Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Элементы теории поля. Учебное пособие
.pdf
1.9
2
( , , ) ln(1 ) ; (2; 2; 1), (1; 2;4)U x y z x xy z l M
22
( , , ) z; ( 3;4;0), (3;4;1)U x y z x y l M
( , , ) ( ) ; (2;2; 1), (1; 1; 2)U x y z x y z y x l M
2
( , , ) 4 ; (1; 2; 2), (1;1;0)U x y z xy z l M
3
2 2 2 3
2
( , , ) ( ) ; (0; 3; 4), (0; 3; 4)U x y z x y z x y l M
2 2 2 2
( , , ) ln(1 ) ; ( 1;2; 2), (3;0; 4)U x y z x y x z l M
2 2 2
( , , ) ; , (1;1;1)U x y z x y z l i j k M
22
( , , ) ln( ); 2 , (2;1;1)U x y z x z y l i j k M
22
( , , ) ; 2 2 , (1;5; 2)U x y z x y xy z l j k M
2
( , , ) ln(1 ) arg ; 2 3 2 , (0;1;1)U x y z y x tg z l i j k M
( , , ) (ln ); 8 4 8 , ( 2;1; 1)U x y z x y atgtg z l i j k M
22
( , , ) ln(3 ) ; 2 2 , (1;3;2)U x y z x xy z l i j k M
3
( , , ) sin( 2 ) ; 4 3 , ( ; ;3)
22
U x y z x y xyz l i j M
22
( , , ) ln( 1); 5 6 2 5 , (1;1;2)U x y z x y z z l i j k M
3 2 2
( , , ) ; , (1; 3;4)U x y z x y z l j k M
22
( , , ) ln( ); 2 , (1; 3;4)U x y z x y z l i j k M
( , , ) 2 ; 4 3 , (3; 2;1)U x y z x y y arctg z l i k M
( , , )U x y z
3
33
( , , ) 6 3 6 ; (1;1;1)
2
x
U x y z y z M
3
3
( , , ) ; (2;4;4)
yz
U x y z M
x
3
2
( , , ) ; (1;2;3)
z
U x y z M
xy
1.10
1.11
1.12
1.13
1.14
1.15
1.16
1.17
1.18
1.19
1.20
1.21
1.22
1.23
1.24
1.25
Задача 2. Найти градиент скалярного поля
2.1
в точке M.
2.2
2.3
21
2.4
3 4 1 1
( , , ) ; ( 2; ;1)
2
U x y z M
xy
z
2
2
( , , ) ; (2;1;4)
x
U x y z M
yz
2
2
( , , ) ; (1;2;2)
x
U x y z z M
zy
22
2
9
( , , ) ; (2;1;2)
6
xy
U x y z M
z
22
2
1
( , , ) ; (3;1;1)U x y z z x M
x yz
22
( , , ) ; (2;1;2)
xy
U x y z z x M
z
22
22
1
( , , ) ; (1;3;4)
3
xy
U x y z M
z yz
22
1
( , , ) ; (2;1;3)U x y z yz M
xy z
2
2
22
( , , ) ; (1;3;1)
x
U x y z x z M
yz
2
2
( , , ) ; (1;2;4)
x
U x y z yx M
yz
3
2
2
( , , ) ; (3;2;1)
y
U x y z yz M
xz
23
2
2
11
( , , ) ; ( ; ;2)
22
yz
U x y z zy M
x
2
22
1
( , , ) ; (1;2; )
2
y
U x y z x y M
xz
22
22
2
( , , ) ; (3;2;1)
yz
U x y z x z M
x
23
3
( , , ) ; (1;4;1)
yz
U x y z y z M
x
3
2
2
( , , ) y; (2;4;1)
yx
U x y z z M
z
2.5
2.6
2.7
2.8
2.9
2.10
2.11
2.12
2.13
2.14
2.15
2.16
2.17
2.18
2.19
22
2.20
2
2
( , , ) ; (3;4;2)
yz
U x y z xyz M
x
32
1
( , , ) ; (1;3;2)U x y z x yz M
xy
2
2
33
( , , ) ; (1;2;1)
x
U x y z xz M
yz
3
2
3
( , , ) ; (3;1;3)
xy
U x y z xy M
z
23
2
3
( , , ) ; (3;3;3)
yz
U x y z yz M
x
2
2
3
( , , ) ; (2;2;2)
xz
U x y z yxz M
y
( , , )P x y z
3
R
a
( , , )a x y z
()aP
()a a P P V
( , , ) ( , , )a a x y z x y z V
2.21
2.22
2.23
2.24
2.25
2 Векторное поле
2.1 Определение векторного поля. Гидродинамическая модель векторного
поля
Определение 1. Если в каждой точке
задано значение некоторой векторной величины
что в области V задано векторное поле вектора
области V пространства
или вектора
и записывают так
, то говорят,
Для изучения векторного поля, независимо от его физической природы,
строится его гидродинамическая модель (ГДМ).
23
Определение 2. Гидродинамическая модель (ГДМ) векторного поля
()aP
P
()aP
()
p
v a P
()aP
()aP
1
Р 3 4
2
– это
такое движение жидкости, при котором скорость ее частицы, попадающей в данную
точку поля
, равна вектору
, определяющему поле в данной точке P, то есть
(см. рисунок 8).
Рисунок 8
Согласно определению ГДМ векторного поля, скорость разных частиц
жидкости, попадающих в точку P, должна быть равна значению вектора
независимо от того, по какой траектории до этой точки двигалась частица.
Определение 3. Траектории движения частиц жидкости ГДМ называются
линиями тока или векторными линиями.
Из данного определения следует, что векторная линия – это такая кривая,
касательная, в каждой точке которой совпадает с вектором
, определяющим
поле в этой точке (см. рисунок 9).
24
()v a P
()a a P
()aP
()aP
()aP
Р
1
Р2 Р
3
Р
3
Р
2
Р
1
Рисунок 9
Векторные поля бывают двух видов:
1) Стационарные;
2) Нестационарные.
Определение 4. Векторное поле называется стационарным, если в любой
момент времени в данной точке P поля частицы жидкости ГДМ будут иметь одну и
ту же скорость
.
Определение 5. Векторное поле
называется нестационарным, если
частица жидкости ГДМ, попадая в данную точку P в разные моменты, имеет
различные скорости, то есть значение вектора
в данной точке с изменением
времени изменяется.
Мы будем рассматривать только стационарные поля.
Определение 6. Стационарное поле называется однородным, если вектор
в каждой точке имеет одно и то же значение, то есть
Пусть дано векторное поле
– const.
25
( ) ( , , ) ( , , ) ( , , )
x y z
a P a x y z i a x y z j a x y z k
()
()
()
x x t
y y t
z z t
()vP
x
y
z
dx
v
dt
dy
v
dt
dz
v
dt
()a P v
( , , )
( , , )
( , , )
x
y
z
dx
a x y z
dt
dy
a x y z
dt
dz
a x y z
dt
Требуется найти уравнения линий тока, то есть уравнения траекторий
движения частиц жидкости ГДМ.
Предположим, что известен закон движения частиц жидкости ГДМ.
Это уравнение траектории движения частиц жидкости ГДМ в
(14)
параметрической форме. Найдем скорость, то есть проекции скорости
(15)
Теперь, согласно ГДМ,
, или
.
Получили систему дифференциальных уравнений, связывающих искомые
функции одного аргумента. Поэтому для того, чтобы найти уравнение линии тока,
надо решить систему дифференциальных уравнений (ДУ) (16).
(16)
26
Для удобства систему (16) можно записать и так
( , , ) ( , , ) ( , , )
x y z
dx dy dz
dt
a x y z a x y z a x y z
()a P const
,,
x y z
a a a b a c
()a P ai b j ck
0
0
0
dx
a
dt
x at x
dx adt
dy
b dy bdt y bt y
dt
dz cdt
z ct z
dz
c
dt
0 0 0
x x y y z z
a b c
0 0 0
,,x y z
( ; ; )a a b c
26a xi zk
(17)
При интегрировании системы (16) появятся произвольные постоянные, и мы
получим семейство интегральных кривых, которые будут траекториями движения
частиц жидкости ГДМ, то есть целое семейство линий тока.
Пример 1. Рассмотрим однородное векторное поле
и
.
Система (16) и ее решение для однородного поля имеет вид
Получили уравнение прямой в параметрической форме, или
. Тогда
каноническое уравнение прямой.
При различных значениях
параллельных прямых, параллельных вектору
Пример 2. Найти векторные линии в векторном поле
получим уравнения семейства
.
.
27
Решение.
2 ; 0; 6
x y z
a x a a z
1
2
3
22
ln 2
00
ln 6
66
x
y
z
dx dx dx
a x dt
dt dt x
x t C
dy dy dy
a y C
dt dt dt
z t C
dz dz dz
a z dt
dt dt z
11
33
2
2
2
1
2 2 2
66
6
3
,
t
t C C
t
t C C t
t
x C e
x e x e e
y C y C y C
z C e
z e z e e
3
1
13
;.
C
C
e C e C
2
2
11
3
1
22
2
63
3
3
1
t
t
t
x
e
x C e C
x C x
y C y C
yC
z C e
x
zC
C
3
1
3
1
C
CC
3
1
2
z C x
yC
1) Устанавливаем
2) Записываем систему (16) и решаем ее
.
где
где
.
3) Записываем уравнения векторных линий
– семейство кубических парабол.
28
Задача 3. Найти векторные линии в векторном поле
57a z j yk
0; 5 ; 7 .
x y z
a a z a y
0
1
2
3
0
55
7
7
x
y
z
dx dx
a
dt dt
xC
dy dy
a z y zt C
dt dt
z yt C
dz dz
ay
dt dt
22
33
22
23
; 7 7 5 5
5 7 5 7
z C z C
y C y C
t t y yC z zC
z y z y
22
22
22
3 3 3
2 2 2
7 2 5 2 7 5
2 2 2 2 2 2
C C C
C C C
y y z z
2
2
3
2
2
1
2
2
,
11
75
C
C
z
y
C
2
2
2
3
2
1
7 5 .
22
C
C
C
2
2
3
2
22
11
2
2
1.
11
75
C
C
z
y
CC
Решение.
.
1) Устанавливаем
2) Записываем систему (16) и решаем ее
.
где
29
Обозначим
2 2 2 2
1 1 1 2
11
;
75
C C C C
2
2
''
3
2
;
22
C
C
y y z z
' 2 ' 2
22
12
0
1
( ) ( )
1
yz
CC
xC
49a yi x j
23a yi x j
24a xi y j
3a xi y j
4a xi y j
36a xi zk
94a xi zk
32a xi zk
48a y j zk
3a y j zk
28a xi zk
3a xi zk
94a y j zk
32a y j zk
5 10a xi y j
23a xi y j
и введем новые переменные
, и получим уравнения семейства гипербол
2.2 Задания для самостоятельной работы
Найти векторные линии в векторном поле.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
30
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]