое уравнение направлен-
ной дуги
.
31
()
( ) ( )
()
A B A B
x x t
y y t t t t t t t
z z t
' ' '
( ), ( ), ( )x t y t z t
,
AB
tt
AB
A
tt
B
tt
( , , )M x y z
AB
t
A
t
B
t
( , , )P x y z
( , , )Q x y z
( , , )R x y z
AB
W
AB
1 2 1
, , ,..., ,
n
A M M M B
F
1kk
MM
k
M
()
k
FM
1kk
MM
x
y z A
B
M
1
M
2
M
3
M
k
M
n-1
M
k+
.
Предположим, что дуга является гладкой кривой, то есть в каждой точке
касательная к ней изменяется непрерывно. Для этого
непрерывными на
дуги
соответствует значению
Потребуем, чтобы точка
параметра
от
до
и не обращаться в ноль одновременно. Начальная точка A
, а конечная точка B значению
описывала дугу
. Проекции
,
при монотонном изменении
и
должны быть
силы F на
координатные оси являются непрерывными функциями в каждой точке дуги
Найдем сначала приближенное значение работы
вписанной в нее ломаной
, и считая при этом силу
, заменяя дугу
постоянной
на каждой стороне ломаной (см. рисунок 10).
.
.
Силу F на стороне
. Тогда величина работы на участке, равном стороне
скалярному произведению вида
Рисунок 10
примем равной значению в точке
, то есть
будет равна
32
1
()
k k k k
W F M M M
( ) ( , , ) ( , , ) ( , , )
k k k k k k k k k k
F M P x y z i Q x y z j R x y z k
1k k k k k
M M x i y j z k
()
k
FM
1kk
MM
( , , ) ( , , ) ( , , )
k k k k k k k k k k k k k
W P x y z x Q x y z y R x y z z
AB
11
( , , ) ( , , ) ( , , )
nn
k k k k k k k k k k k k k
kk
W W P x y z x Q x y z y R x y z z
1
max 0
1
lim
kk
n
k
MM
k
WW
( , , )P x y z
( , , )Q x y z
( , , )R x y z
( , , )x y z
AB
1
max 0
1
lim ( ( ) ( ) ( ) )
kk
n
k k k k k k
MM
k
P M x Q M y R M z
( , , ) ( , , ) ( , , )
AB
P x y z dx Q x y z dy R x y z dz
(18)
Но
, а
и тогда скалярное произведение (18) равно сумме проекций произведений
соответствующих проекций векторов
и
(19)
Величина работы по всей дуге
будет приближенно равна сумме работ по
каждой стороне ломаной, то есть
(20)
Точным значением работы будет предел, к которому стремится сумма (20) при
стремлении к нулю наибольшей из длин сторон вписанной ломаной
. (21)
Так как проекции
, определенные на направленной гладкой дуге
,
и
– это непрерывные функции от
, то тогда
33
– это криволинейный интеграл по координатам. Следовательно
( , , ) ( , , ) ( , , )
AB
W P x y z dx Q x y z dy R x y z dz
( ) ( , , ) ( , , ) ( , , )
x y z
a P a x y z i a x y z j a x y z k
AB
x y z
AB
a dx a dy a dz
Ã
()aP
.
x y z
Ã
a dx a dy a dz
x y z
AB
(22)
Определение 2. Если дано векторное поле
то линейным интегралом по направленной дуге
теграл вида:
Если теперь возьмем замкнутую направленную кривую, которая называется
ориентированным замкнутым контуром
(см. рисунок 11), то тогда
,
, называется криволинейный ин-
.
Определение 3. Линейный интеграл, взятый по замкнутому контуру,
называется циркуляцией вектора
Рисунок 11
Ц
34
С точки зрения ГДМ векторного поля циркуляция вектора определяет
( , , )F x y z
.
AB
W Pdx Qdy Rdz
( , , ) ( )F x y z x y i j
L
k
M
N
22
: 4; ( 0), (2,0), ( 2,0)L x y y M N
, 1, 0P x y Q R
22
:4L x y
2r
x
M
y
N
стремление частицы жидкости двигаться вдоль данного контура
С учетом определения 2 работа, совершаемая над материальной точкой силой
в силовом поле равна линейному интегралу
Рассмотрим следующие задачи.
Задача 1. Найти работу силы
материальной точки вдоль линии
от точки
при перемещении P
.
.
точке
, если
Решение.
1) Устанавливаем
рисунок 12).
– окружность P радиуса
.
и центром в начале координат (см.
Рисунок 12
35
2) Вычисляем
()
L
W x y dx dy
2
2
[0,2]
:
4
4
x x dx dx x
L
x
y x dy dx
x
2
2
2
0
4
4
xdx
xx
x
=
2sin 2
2
x t ï ðè x t
Делаем замену
2cos 0 0dx t ï ðè x t
=
22
2
00
2sin 2cos
(2sin 2cos ) 4 (sin cos sin )
2cos
tt
t t dt t t t dt
t
22
2 2 2
2
0 0 0
00
1 cos2 2cos2 sin 2
4 sin 2 sin 2 4 | | 2 | cos cos0
2 2 2
t t t
t dt t dt dt t
2 sin sin0 ( 1 1) 2 2
2
W
( ) ( ) ( )a y z i z x j x y k
cos
: sin
2(1 cos )
xt
yt
zt
x y z
a a i a j a k
x y z
a dx a dy a dz
; ( ); ( )
x y z
a y z a z x a x y
Задача 2. Найти циркуляцию векторного поля
контура
в направлении, соответствующем возрастанию параметра t, если
Решение.
1) Устанавливаем, что, если дано векторное поле
мкнутый контур
вдоль
и за-
, то
Ц=
где
.
,
36
2) Строим контур
12
0 (1,0,0), (0,1,2)
2
t A t A
3
( 1,0,4)tA
4
3
(0, 1, 2)
2
tA
5
2 (1,0,0)tA
Ц=
cos sin
( ) ( ) ( ) : sin cos [0;2 ]
2(1 cos ) 2sin
x t dx t dt
y z dx z x dy x y dz y t dy tdt t
z t dz t dt
2
0
((sin 2(1 cos ))(sin ) (2(1 cos ) cos cos 2sin (cos sin ))t t t t t t t t t dt
2
2 2 2
0
sin 2sin 2cos sin 2cos 3cos 2sin cos 2sin )t t t t t t t t t dt
2
22
00
0
( 3 2(sin cos )) 3 | 2( cos sin ) | 6 2( 1 1 0) 6t t dt t t t
6
А3 А
2 -1 1
1 -1
2
4
А4 А
1
z y x
: при
, при
, при
, при
(см. рисунок 13).
Рисунок 13
3)Вычисляем
Ц=
37
Знак минус указывает, что частица ГДМ стремится двигаться в направлении,
2a yzi xz j xyk
2 2 2
22
25
:
9 ( 0)
x y z
x y z
x y z
a a i a j a k
,
x y z
a dx a dy a dz
x y z
a dx a dy a dz
, 2 ,
x y z
a yz a xz a xy
3
R
2 2 2
25x y z
22
9xy
противоположном направлению возрастания параметра t.
Задача 3. Найти модуль циркуляции векторного поля
контура
Решение.
1) Устанавливаем, что, если дано векторное поле
мкнутый контур
, то
вдоль
.
и за-
Ц=
|Ц|=
,
где
.
2) Строим контур
, который представляет собой кривую в пространстве
как линию, образованную пересечением двух поверхностей:
и
– кругового цилиндра (см. рисунок 14).
– сферы
38
Рисунок 14
22
9
4
xy
z
2yzdx xzdy xydz
2
22
1( 2 )
: 9 [0,3]
2 9 9
0
0
dx dx
xx
x xdx
y x dy dx x
xx
z
dz
3 3 3
2
22
22
0 0 0
9 4 2 4 9 4 8
99
xdx x dx
x x dx x dx
xx
Поэтому её уравнение можно записать в виде
3) Вычисляем
.
Ц=
39
=
Сделаем замену:
3sin [0,2 ]x t x
3cosdx t
2 2 2
2
2 2 2
0 0 0
9sin 3cos
36cos 8 36 cos 2sin
3cos
tt
t dt dt t t dt
t
2
22
2 2 2 2
00
0
36 cos sin sin 36 | cos2 36 | sint t t dt t dt t dt
2 2 2
0 0 0
sin2 1 cos2 36 36 sin2
36 | 36 | (0 0) | 0 18(2 0) 36
2 2 2 2 2
t t t
t
36
22
( 2 ) ( 2 ) :F x y i y x j L
( 4,0), (0,2)MN M N
22
( 2 ) ( 2 ) :F x y i y x j L
( 4,0), (0,2)MN M N
2
22
( 2 ) ( 2 ) : 2 ( 4,0), (0,2)
8
x
F x y i y x j L y M N
22
( ) 2 : 4 ( 0) (2,0), ( 2,0)F x y i x j L x y y M N
3 3 2 2
: 4 ( 0, 0) (2,0), (0,2)F x i y j L x y x y M N
2
( ) ( ) : ( 1,1), (1,1)F x y i x y j L y x M N
2
:F x yi y j L
( 1,0), (0,1)MN M N
2 2 2
(2 ) ( ) : 9( 0) (3,0), ( 3,0)F xy y i x x j L x y y M N
2
2
( ) ( ) : 1 ( 0, 0) (1,0), (0,3)
9
y
F x y i x y j L x x y M N
2 2 2 2
01
( ) ( ) : (2,0), (0,0)
2 1 2
xx
F x y i x y j L M N
xx
3.2 Задания для самостоятельной работы
Задание 1. Найти работу силы F при перемещении вдоль линии L от точки M
к точке N.
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
|Ц|
отрезок
отрезок
.
1.6
1.7
отрезок
1.8
1.9
1.10
40
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]