Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Функциональный анализ для магистрантов. Учебное пособие
.pdf
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
УРАЛЬСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ИМЕНИ ПЕРВОГО ПРЕЗИДЕНТА РОССИИ Б. Н. ЕЛЬЦИНА
А. Р. Данилин
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ
АНАЛИЗ
для магистрантов
Рекомендовано методическим советом УрФУ
в качестве учебного пособия для студентов, обучающихся
по программе магистратуры по направлениям подготовки
010100 "Математика", 010200 "Математика и компьютерные науки",
010800 "Механика и математическое моделирование", 230700 "Прикладная
информатика", 010300 "Фундаментальная информатика и информационные
технологии", 090102 "Информационная безопасность"
Екатеринбург
Издательство Уральского университета
2013
УДК 517.98(075.8)
Оглавление
Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Глава 1. Топологические пространства . . . . . . . . . . . . . 9
1.1. Основные понятия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2. Аксиомы отделимости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3. Базы топологии и окрестностей точки, аксиомы
счетности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.4. Cепарабельность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.5. Компактные множества . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.6. Направленности и поднаправленности . . . . . . . . . . . . . . . . 26
Глава 2. Локально выпуклые пространства . . . . . . . . 31
2.1. Линейные топологические пространства . . . . . . . . . . . . . . 31
2.2. Выпуклые и абсолютно выпуклые множества
в линейных топологических пространствах . . . . . . . . . . . . 37
2.3. Полунормы и функционал Минковского . . . . . . . . . . . . . . 43
2.4. Способы задания локально выпуклой топологии . . . . . . . . 47
2.5. Полные линейные топологические пространства . . . . . . . . 51
2.6. Компактные множества в линейных топологических
пространствах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.7. Конечномерные подпространства линейных
топологических пространств . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
Глава 3. Линейные операторы в локально
выпуклых п ространствах . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.1. Условия непрерывности линейных операторов в линейных
топологических пространствах и борнологические
пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.2. Линейные функционалы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.3. Теорема Хана – Банаха и ее следствия . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.4. Двойственность и слабая топология . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
3.5. Топологии, согласующиеся с двойственностью . . . . . . . . . 81
3.6. Поляры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
3
Д182
Башкирского государственного педагогического университета
(заведующий кафедрой доктор физико-математических наук,
Т. Ф. Филиппова, доктор физико-математических наук, профессор,
ведущий научный сотрудник отдела оптимального управления
Данилин, А. Р.
Д182 Функциональный анализ для магистрантов : [учеб. пособие]
/ А. Р. Данилин; М-во образования и науки Рос. Федерации, Урал. федерал. ун-т. — Екатеринбург : Изд-во Урал.
ун-та, 2013. — 188 с.
ISBN 978-5-7996-0961-0
В учебном пособии рассматриваются вопросы функционального анализа, не вошедшие в общий курс функционального анализа по программе
бакалавриата, в частности: аппарат направленностей, восстанавливающих
эквивалентности подходов Коши и Гейне в общей топологии, элементы
теории локально выпуклых пространств и двойственности, основы теории
операторов с индексами и др.
верситетов.
Для магистрантов математических специальностей классических уни-
ISBN 978-5-7996-0961-0
кафедра математики и статистики
профессор Р. Р. Гадыльшин);
Института математики и механики УрО РАН
c
Уральский федеральный университет, 2013
Рецензенты:
УДК 517.98(075.8)
c
Данилин А. Р., 2013
Оглавление
Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Глава 1. Топологические пространства . . . . . . . . . . . . . 9
1.1. Основные понятия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2. Аксиомы отделимости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3. Базы топологии и окрестностей точки, аксиомы
счетности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.4. Cепарабельность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.5. Компактные множества . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.6. Направленности и поднаправленности . . . . . . . . . . . . . . . . 26
Глава 2. Локально выпуклые пространства . . . . . . . . 31
2.1. Линейные топологические пространства . . . . . . . . . . . . . . 31
2.2. Выпуклые и абсолютно выпуклые множества
в линейных топологических пространствах . . . . . . . . . . . . 37
2.3. Полунормы и функционал Минковского . . . . . . . . . . . . . . 43
2.4. Способы задания локально выпуклой топологии . . . . . . . . 47
2.5. Полные линейные топологические пространства . . . . . . . . 51
2.6. Компактные множества в линейных топологических
пространствах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.7. Конечномерные подпространства линейных
топологических пространств . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
Глава 3. Линейные операторы в локально
выпуклых п ространствах . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.1. Условия непрерывности линейных операторов в линейных
топологических пространствах и борнологические
пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.2. Линейные функционалы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.3. Теорема Хана – Банаха и ее следствия . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.4. Двойственность и слабая топология . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
3.5. Топологии, согласующиеся с двойственностью . . . . . . . . . 81
3.6. Поляры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
3
3.7. Теорема Банаха — Алаоглу — Бурбаки . . . . . . . . . . . . . . . 87
Введение
Данное учебное пособие предназначено для магистрантов
математических факультетов, изучавших курс "Функциональ-
ный анализ и интегральные уравнения". В нем рассмотрены во-
просы, которые в основном курсе для студентов, обучающихся
по программе бакалавриата, либо не затрагивались совсем, ли-
бо рассматривались недостаточно полно. В частности, понятие
топологического пространства, локально выпуклого простран-
ства, теория двойственности локально выпуклых пространств,
тонкие вопросы теории нормированных пространств (напри-
мер, теория Эберлейна — Шмульяна, операторы с индексами,
теорема Люстерника о касательном пространстве).
Как правило, доказательства у тверждений, получающие-
ся непосредственным применением соответствующих опреде-
лений, не приводятся. Изложение материала в значительной
степени замкнуто.
Для более углубленного изучения материала можно пореко-
мендовать следующие учебники и монографии: по теории топо-
логических и векторных топологических пространств — [1–7],
по теории операторов с индексами — [8–10], по теории диф-
ференциального исчисления в нормированных пространствах
и его приложениях — [3, 11,12].
В пособии используются следующие обозначения и согла-
шения.
Запись A := B или B =: A означает, что A определяется
посредством B.
Для обозначения множеств натуральных, целых, рацио-
нальных, действительных и комплексных чисел используются
символы N, Z, Q, R и C.
Z+:= N ∪ {0}.
Символ P используется в качестве общего обозначения для
R и C.
5
3.8. Топологии M-сходимости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
3.9. Бочки в локально выпуклых пространствах . . . . . . . . . . . 93
3.10. Рефлексивные пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
3.11. Бочечные пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
Глава 4. Банаховы пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
4.1. Двойственность в нормированных пространствах
4.2. Сопряженные линей ные операторы . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
4.3. Базисы в банаховом пространстве и дуальные к ним
4.4. Компактные операторы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
4.5. Линейные операторы в гильбертовых пространствах . . . . 137
4.6. Понятие регуляризующего алгоритма . . . . . . . . . . . . . . . . 143
Глава 5. Операторы с индексом . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
5.1. Фактор-пространства нормированных п ространств . . . . . . 149
5.2. Свойства операторов с индексом . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
5.3. Свойства индекса фредгольмовых операторов . . . . . . . . . . 160
Глава 6. Дифференциальное исчисление
6.1. Дифференцируемость по Фреше и Гато . . . . . . . . . . . . . . . 165
6.2. Производные и дифференциалы высших порядков . . . . . . 171
6.3. Частные производные и функции, заданные неявно . . . . . 177
6.4. Условный локальный экстремум . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
и теорема Эберлейна — Шмульяна . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
системы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
в нормированных пространствах . . . . . . . . . . 165
Список библиографических ссылок 187
Введение
Данное учебное пособие предназначено для магистрантов
математических факультетов, изучавших курс "Функциональный анализ и интегральные уравнения". В нем рассмотрены вопросы, которые в основном курсе для студентов, обучающихся
по программе бакалавриата, либо не затрагивались совсем, либо рассматривались недостаточно полно. В частности, понятие
топологического пространства, локально выпуклого пространства, теория двойственности локально выпуклых пространств,
тонкие вопросы теории нормированных пространств (например, теория Эберлейна — Шмульяна, операторы с индексами,
теорема Люстерника о касательном пространстве).
Как правило, доказательства у тверждений, получающиеся непосредственным применением соответствующих определений, не приводятся. Изложение материала в значительной
степени замкнуто.
Для более углубленного изучения материала можно порекомендовать следующие учебники и монографии: по теории топологических и векторных топологических пространств — [1–7],
по теории операторов с индексами — [8–10], по теории дифференциального исчисления в нормированных пространствах
и его приложениях — [3, 11,12].
В пособии используются следующие обозначения и соглашения.
Запись A := B или B =: A означает, что A определяется
посредством B.
Для обозначения множеств натуральных, целых, рациональных, действительных и комплексных чисел используются
символы N, Z, Q, R и C.
Z+:= N ∪ {0}.
Символ P используется в качестве общего обозначения для
R и C.
5
B(X) — множество всех подмножеств множества X, или
Данное пособие является продолжением пособия автора для
бакалавров [13]. В связи с этим при необходимости сослаться
на теорему, не рассматриваемую в данном пособии, но доказан-
ную в пособии для бакалавров, дается ссылка на [13]. Кроме
этого, без дополнительных пояснений используются понятия и
обозначения, введенные в [13]. Ниже приводится список таких
обозначений:
hX, ρi — метрическое пространство с носителем X и метри-
кой ρ.
ρ(x, y) — расстояние между элементами x и y метрического
пространства.
xn−→ρx0— последовательность { xn} сходится к x0отно-
сительно метрики ρ.
ρT— тривиальная метрика.
hX, || · ||i — нормированное пространство с носителем X и
нормой || · ||.
||x|| — норма элемента x нормированного пространства.
(x, y) — скалярное произведение элементов евклидова про-
странства.
ck, l
k
p
(p > 1) — конечномерные нормированные простран-
ства.
c, c0, m, lp(p > 1) — нормированные пространства после-
довательностей.
M[a; b], C[a; b], C(X), Ck[a; b],eLp(a; b), Lp(a; b),fW
k
p
(a; b) и
W
k
p
(a; b) (p > 1) — нормированные пространства (классов)
функций.
B(a, r) или B(a, r; X) — открытый шар с центром в точке a
и радиуса r > 0 в метрическом пространстве X.
B[a, r] или B[a, r; X] — замкнутый шар с центром в точке a
и радиуса r > 0 в метрическом пространстве X.
τ(ρ) — множество всех открытых множеств в метрическом
пространстве hX, ρi.
ex — класс элементов, эквивалентных элементу x относи-
тельно заданного отношения эквивалентности ∼.
7
булеан.
Математическая структура hX, Ri, где X — множество, а
R — набор различных отображений и отношений, часто обозначается одним символом X .
Множество, на котором определена математическая структура, часто обозначается так же, как и структура, например, обозначение нормированного пространства C[a; b] часто
используется для обозначения множества непрерывных на отрезке [a; b] функций (на котором это нормированное пространство определено).
Запись A ⊂ B или B ⊃ A означает нестрогое включение,
т. е. равенство A = B не исключено.
f(x) — значение отображения (функции) f в точке x, а
f(·) — само отображение f (используется для подчеркивания
характера объекта, обозначенного символом f).
Если f : D(f) ⊂ X → Y , то I mf := f (D(f)).
Часто у семейства множеств или элементов множества не
указывается множество индексов, например, вместо {eα}
S
Fαпишется {eα} и
и
α∈A
δ
k,n
Если в утверждении, сформулированном с помощью предикатов, не указаны кванторы, то ко всем переменным подразумевается квантор всеобщности.
Все вводимые термины при первом упоминании выделяются курсивом.
Комментарии внутри цепочки формул даются либо внутри
квадратных скобок, либо над символами отношений.
Если в теореме сформулировано несколько утверждений, то
номер доказываемого утверждения заключается в рамку. Различные этапы доказательства конкретного утверждения нумеруются без заключения номера в рамку.
Символом
замечания (когда это необходимо).
– символ Кронекера.
S
α
Fαсоответственно.
α∈A
обозначается окончание доказательства или
6
Данное пособие является продолжением пособия автора для
бакалавров [13]. В связи с этим при необходимости сослаться
на теорему, не рассматриваемую в данном пособии, но доказанную в пособии для бакалавров, дается ссылка на [13]. Кроме
этого, без дополнительных пояснений используются понятия и
обозначения, введенные в [13]. Ниже приводится список таких
обозначений:
hX, ρi — метрическое пространство с носителем X и метри-
кой ρ.
ρ(x, y) — расстояние между элементами x и y метрического
пространства.
xn−→ρx0— последовательность { xn} сходится к x0отно-
сительно метрики ρ.
ρT— тривиальная метрика.
hX, || · ||i — нормированное пространство с носителем X и
нормой || · ||.
||x|| — норма элемента x нормированного пространства.
(x, y) — скалярное произведение элементов евклидова пространства.
k
ck, l
(p > 1) — конечномерные нормированные простран-
p
ства.
c, c0, m, lp(p > 1) — нормированные пространства после-
довательностей.
M[a; b], C[a; b], C(X), Ck[a; b],eLp(a; b), Lp(a; b),fW
k
W
(a; b) (p > 1) — нормированные пространства (классов)
p
k
(a; b) и
p
функций.
B(a, r) или B(a, r; X) — открытый шар с центром в точке a
и радиуса r > 0 в метрическом пространстве X.
B[a, r] или B[a, r; X] — замкнутый шар с центром в точке a
и радиуса r > 0 в метрическом пространстве X.
τ(ρ) — множество всех открытых множеств в метрическом
пространстве hX, ρi.
ex — класс элементов, эквивалентных элементу x относи-
тельно заданного отношения эквивалентности ∼.
7
h{eα}i — линейная оболочка системы векторов {eα} в ли-
Г л а в а 1
Топологические пространства
1.1. Основные понятия
Утверждение 1.1.1. В множестве C[a; b] нельзя ввести
метрику, порождающую поточечную сходимость [6, гл. 0, § 2,
с. 25, упр. 1*].
Доказательство. 1. Пусть метрическое пространство
hC, ρi таково, что
(xn(·) −→
[a;b]
0 поточечно) =⇒ xn(·) −→ρ0.
Покажем, что
∀t0∈ (a; b) ∀ ε > 0 ∃ h > 0 ∀x(·) ∈ C [a;b]
(∀t 6∈ [t0; t0+ h] x(t) = 0) =⇒ρ(x(·), 0) < ε.
(1.1.1)
Предположим противное, т. е.
∃t0∈ (a; b) ∃ε0> 0 ∀ h > 0 ∃ xh(·) ∈ C[a; b]
(∀t 6∈ [t0; t0+ h] xh(t) = 0) ∧ ρ(xh(·), 0) > ε0.
Так как xh(·) непрерывна на [a; b], то xh(t0) = 0. Пусть
h(n) = 1/n и xn(·) = x
h(n)
(·), тогда ∀ t ∈ [a; b] xn(t) →0, но
ρ(xn(·), 0) > ε0.
2. Пусть ρ как в пункте 1. Покажем, что существует
{xn(·) } ⊂ C[a; b]: ρ(xn(·), 0) →0 и xn(·) 6 →0 поточечно.
9
нейном пространстве. Вместо h{e1, . . . , en}i часто пишется просто he1, . . . , eni.
ω(δ; f, M ) — модуль непрерывности отображения f на мно-
жестве M.
I или IX— тождественное отображение множества X на
себя, т. е. Ix := x.
L(X, Y ) — нормированное пространство линейных непрерывных операторов, определенных на нормированном пространстве X со значениями в нормированном пространстве Y .
hx, x∗i — значение линейного функционала x∗на элементе
x, т. е. x∗(x).
x
−→x0— последовательность элементов {xn} нормиро-
n
ванного пространства слабо сходится к элементу x0.
*сл
∗
−→x
x
n
сл
∗
— последовательность элементов {x
0
∗
} нормиро-
n
ванного пространства линейных непрерывных функционалов
*слабо сходится к линейному непрерывному функционалу x
σ(A) — спектр линейного оператора A.
∗
0
В заключение автор выражает огромную благодарность
М. И. Гомоюнову, внимательно прочитавшему текст данного
учебного пособия и высказавшему много полезных замечаний
с точки зрения его реального пользователя.
.
Г л а в а 1
Топологические пространства
1.1. Основные понятия
Утверждение 1.1.1. В множестве C[a; b] нельзя ввести
метрику, порождающую поточечную сходимость [6, гл. 0, § 2,
с. 25, упр. 1*].
Доказательство. 1. Пусть метрическое пространство
hC, ρi таково, что
(xn(·) −→
Покажем, что
∀t0∈ (a; b) ∀ ε > 0 ∃ h > 0 ∀x(·) ∈ C [a;b]
(∀t 6∈ [t0; t0+ h] x(t) = 0) =⇒ρ(x(·), 0) < ε.
Предположим противное, т. е.
∃t0∈ (a; b) ∃ε0> 0 ∀ h > 0 ∃ xh(·) ∈ C[a; b]
(∀t 6∈ [t0; t0+ h] xh(t) = 0) ∧ ρ(xh(·), 0) > ε0.
Так как xh(·) непрерывна на [a; b], то xh(t0) = 0. Пусть
h(n) = 1/n и xn(·) = x
ρ(xn(·), 0) > ε0.
2. Пусть ρ как в пункте 1. Покажем, что существует
{xn(·) } ⊂ C[a; b]: ρ(xn(·), 0) →0 и xn(·) 6 →0 поточечно.
0 поточечно) =⇒ xn(·) −→ρ0.
[a;b]
(·), тогда ∀ t ∈ [a; b] xn(t) →0, но
h(n)
(1.1.1)
9
Положим t1:=(a + b)/2, ε1:= 1, а h1— удовлетворяющее
Пример 1.1.3. τa:={X, Ø} — антидискретная топология
на X.
Пример 1.1.4. X := R (любое более чем счетное множе-
ство), τc:={G ⊂ X : G = Ø ∨ X \ G — не более чем счетно}.
Пример 1.1.5. X := R (любое бесконечное множество),
τf:={G ⊂ X : G = Ø ∨ X \ G — конечно}.
Пример 1.1.6. Пусть hX, τ i — топологическое простран-
ство, а M ⊂ X и M 6= Ø. Тогда
τM:= τ ∩ M :={G ∩ M : G ∈ τ } —
топология на M .
Определение. Топологическое пространство hM, τMi
называется подпространством топологического простран-
ства X.
Замечания. 1. Отметим, что если M является τ-открытым
множеством, то все τM-открытые подмножества M будут и
τ-открытыми множествами.
2. Аналогично: если M является τ -замкнутым множеством,
то и все τM-замкнутые подмножества M будут τ -замкнутыми
множествами.
3. Если hX, ρi — метрическое пространство, а M ⊂ X и
M 6= Ø, то hM, ρi, рассматриваемое как топологическое про-
странство, является подпространством топологического про-
странства hX, τ (ρ)i.
Определения. Пусть hX, τ i — топологическое простран-
ство, а x0∈ X.
1. U(x0) — окрестность т о чки x0, если
∃ G ∈ τ G ⊂ U(x0) ∧ x0∈ G.
2. Окрестность точки, являющаяся открытым множеством,
называется открытой окрестностью точки.
11
(1.1.1) для заданных t1и ε1и такое, что
I1:=[t1; t1+ h1] ⊂ (a; b).
Потом возьмем t2:= t1+h1/2, ε2:= 1/2 и h2— удовлетворяющее
(1.1.1) для заданных t2и ε2и такое, что
I2:=[t2; t2+ h2] ⊂ (t1; t1+ h1).
Продолжая описанный индукционный процесс, построим
последовательность вложенных и стягивающихся отрезков
{In}. Рассмотрим {xn(·) } ⊂ C[a; b], определенную следующим
образом:
xn(t) :=
Тогда по построению {xn(·) } справедливо неравенство
ρ(xn(·), 0) < εn, и тем самым xn(·) −→ρ0. Но для t0∈
при любом n ∈ N справедливо равенство xn(t0) = 1.
Определение. B(X) ⊃ τ — топология на X 6= Ø, если:
1. X, Ø ∈ τ .
2. Gα∈ τ =⇒
3. G1, . . . , Gk∈ τ =⇒
S
α
Определение. Множества из τ называются открытыми
множествами, их дополнения — замкнутыми множествами, а
hX, τi — топологическим пространством.
Пример 1.1.1. Метрическое пространство является топологическим пространством с τ = τ(ρ).
0, t 6∈ I
1, t ∈ I
линейна на In\ I
n
n+1
n+1
.
Gα∈ τ .
k
T
Gi∈ τ .
i=1
∞
T
n=1
I
n
Пример 1.1.2. τd:= B(X) = τ (ρT) — дискретная тополо-
гия на X .
10
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]