Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Элементы теории поля. Учебное пособие
.pdf
где
1
2
3
0, 0, 0.x y z
U
l
1
l M M
( ) ( ) ( )
.
U U M x U M y U M z
l x l y l z l
cos , cos , cos ,
xyz
l l l
0l
1 2 3
00
( ) ( ) ( )
lim cos cos cos lim( cos cos cos )
ll
U U M U M U M
l x y z
( ) ( ) ( ) ( )
cos cos cos .
U M U M U M U M
l x y z
()UM
,
,
– бесконечно малые при
Составим отношение
, где
.
Замечаем, что
(9)
а тогда в выражении (8) с учетом (9) переходим к пределу при
(8)
.
и получаем
(10)
1.3 Градиент скалярного поля и его свойства
Продолжим изучение скалярного поля. Потому замечаем, что соотношение
(10) представляет собой скалярное произведение двух векторов. Первый вектор, у
которого проекциями на оси координат являются значения частных производных
функции
в точке M назовем градиентом функции U (скалярного поля), то
есть
11
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ; ; .
U M U M U M U M U M U M
gradU M i j k
x y z x y z
(11)
0
cos cos cosl i j k
0
()
()
UM
gradU M l
l
0
()
( ) cos ( ) cos .
UM
gradU M l gradU M
l
l
l
()
( ) cos .
UM
gradU M
l
gradU
gradU
grad U
M
Второй вектор представляет собой единичный вектор
(см. рисунок 5).
Рисунок 5
Тогда
Итак, производная по направлению
направление
Соотношение (12) позволяет установить следующие свойства
или
в точке M равна проекции градиента на
(12)
.
Свойство 1.
направлен в сторону наибольшего изменения скалярного
поля.
12
Действительно,
()
( ) cos
UM
gradU M
l
cos 1
0
()gradU M
()gradU M
l
()gradU M
()gradU M
( , , ) 0F x y z
0 0 0 0
( , , )M x y z
0 0 0 0
( , , )M x y z
0 0 0
( ) ( )
zz
z z x x y y
xy
'
'
''
;.
y
x
zz
F
F
zz
x F y F
grad U
M
0
принимает свое наибольшее значение,
когда
или
нулю, то
направлению
Свойство 2.
Действительно, пусть S некоторая поверхность, определяемая уравнением
. Возьмем на ней точку
плоскости в точке
, но
и
параллельны, и совпадают по направлению. Значит, по
– это угол между l и
, и, если он равен
скорость изменения скалярного поля наибольшая.
направлен по нормали к поверхности уровня.
и запишем уравнение касательной
к данной поверхности S (см. рисунок 6).
где
Рисунок 6
13
Если
S
( , , ) ( , , ) 0F x y z U x y z C
'
'
x
z
U
U
z
x
U
xU
z
'
'
y
z
U
U
z
y
U
yU
z
0
M
0 0 0 0 0 0
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0
U
U
U U U
y
x
z z x x y y x x y y z z
UU
x y z
zz
n
,,,
UUU
x y z
gradU
n
gradU
gradU
2
22
,
UUU
gradU
x y z
l
cos cos cos
U U U U
l x y z
– поверхность уровня скалярного поля, то
.
Тогда
к поверхности уровня скалярного поля будет иметь следующий вид
;
, и уравнение касательной плоскости в точке
и нормальный вектор
также являются проекциями
плоскости (13) имеет проекции
. Значит, векторы
и
коллениарны.
(13)
, которые
совпадают или
Анализируя полученные результаты при изучении скалярного поля U, мы
делаем общий вывод: в скалярном поле выделяются поверхности (линии) уровня,
которые указывают, что оно претерпевает изменение только при переходе от одной
поверхности (линии) уровня к другой, причем наибольшее изменение происходит в
направлении нормали к поверхности (линии) уровня и равно модулю
, то есть
а по другим направлениям
определяется производной по направлению
14
1.4 Задачи для решения по теме «Скалярное поле»
22
( , ) .U x y x y
22
x y C
2C
22
2 2 2 2
22
2 2 1
( 2) ( 2)
yx
x y y x
OY
1C
22
1yx
0C
22
yx
1C
22
1xy
OX
2C
22
22
1
( 2) ( 2)
xy
OX
2
( , , ) 4U x y z xy z
(1,1,0)M
22
z x y
OZ
l
( ) ( ) ( )
cos cos cos
U U M U M U M
l x y z
Задача 1. Найти линии уровня и построить их для поля
Решение.
Запишем уравнения линий уровня
1) при
получаем
уравнение гиперболы с действительной осью
2) при
получаем
– уравнение гиперболы с действительной
осью OY;
осью
3) при
4) при
;
получаем
получаем
– уравнение двух пересекающихся прямых;
– уравнение гиперболы с действительной
. Тогда
– это
;
5) при
действительной осью
получаем
.
Строим линии уровня (см. рисунок 7).
Задача 2. Найти производную скалярного поля
точке
по направлению нормали к поверхности S:
острый угол с положительным направлением оси
Решение.
Производная по направлению
определяется по формуле
– уравнение гиперболы с
в
, образующей
.
.
15
ln
n
0 0 0
''
0 0 0 0
( , ) ( , ) 1
xy
x x y y z z
f x y f x y
''
0 0 0 0
( , ), ( , ), 1
xy
f x y f x y
''
0 0 0 0
( ( , ), ( , ), 1)
xy
n f x y f x y
n
'
0 0 0 0
0 0 0
( , ) ( , )
( , ) 2
x
S x y z x y
f x y x
xx
0
1x
0
1y
' ' '
00
0 0 0 0 0
( , )
( , ) 2; 2 ( , ) 2
x y y
z x y
f x y f y f x y
x
(2, 2, 1)n
1 1 -1
-1
-
-
x
y
Рисунок 7
В задаче
, где
– нормаль к поверхности S.
Уравнение нормали к поверхности S имеет вид
,
где
– это координаты направляющего вектора нормали, то
есть параллельного ей вектора. Поэтому его и возьмем за
Теперь определим координаты вектора
.
.
Поскольку
Вектор
;
то
.
.
16
Определим направляющие косинусы углом, которые образует вектор n с
2 2 2 2 2 2 2 2 2
cos ; cos ; cos ,
y
x
z
x y z x y z x y z
n
n
n
n n n n n n n n n
,,
x y z
n n n
n
2, 2, 1
x y z
n n n
2 2 2 2 2 1
cos ; cos ; cos
3 3 3
4 4 1 4 4 1 4 4 1
OZ
1
cos
3
( , , )U x y z
(1,1,0)M
0 0 0 0
00
( , , )
(M) (1,1,0) 1
2
2
U x y z y
UU
x x x
xy
0 0 0 0
00
( , , )
( ) (1,1,0) 1
2
2
U x y z x
U M U
y y y
xy
0 0 0 0
2
0
( , , ) 2
(1,1,0)
0
24
U x y z z
U
zz
z
( ) (1,1,0) 1 2 2 1
0
2 3 3 2
U M U
nn
(1,1,0)
0
Un
координатными осями.
где
– координаты вектора
Но, по условию, угол – угол, образованный нормалью с положительным
направлением оси
Находим частные производные от
, то есть
, должен быть острый, значит
в точке
.
;
Таким образом,
.
;
.
17
Задача 3. Найти угол между градиентами скалярных полей
2 2 2
( , , ) 3U x y z x y z
2
( , , )
x
V x y zyz
1 1 1
;;
2 2 3
M
0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0
( , , ) ( , , ) ( , , )
( , , )
U x y z U x y z U x y z
gradU x y z i j k
x y z
( , , )U x y z
( , , )V x y z
1 1 1
;;
2 2 3
M
0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 1 1
( , , ) 2 2 6 , ; ;
2 2 3
gradU x y z x i y j z k x y z
1 1 1 2 2 6
; ; 2 2 2 3
2 2 3 2 2 3
gradU i j k l j k
00
0 0 0
2 2 2 3
0 0 0 0 0 0
2
1
( , , )
xx
gradV x y z i j k
y z z y y z
1 1 1 1 2 3 1 3 2 1 2 2 3 3
;;
11
2 2 3 2 2 1
gradV i j k
1 1 1
; ; 3 2 3 2 6 3
2 2 3
gradV i j k
cos
и
Решение.
Градиент скалярного поля есть вектор вида
Определим его для полей
в точке
и
в точке
.
.
.
.
– косинус угла между градиентами скалярных полей. Он определяется
по формуле
18
( ) ( )
cos
( ) ( )
gradU M gradV M
gradU M gradV M
2 2 2 2 2 2
3 2 3 2 12 3 48
cos 1 0
4 12
2 2 2 3 3 2 3 2 6 3
3 2 2
( , , )U x y z x y z
l j k
(1, 3,4)M
l
( ) ( ) ( ) ( )
cos cos cos
U M U M U M U M
l x y z
3 2 2 2
3
U
x y z x
xx
3 2 2
2 2 2 2
2
2
U y y
x y z
yy
y z y z
3 2 2
22
Uz
x y z
zz
yz
Задача 4. Найти производную скалярного поля
направлению вектора
Решение.
1) Запишем формулу производной в данном направлении
2) Определяем:
в данной точке
по
.
в точке M.
.
3) Вычисляем:
19
( ) (1, 3,4) ( ) (1, 3,4) 3
3; ;
5
U M U U M U
x x y y
(1, 3,4) 4
.
5
UU
zz
0 1 1
cos 0; cos ; cos .
2 2 2
xx
ll
ll
( ) 3 1 4 1
3 0 0,7 2
55
22
UM
l
( , , )U x y z
l
2
( , , ) 4ln(3 ) 8 ; ( 2;2;1), (1;1;1)U x y z x xyz l M
( , , ) ; (0;3; 4), (2;4;4)U x y z x y y z l M
2
( , , ) 2ln( 5) 4 ; (1; 2;2), (1;1;1)U x y z x xyz l M
2 2 2
11
( , , ) 5 ; (3;0;4), ( 2; ;1)
42
U x y z x y x z l M
23
( , , ) ; (2; 1;2), (2;2;4)U x y z xz x y l M
2
( , , ) ; (4;3;0), (2;1; 1)U x y z x y yz l M
2
1
( , , ) 7ln( ) 4 ; ( 2; 1;2), (1;1;1)
13
U x y z x xyz l M
( , , ) ; (0; 4; 3), (2;2; 1)
y
U x y z arctg xz l M
x
4) Определяем
1.5 Задания для самостоятельной работы
Задача 1. найти производную скалярного поля
направлении
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
в данном
в точке M.
1.6
1.7
1.8
20
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]