Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Элементы теории поля. Учебное пособие
.pdf
Решение.
, , cos , , cos , , cos
x y z
a x y z a x y z a x y z d
( ( , ), , ) ( , ( , ), ) ( , , ( , ))
yz xz xy
x y z
a y z y z dzdy a x x z z dx dz a x y f x y dxdy
( , )x y z
, ( , )y x z
( , )z f x y
yz
xz
xy
cos
cos
cos
41
23
xz
y
2x
1
4
y
3z
5
x
ax
(1 2 )
y
ay
4
z
az
3 24 2 6 0 (3;24;2)x y z n
1) Записываем формулу вычисления потока
,
где
а
,
– соответствующие проекции поверхности на координатные плоскости,
,
,
2) Устанавливаем, что
и
– равносильные уравнения поверхности ;
– направляющие косинусы нормали к поверхности .
– это уравнение плоскости, являющейся
в данной задаче поверхностью , отсекающей на осях координат отрезки
;
и
;
;
.
3) Строим данную плоскость, определяем проекции ее нормального вектора,
преобразуя уравнение к общему виду
сунок 20).
,
;
(см. ри-
Рисунок 20
51
Направляющие косинусы нормального вектора
n
2
3 3 24 2
cos ; cos ; cos
580 580 580
9 24 4
1
2 1 4 , 1 , 3 1 4
3 4 2 3 2
z x z x
x y y z y
yz
xz
xy
1
5 2 1 4 1 2 1 4 3 1 4
3 4 2 3 2
yz xz xy
z x z x
y dy dz dxdz y dxdy
Значения направляющих косинусов показывают, что двойные интегралы в
формуле потока положительные.
соответственно равны
.
4) Определяем равносильные уравнения плоскости (поверхности
рисунок 21).
и строим
)
,
,
(см.
Рисунок 21
5) Записываем формулу потока для данной задачи
.
52
Вычисляем двойные интегралы
11
3(1 4 ) 3(1 4 )
2
44
0 0 0 0
10 1 4 10 1 4 10 ( ) 4
3 3 6
yz
yy
z z z
y dy dz dy y dz dy z yz
1
4
2
0
9
10 3 1 4 4 1 4 3 1 4
6
y y y y dy
23
1 1 1
3
4 4 4
0 0 0
1 4 1 4
16
30 | 120 | 15 |
8 3 12
yy
y
y
15 1 1 5 15 5 35
120 20
4 4 12 4 4 4 2
31
2
2
00
1 2 1 2 1 2
1
2 3 2 3 2 3
xz xz
x
x z dxdz x z dxdz dx x z dz
31
2
22
2
2
0
00
11
| 3 1 3 1 3 1
2 3 2 2 2 2
x
z x x x
dx z xz x dx
3
23
2
2
0
3 3 3 3 1
2 1 | 6 4 2 4 5
2 4 2 2 2 2 2 2
x x x
xx
1
1
1
1
42
22
42
2
0
0 0 0
12 1 4 12 1 4 12 2 |
2 2 2
xy
x
x
x x xy
y dx dy dx y dy dx y y
.
.
53
2
2
0
1 1 1
12 1 1 1 2
4 2 8 2 8 2
x x x
x dx
3
2
2
23
0
1 1 1 1 1 1 1 1
12 1 | 12 4
4 4 16 16 3 6 2 4 4 6 6
xx
x x x
35 1 1 1 (11 27 )
4 5 13 5
2 2 2 2 2
()a a P
OZ
7 (5 2) 3 : 4 1
2
xy
a xi y j zk P z
9 3 : 1
3
x
a xi j zk P y z
2 (6 1) 7 : 1
23
yz
a xi y j k P x
(2 1) 3 : 2 1
3
x
a x i y j zk P y z
7 9 : 1
3
y
a xi y j k P x z
5 11 : 1
3
z
a i y j zk P x y
9 : 2 1
3
y
a xi y j zk P x z
5 (9 1) 4 : 1
2 3 2
x y z
a xi y j zk P
3
2 : 1
2 3 4
xz
a i y j zk P y
9 (5 1) 2 : 3 1
9
z
a xi y j zk P x y
7 2 (7 2) : 1
2
z
a xi y j z k P x y
(4 2 ) : 2 1
34
yz
a y j z k P x
.
Суммируем значения интегралов и получаем величину потока
.
4.1 Задания для самостоятельной работы
Задача. Найти поток векторного поля
через часть плоскости P,
расположенной в первом октанте (нормаль образует острый угол с осью
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
).
9.
10.
11.
12.
54
13.
(3 1) (9 1) 6 : 1
2 3 4
x y z
a i y j zk P
(4 2 ) : 1
2 3 4
yz
a xi y j z k P x
(5 3) 11 : 4 1
3
y
a y j zk P x z
9 (7 1) : 1a y j z k P x y z
(1 2 ) : 1
43
xy
a y j z k P z
(27 1) (34 3) 20 : 3 1
9
y
a xi y j zk P x z
2 2 : 1
34
xy
a xi j zk P z
4 6 10 : 2 1
3
z
a xi y j k P x y
9 3 9 : 8 1
3
z
a xi y j k P x y
2 2 : 1
2 3 4
x y z
a xi y j k P
5 (4 1) 2 : 2 1
3
x
a xi y j zk P y z
(2 1) 3 (1 ) : 1
4 2 3
x y z
a i y j z k P
5 (4 2 ) : 1
2 3 4
yz
a xi y j z k P x
()aP
0
n
()aP
0
( ) ( )a P n P d
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
5 Дивергенция векторного поля
5.1 Определение дивергенции векторного поля
Пусть дано векторное поле
поверхность так, чтобы точка находилась внутри поверхности (см. рисунок 22).
Вычислим поток вектора
через поверхность в направлении нормали
Этот поток будет равен поверхностному интегралу по данной замкнутой
поверхности
от вектора
, то есть
. Построим около точки P замкнутую
.
. (26)
55
V
P
V
P
0
1
lim ( ) ( )
P
a P n P d
V
()aP
Рисунок 22
Согласно определению потока величина (26) указывает, какое количество
жидкости ГДМ данного поля возникает или исчезает за единицу времени внутри
объема, ограниченного данной поверхностью, так как она вся проходит через
поверхность .
Если теперь величину (см. формулу 26) разделить на объем
данной поверхностью
, то получим количество жидкости ГДМ векторного поля,
, ограниченный
возникающей или исчезающей в единицу времени в единице объема. Чтобы
определить какое количество жидкости ГДМ возникает или исчезает в единицу
времени в точке
, надо рассмотреть предел
при
, то есть
. (26)
Если этот предел существует и конечен, и не зависит от способа стягивания
поверхности в точку P, то он (см. формулу 26) называется дивергенцией
векторного поля
в данной точке P и обозначается так
56
0
1
( ) lim ( ) ( )
P
diva P a P n P d
V
.
()a a P
0
1
( ) lim ( ) ( )
P
diva P a P n P d
V
()diva P
()diva P
( ) 0diva P
( ) 0diva P
E
divE
0
Определение. Дивергенцией векторного поля
называется конечный
предел отношения потока векторного поля через замкнутую поверхность к
объему, ограниченному этой поверхностью, при условии, что поверхность
стягивается в точку P, который не зависит от способа стягивания поверхности в
точку P, то есть
.
С точки зрения ГДМ векторного поля
определяет количество
жидкости ГДМ, возникающей или исчезающей в данной точке P поля в единицу
времени.
Из определения
истоком поля. Если
дивергенция векторного поля напряженности
следует, что, если
, то точка P является
, то точка P поля является стоком поля. Например,
электростатического поля равна
плотности электрических зарядов , то есть
.
Тогда, при
, следует, что положительные заряды являются истоком
электростатического поля. Из них выходят векторные линии (силовые линии) (см.
рисунок 23).
57
Рисунок 23
0
()a a P
0 0 0 0
( , , )P x y z
0 0 0 0
( , , )P x y z
,,x y z
( ) ( , , ) ( , , ) ( , , )
x y z
a P a x y z i a x y z j a x y z k
При
следует, что отрицательные заряды являются стоком
электростатического поля. В них сходятся векторные (силовые) линии.
5.2 Вычисление дивергенции в прямоугольной системе координат
Пусть дано векторное поле
1) Возьмем точку
2) Построим около точки
.
. Выполним следующие операции:
параллелепипед со сторонами
(см. рисунок 24).
3) Данное векторное поле запишем в виде
.
Рисунок 24
58
4) Пусть функции
( , , )
x
a x y z
( , , )
y
a x y z
( , , )
z
a x y z
0
P
0
P
0
()diva P
()diva P
()a a P
0
P
0V
00
1 2 3 4 5 6
( ) ( ) ( ) ( )a P n P d a P n P d
0
1 2 3 4 5 6
0
( ) ( )
1
; ( ) ( )
a P n P d
V x y z a P n P d
V x y z
0
0
1 2 3 4 5 6
0
0
( ) ( )
1
lim ( ) ( ) lim
PV
a P n P d
a P n P d
V x y z
0 0 ( , )
1 1 1
( ) ( ) ( ) cos , ;
x x y
a P n P d a P n i a d
0 0 ( , )
2 2 2
( ) ( ) ( ) cos , ;
x x y
a P n P d a P n i a d
,
,
непрерывны и имеют
непрерывные частные производные в точке
и некоторой ее окрестности.
5) Поставим задачу: вычислить дивергенцию данного векторного поля в точке
, то есть
Кроме определения
.
мы пока не располагаем никакими другими
средствами относительно способов практического вычисления дивергенции.
Поэтому, используя определение дивергенции, составим следующий план решения
задачи:
1) Вычисляем поток вектора
через поверхность
, ограничивающую
параллелепипед.
2) Находим объем V параллелепипеда и делим на него поток .
3) Вычисляем предел полученного отношения при
или
.
Итак, записываем все операции по порядку.
а)
б)
в)
.
.
.
Вычисляем через две грани 1 и 2.
.
59
Считая, что
()aP
0
P
0 0 0 ( , ) 0 0 0 ( , ) 0 0 0
1
, , , , , ,
2 2 2
x x y x y z x
x x x
a x y z d a x y z a x y z y z
0 0 0 ( , ) 0 0 0 ( , ) 0 0 0
1
, , , , , ,
2 2 2
x x y x y z x
x x x
a x y z d a x y z a x y z y z
0
0 0 0 0 0 0
12
00
( ) ( )
, , , ,
22
lim lim
xx
VV
xx
a P n P d
a x y z a x y z
V x y z
0 0 0 0 0 0
0
, , , ,
22
lim
xx
x
xx
a x y z a x y z
x
применяем для полученной
разности теорему Лагранжа
=
0 0 0 0 0 0
0
( , , ) ( , , ) ( )
lim
x x x
x
a c y z a x y z a P
x
x x x x
0
00
0
()
( ) ( )
()
y
xz
aP
a P a P
diva P
x y z
во всех точках граней 1 и 2 постоянен и равен значению в
точке
, получаем
Вычислим пункт в) для первых двух граней.
.
.
Вычисляем аналогично для граней 3 и 4, 5 и 6. Тогда получаем формулу
вычисления дивергенции в прямоугольной системе координат
(27)
.
60
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]