Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Функциональный анализ для магистрантов. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

08.09.2026

Размер:

2 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 2014 15 16 17 18 19 20 > Следующая >>>

=⇒ . Поскольку σ(X) ⊂ s(X), то из (σ(X), s(Y ))-непре-

рывности следует и (s(X), s(Y ))-непрерывность. Далее, пусть

A ограничен на

U = U (ε; e

где X∗⊃ { e

∗

, . . . , e

∗

, . . . , e

) :={x ∈ X : max

∗

} линейно независимы. Тогда по теореме

j∈

1,n

3.2.1 найдутся {e1, . . . , en} ⊂ X такие, что hei, e

|hx, e

∗

i| 6 ε},

∗

i = δij, при

этом

X = he1, . . . , eni ⊕ X1и X1:=

j=1

Ker e

∗

Поскольку

A(U) =

λiei+ AX1: ∀ i ∈

i=1

1, n |λi| 6 εo,

то A(X1) ограничено. Поэтому A(X1) = {0}, и тем самым dim(Im A) 6 n.

⇐= . Пусть Im A = hg1, . . . , gni, где Y ⊃ {g1, . . . , gn} ли-

нейно независимы. Найдем {e1, . . . , en} ⊂ X такие, что

∀i ∈ 1, n Aei= gi.

Тогда {e1, . . . , en} линейно независимы и

X = he1, . . . , eni ⊕ Ker A,

а Ker A — подпространство. Определим e образом:

i=1

λiei+ ex, e

∗

:= λjдля любого ex ∈ Ker A.

∗

∈ X∗следующим

131

Тогда

Следствие. Пусть X – бесконечномерное нормированное

пространство, а Y – нормированное пространство. Если A из comp L(X, Y ) и Ker A = {0}, то A−1— неограниченный линейный оператор.

Теорема 4.4 . 3 (Шаудера, о компактности сопряжен-

ного оператора). Пусть X, Y – банаховы пространства и

A ∈ L(X, Y ). Тогда

(A ∈ comp L(X, Y )) ⇐⇒(A∗∈ comp L(Y∗, X∗)).

Доказательство.

=⇒ . Пусть {y

∗

} ⊂ B

∗

[0, 1] и

∗

= A∗y

∗

1. Рассмотрим ey

∗

– сужение y

∗

на Y0:=

A(BX[0, 1]) – ком-

пактное в Y множество. Покажем с помощью теоремы Арце- ла — Асколи (см., например: [13, теор. 1.8.2]), что { ey

∗

} пред-

компактно в C(Y0). Поскольку

∀y ∈ Y0|ey

∗

(y)| = |hy, y

∗

i| 6 ||y|| · ||y

∗

|| 6 ||A||,

то { ey

∗

} равномерно ограничено. Далее:

∀y1, y2∈ Y0|ey

∗

(y1) − ey

∗

(y2)| = |hy1− y2, y

∗

i| 6 ||y1− y2||.

Поэтому { ey

∗

} равностепенно непрерывно.

2. Пусть { ey

∗

} – сходящаяся в C(Y0) подпоследователь-

ность последовательности { ey

∗

}. Тогда

(ey

∗

, ey

∗

) = max

y∈Y

|ey

∗

(y) − ey

∗

(y)| = max

y∈Y

|hy, y

∗

−y

∗

i| >

> sup

y∈A(BX[0,1])

|hy, y

∗

− y

∗

i| = sup

||x||≤1

|hx, A∗(y

∗

− y

∗

)i| =

= ||A∗y

∗

− A∗y

∗

|| = ||x

∗

−x

∗

и, следовательно, {x

∗

} фундаментальна в полном метриче-

ском пространстве X∗.

133

Тем самым оператор A ограничен на U (1;e

Ker A =

j=1

Ker e

∗

, . . . , e

∗

Утверждение 4.4.4. Пусть X и Y — нормированные пространства и A ∈ L(X, Y ). Если dim(Im A) = n, то и dim(Im A∗) = n.

Доказательство. Как и при доказательстве предыдущего утверждения по базису {g1, . . . , gn} пространства Im A построим линейно независимые векторы {e1, . . . , en} и функционалы

∗

, . . . , e

∗

} ⊂ X∗такие, что

∀i, j ∈

1, n Aei= gi, hei, e

Тогда

∀x ∈ X Ax =

∀y∗∈ Y∗A∗y∗=

Теорема 4.4.2. Пусть X – нормированное про с тран-

∗

i = δijи Ker A =

i=1

hx, e

∗

iei=⇒

hei, y∗ie

i=1

j=1

∗

Ker e

ство, Y — банахово про с транство, {An} ⊂ comp L(X, Y ) и An→A0в н о рмированном пространстве L(X, Y ). Тогда A0∈ comp L(X, Y ), т. е. comp L(X, Y ) — подпространство нормированного пространства L(X, Y ) (см., например: [13, теор. 3.13.4]).

Утверждение 4.4.5. Пусть X, Y , Z, W – нормированные пространства, A ∈ comp L(X, Y ), B ∈ L(W,X) и C ∈ L(Y, Z). Тогда AB ∈ comp L(W, Y ) и C A ∈ comp L(X, Z).

132

Следствие. Пусть X – бесконечномерное нормированное

Теорема 4.4 . 3 (Шаудера, о компактности сопряжен-

ного оператора). Пусть X, Y – банаховы пространства и

A ∈ L(X, Y ). Тогда

(A ∈ comp L(X, Y )) ⇐⇒(A∗∈ comp L(Y∗, X∗)).

Доказательство.

∗

= A∗y

∗

1. Рассмотрим ey

=⇒ . Пусть {y

∗

– сужение y

∗

на Y0:=

∗

} ⊂ B

A(BX[0, 1]) – ком-

∗

[0, 1] и

пактное в Y множество. Покажем с помощью теоремы Арце-

∗

ла — Асколи (см., например: [13, теор. 1.8.2]), что { ey

} пред-

компактно в C(Y0). Поскольку

∀y ∈ Y0|ey

∗

то { ey

} равномерно ограничено. Далее:

∀y1, y2∈ Y0|ey

Поэтому { ey

2. Пусть { ey

∗

(y)| = |hy, y

∗

(y1) − ey

} равностепенно непрерывно.

∗

} – сходящаяся в C(Y0) подпоследователь-

ность последовательности { ey

∗

) = max

, ey

(ey

> sup

y∈A(BX[0,1])

y∈Y

|hy, y

= ||A∗y

и, следовательно, {x

∗

(y) − ey

|ey

∗

− y

∗

− A∗y

∗

} фундаментальна в полном метриче-

∗

i| 6 ||y|| · ||y

∗

(y2)| = |hy1− y2, y

∗

}. Тогда

∗

(y)| = max

∗

i| = sup

∗

|| = ||x

||x||≤1

y∈Y

|hx, A∗(y

∗

|| 6 ||A||,

∗

i| 6 ||y1− y2||.

∗

|hy, y

∗

− y

∗

−x

−y

∗

)i| =

i| >

ском пространстве X∗.

133

⇐= . Пусть A∗∈ comp L(Y∗, X∗). Тогда по предыдуще-

Следствие. Если X – бесконечномерное банахово про-

странство и A ∈ comp L(X), то σ(A) = σd(A) ∪ {0}.

Утверждение 4.4.6. Если X – банахово пространство,

A ∈ comp L(X) и λ 6= 0, то

(Ker (A − λI ) = {0}) ⇐⇒(Im (A − λI) = X).

Доказательство.

=⇒ . Если Ker (A − λI) = {0}, то

λ 6∈ σ(A), поэтому (A−λI)−1∈ L(X), и тем самым справедливо

равенство Im (A − λI) = X .

⇐= . Пусть Im (A − λI ) = X. Тогда

Ker (A∗− λI ) = Ker (A − λI)

∗

п.1 теор. 4.2.3

= (I m (A − λI ))⊥= X⊥= {0},

тем самым λ 6∈ σd(A∗). Но A∗∈ comp L(X∗), поэтому λ ∈ ρ(A∗). Тогда Im (A∗− λI ) = X∗и

{0} =⊥X∗=⊥(Im (A∗− λI )) = [пункт 2 теоремы 4.2.3] =

= K er (A − λI).

Следствие. Пусть A ∈ comp L(X), X – банахово про-

странство и λ 6= 0. Тогда для оператора A:= A − λI справед- лива альтернатива Фредгольма: либо уравнение Ax = y разре- шимо (и при этом единственным образом) при любом y ∈ X , либо соответствующее однородное уравнение Ax = 0 имеет решение, отличное от нуля.

Теорема 4.4 . 7 (первая теорема Фредгольма). Пусть

X — банахово пространство и A ∈ comp L(X). Следующие условия эквивалентны:

1. Im (I − A) = X.

2. Ker (I − A) = {0}.

3. Im (I − A∗) = X∗. 4. Ker (I − A∗) = {0}.

135

му пункту доказательства справедливо соотношение A∗∗∈ comp L(X∗∗, Y∗∗). Поэтому A∗∗([BX[0, 1]]) = [A(BX[0, 1])] предкомпактно в Y∗∗. Покажем, что если [Y1] предкомпактно в Y∗∗, то и Y1предкомпактно в Y .

Пусть {yn} ⊂ Y1. Тогда сущ ествует подпоследовательность

{[y

] }, сходящаяся в Y∗∗, а значит, и фундаментальная в Y∗∗.

Поэтому и {y Y . Но тогда { y предкомпактно в Y .

} фундаментальна в банаховом пространстве

} сходится в Y . Таким образом, A(BX[0, 1])

Теорема 4.4.4. Если X – банахово пространство и опера- тор A ∈ comp L(X), то

∀δ > 0

dim(Ker (A − λI )) < +∞

|λ|≥δ

(см., например: [13, теор. 3.13.6]).

Следствия. Пусть X – банахово пространство, а опера- тор A ∈ comp L(X). Справедливы следующие утверждения:

1. У компактного оператора A не более чем конечное число собственных значений λ, удовлетворяющих условию |λ| > δ > 0, и кратность каждого собственного значения ко- нечна.

2. У компактного оператора A не более чем счетное число собственных значений, и их можно занумеровать (с учетом их кратности) в невозрастающем порядке модулей.

Теорема 4.4.5. Если X – банахово пространство, опера-

тор A ∈ comp L(X) и λ 6= 0, то Im (A − λI) замкнуто, т. е. является подпространством банахова пространства X (см., например: [13, теор. 3.13.7]).

Теорема 4.4.6. Пусть X – банахово пространство,

A ∈ comp L(X), λ ∈ σ(A) и λ 6= 0. Тогда λ ∈ σd(A) (см., напри-

мер: [13, теор. 3.13.8]).

134

Следствие. Если X – бесконечномерное банахово про-

странство и A ∈ comp L(X), то σ(A) = σd(A) ∪ {0}.

Утверждение 4.4.6. Если X – банахово пространство,

A ∈ comp L(X) и λ 6= 0, то

(Ker (A − λI ) = {0}) ⇐⇒(Im (A − λI) = X).

Доказательство.

=⇒ . Если Ker (A − λI) = {0}, то

λ 6∈ σ(A), поэтому (A−λI)−1∈ L(X), и тем самым справедливо

равенство Im (A − λI) = X .

⇐= . Пусть Im (A − λI ) = X. Тогда

п.1 теор. 4.2.3

Ker (A∗− λI ) = Ker (A − λI)

∗

= (I m (A − λI ))⊥= X⊥= {0},

тем самым λ 6∈ σd(A∗). Но A∗∈ comp L(X∗), поэтому λ ∈ ρ(A∗). Тогда Im (A∗− λI ) = X∗и

{0} =⊥X∗=⊥(Im (A∗− λI )) = [пункт 2 теоремы 4.2.3] =

= K er (A − λI).

Следствие. Пусть A ∈ comp L(X), X – банахово про-

странство и λ 6= 0. Тогда для оператора A:= A − λI справедлива альтернатива Фредгольма: либо уравнение Ax = y разрешимо (и при этом единственным образом) при любом y ∈ X , либо соответствующее однородное уравнение Ax = 0 имеет решение, отличное от нуля.

Теорема 4.4 . 7 (первая теорема Фредгольма). Пусть

X — банахово пространство и A ∈ comp L(X). Следующие условия эквивалентны:

1. Im (I − A) = X.

2. Ker (I − A) = {0}.

3. Im (I − A∗) = X∗. 4. Ker (I − A∗) = {0}.

135

Действительно, это следует из теоремы 4.2.3 и утвержде-

т. е. x0= 0. Итак,

Ker (I −bA) = {0}. (4.4.3)

3. Поскольку

(I −bA)∗= ((I − A) −eA)∗= (I − A∗) −eA∗, то

∀x ∈ X hx, (I −bA)∗e

∗

i = hx, (I − A∗)e

∗

−eA∗e

∗

i =

= −hx,eA∗e

∗

i = −heAx, e

∗

i = −

k=1

hx, ee

∗

i · heek, e

∗

m>n

= 0.

Поэтому (I −bA)∗e

∗

= 0, т. е. e

∗

∈ Ker (I −bA∗), что в силу

первой теоремы Фредгольма противоречит (4.4.3).

4. Таким образом, dim(Ker (I − A)) > dim(Ker (I − A∗)),

поэтому и dim(Ker (I − A∗)) > dim(Ker (I −A∗∗)).

Но dim(Ker (I − A∗∗)) > dim(Ker (I − A)) в силу пункта 3

утверждения 4.2.1, тем самым

dim(Ker (I − A)) = dim(Ker (I − A∗)).

Теорема 4.4 . 9 (третья теорема Фредгольма). Пусть

X — банахово пространство и A ∈ comp L(X). Тогда

Im (I − A) =⊥(Ker (I − A∗)) и Im (I −A∗) = (Ker (I − A))⊥.

Действительно, это следует из теорем 4.2.3 и 4.4.5.

4.5. Линейные операторы в гильбертовых пространствах

В этом разделе все пространства гильбертовы, а если опе- ратор A ∈ L(H1, H2), то A∗— эрмитово сопряженный к A оператор, определяемый следующим соотношением:

∀x ∈ H1∀y ∈ H2(Ax, y)

= (x, A∗y)

137

ния 4.4.6.

Теорема 4.4.8 (вторая теорема Фредгольма). Пусть

X — банахово пространство и A ∈ comp L(X). Тогда

dim(Ker (I − A)) = dim(Ker (I − A∗)).

Доказательство. Конечномерность подпространств

Ker (I − A) и Ker (I − A∗) уже доказана (см. теорему 4.4.4).

1. Пусть {e1, . . . , en} — нормированный базис подпро-

странства Ker (I − A), {e

Ker (I − A∗), а {ee {e1, . . . , en} и {e

∗

i = δklи heek, e

hek, ee

Предположим, что n < m. Рассмотрим операторы

∗

, . . . , ee

∗

, . . . , e

∗

i = δkl.

∗

, . . . , e

∗

} и {ee1, . . . , eem} — дуальные к

∗

} системы соответственно, т. е.

Ax :=

k=1

∗

hx, ee

ieekиbA := A +eA.

∗

} — нормированный базис

Оба оператора компактны, так какeA конечномерный, аbA — сумма компактных операторов.

2. Пусть x0∈ Ker (I −bA). Тогда (I −A)x0=eAx0. Поскольку

для j ∈

1, n

h(I −A)x0, e

∗

i = hx0, (I − A∗)e

∗

i = hx0, 0i = 0 и

h(I −A)x0, e

то

∗

i = heAx0, e

∀j ∈

ПоэтомуeAx0= 0. Таким образом, x0∈ Ker (I −A), и его можно

представить в виде x0=

k=1

λk= hx0, ee

∗

i =

k=1

1, n hx0, ee

λkek. Тогда

∗

hx0, ee

(4.4.2)

i · heek, e

∗

i = 0. (4.4.2)

= 0,

∗

i = hx0, ee

∗

136

т. е. x0= 0. Итак,

3. Поскольку

(I −bA)∗= ((I − A) −eA)∗= (I − A∗) −eA∗, то

Ker (I −bA) = {0}. (4.4.3)

∀x ∈ X hx, (I −bA)∗e

= −hx,eA∗e

∗

i = −heAx, e

Поэтому (I −bA)∗e

∗

= 0, т. е. e

∗

i = hx, (I − A∗)e

∗

i = −

k=1

∗

∈ Ker (I −bA∗), что в силу

hx, ee

∗

−eA∗e

∗

i · heek, e

∗

i =

m>n

∗

= 0.

первой теоремы Фредгольма противоречит (4.4.3).

4. Таким образом, dim(Ker (I − A)) > dim(Ker (I − A∗)),

поэтому и dim(Ker (I − A∗)) > dim(Ker (I −A∗∗)).

Но dim(Ker (I − A∗∗)) > dim(Ker (I − A)) в силу пункта 3

утверждения 4.2.1, тем самым

dim(Ker (I − A)) = dim(Ker (I − A∗)).

Теорема 4.4 . 9 (третья теорема Фредгольма). Пусть

X — банахово пространство и A ∈ comp L(X). Тогда

Im (I − A) =⊥(Ker (I − A∗)) и Im (I −A∗) = (Ker (I − A))⊥.

Действительно, это следует из теорем 4.2.3 и 4.4.5.

4.5. Линейные операторы в гильбертовых пространствах

В этом разделе все пространства гильбертовы, а если оператор A ∈ L(H1, H2), то A∗— эрмитово сопряженный к A оператор, определяемый следующим соотношением:

∀x ∈ H1∀y ∈ H2(Ax, y)

= (x, A∗y)

137

Утверждение 4.5.1. Пусть H1, H2— гильбертовы про-

||(A − λI)x||2= ((A − λI)x, (A − λI)x) =

= ||(A −αI)x||2+ ||iβx||2−((A−αI)x, iβx) −(iβx, (A −αI)x) =

= ||(A − αI)x||2+ ||iβx||2> β2||x||2.

Итак,

∀x ∈ H ||(A − λI)x|| > |β| · ||x||,

поэтому в силу утверждения 4.2.5 Im (A − λI) замкнуто.

3. Поскольку λ 6∈ R, то

H = Ker (A −

λI) ⊕ Im (A∗− λI )∗= Im (A − λI),

т. е. Im (A − λI ) = H. Таким образом, (A − λI) — непре- рывная линейная биекция H на H. Поэтому по теореме Ба- наха об обратном отображении (A − λI)

−1

∈ L(H), т. е.

λ ∈ ρ(A).

Следствие. Пусть A ∈ L(H), A∗= A, Ae1= λ1e1, Ae2=

= λ2e2и λ16= λ2. Тогда e1⊥ e2.

Утверждение 4.5.3. Пусть H — гильбертово простран-

ство над полем C. Если A ∈ L(H ) и ∀x ∈ H (Ax, x) ∈ R, то A∗= A.

Доказательство. Рассмотрим выражение



A(x + y), x + y= (Ax, x) + (Ax, y) +

(x, Ay) + (Ay, y) ∈ R.

Это означает, что

Im(Ax, y) +

(x, Ay)= Im (Ax, y) − Im (x, Ay) = 0.

Аналогично



A(x + iy), x + iy= (Ax, x) − i(Ax, y) + i

(x, Ay) +

+ (Aiy, iy) ∈ R =⇒

139

странства и A ∈ L(H1, H2). Справедливы следующие утверждения:

1. Существует A∗∈ L(H2, H1) и kA∗k = kAk.

2. (λA)∗=

3. (Im A)⊥= Ker A∗, (Ker A)⊥=

λA∗, A∗∗= A.

Im A∗.

4. Если I mA — подпространство, то (Ker A)⊥= Im A∗.

Утверждение 4.5.2. Пусть H — гильбертово простран-

ство и A ∈ L(H). Тогда

H = Ker A ⊕

Im A∗= Ker A∗⊕ I mA.

Определение. Пусть H — гильбертово пространство. Оператор A ∈ L(H) называется самосопряженным, если

A∗= A, т. е.

∀x, y ∈ H (Ax, y) = (x, Ay).

Теорема 4.5.1. Пусть H — гильбертово пространство

над полем C. Если A ∈ L(H) и A∗= A, то

Доказательство. Первое утверждение очевидно. Дока-

жем второе. Пусть λ = α + iβ и β 6= 0.

∀x ∈ H (Ax, x) ∈ R и σ(A) ⊂ R.

1. Покажем, что Ker (A − λI) = {0}. Если (A − λI)x0= 0, то Ax0= λx0. Тогда

λ||x0||2= (λx0, x0) = (Ax0, x0) =

= (x0, Ax0) = (x0, λx0) =

λ||x0||2.

Поэтому x0= 0.

2. Покажем, что I m (A − λI) замкнуто. Для любого x ∈ H

справедливо соотношение

138

||(A − λI)x||2= ((A − λI)x, (A − λI)x) =

= ||(A −αI)x||2+ ||iβx||2−((A−αI)x, iβx) −(iβx, (A −αI)x) =

= ||(A − αI)x||2+ ||iβx||2> β2||x||2.

Итак,

∀x ∈ H ||(A − λI)x|| > |β| · ||x||,

поэтому в силу утверждения 4.2.5 Im (A − λI) замкнуто.

3. Поскольку λ 6∈ R, то

H = Ker (A −

т. е. Im (A − λI ) = H. Таким образом, (A − λI) — непрерывная линейная биекция H на H. Поэтому по теореме Банаха об обратном отображении (A − λI)−1∈ L(H), т. е. λ ∈ ρ(A).

Следствие. Пусть A ∈ L(H), A∗= A, Ae1= λ1e1, Ae2= = λ2e2и λ16= λ2. Тогда e1⊥ e2.

Утверждение 4.5.3. Пусть H — гильбертово простран- ство над полем C. Если A ∈ L(H ) и ∀x ∈ H (Ax, x) ∈ R, то A∗= A.

Доказательство. Рассмотрим выражение



A(x + y), x + y= (Ax, x) + (Ax, y) +

Это означает, что

Im(Ax, y) +

Аналогично



A(x + iy), x + iy= (Ax, x) − i(Ax, y) + i

λI) ⊕ Im (A∗− λI )∗= Im (A − λI),

(x, Ay) + (Ay, y) ∈ R.

(x, Ay)= Im (Ax, y) − Im (x, Ay) = 0.

(x, Ay) +

+ (Aiy, iy) ∈ R =⇒

139

Im−i(Ax, y) + i(x, Ay)= Re (Ax, y) − Re (x, Ay) = 0.

Утверждение 4.5.5. Пусть H — гильбертово простран-

ство, A ∈ L(H) и A∗= A. Тогда



∃A−1∈ L(H)⇐⇒



A строго отделен от нуля (см. (4.2.1).

Доказательство.

⇐= . Ker A = {0} и по утверждению

4.2.5 I m A — подпространство. Поэтому в силу утверждения

4.5.1 Im A = (Ker A∗)⊥= (Ker A)⊥= H, и тем самым по теореме Банаха об обратном отображении (см., например: [13, теор. 3.11.2]) A−1∈ L(H).

Определение. Пусть H — гильбертово пространство над

полем C. Оператор A ∈ L(H) называется неотрицательным, что обозначается A > 0, если

∀x ∈ H (Ax, x) > 0.

Замечание. Отметим, что в силу утверждения 4.5.3 неот-

рицательный линейный оператор в гильбертовом пространстве над полем C самосопряжен.

Определение. Пусть H — гильбертово пространство над

полем R. Оператор A ∈ L(H ) называется неотрицательным, что обозначается A > 0, если A = A∗и

∀x ∈ H (Ax, x) > 0.

Теорема 4.5 . 3 . Пусть H — гильбертово пространство,

A ∈ L(H), A = A∗и

α(A) := inf

||x||=1

(Ax, x), β(A) := sup

||x||=1

(Ax, x).

Тогда

{α(A), β(A)} ⊂ σ(A) ⊂ [α(A), β(A)] и

||A|| = max{|α(A)|, |β(A)|}.

141

Теорема 4.5.2 (о норме самосопряженного операто-

ра в гильбертовом пространстве). Пусть H — гильберто-

во пространство. Если A ∈ L(H) и A∗= A, то

||A|| = sup

|(Ax, x)|.

||x||=1

Доказательство. 1. В силу неравенства Коши — Буняков-

ского и определения нормы линейного оператора

α := sup

2. Пусть x 6= 0, тогда |(Ax, x)| 6 α||x||2.

|(Ax, x)| 6 sup

||x||=1

(||Ax|| · ||x||) 6 ||A||.

||x||=1

3. В силу равенства



A(x + y), x + y−A(x − y), x − y= 4Re (Ax, y)

из пункта 2 получим

4|Re (Ax, y)| 6 α||x + y||2+ α||x − y||2= 2α||x||2+ ||y||

Взяв ||x|| = 1: Ax 6= 0 и y = Ax/||Ax||, из этого неравенства получим

4ReAx, Ax/||Ax||= 4||Ax|| 6 4α =⇒||Ax|| 6 α =⇒||A|| 6 α



Следствие. Пусть H — гильбертово пространство. Если

A, B ∈ L(H), A∗= A, B∗= B и

∀x ∈ H (Ax, x) = (Bx, x),

то A = B.

странства и A ∈ L(H1, H2). Тогда ||A||2= ||A∗A||.

Утверждение 4.5.4. Пусть H1, H2— гильбертовы про-

140

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 2014 15 16 17 18 19 20 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]