Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Функциональный анализ для магистрантов. Учебное пособие
.pdf
Действительно, это следует из теоремы 6.3.1, применен-
ной к F (x, y) := x − f (y).
Теорема 6.3 . 3 (о дифференцируемости отображе-
ния, заданного неявно). Если дополнительно к условиям
теоремы 6.3.1 отображение F дифференцируемо по x в некоторой окрестности точки (x0, y0) и F дифференцируемо в
точке (x0, y0), то отображение f , заданное неявно уравнением F (x, y) = 0, дифференцируемо в точке x0и
f0(x0) = −(F
0
(x0, y0))−1F
y
0
(x0, y0).
x
Доказательство. Введем следующие обозначения:
P := −(F
0
(x0, y0))−1F
y
0
(x0, y0), 4y := f (x0+ 4x) − f (x0).
x
Тогда при всех малых 4x
0 ≡ F (x0+ 4x, y0+ 4y) − F (x0, y0) =
0
= F
(x0, y0)4x + F
x
0
(x0, y0)4y + (||4x|| + ||4y||) · α(4x, 4y),
y
где
lim
(4x,4y)→0
α(4x, 4y) = 0.
Отсюда
4y = P 4x + (||4x|| + ||4y||)β(4x, 4y), (6.3.6)
где
β(4x, 4y) := −(F
Из (6.3.6) получим
||4y|| 6 ||4x||(||P || + ||β||) + ||4y|| · ||β||.
Отсюда
||4y|| 6
||P ||+ ||β(4x, 4y)||
1 − ||β(4x, 4y)||
при некотором K, поскольку
0
(x0, y0))−1α(4x, 4y).
y
||4x|| 6 K · ||4x||
181
||P ||+ ||β(4x, 4y)||
Теорема 6.4 . 1 (Люстерника, о решениях уравнения
Φ(x) = 0). Пусть X, Y — банаховы пространства, а отобра-
жение Φ : D(Φ) ⊂ X →Y таково, что Φ(x0) = 0, Φ непре-
рывно в окрестности точки x0, Φ строго дифференцируемо в
точке x0и Im Φ0(x0) = Y . Тогда
∃δ > 0 ∃K > 0 ∃ η : B(x0, δ) → X ∀ x ∈ B(x0, δ)
Φ(x + η(x)) ≡ 0 и ||η(x)|| 6 K||Φ(x)||.
Доказательство. Не ограничивая общности, будем счи-
тать, что x0= 0.
1. Пусть A := Φ0(0). Тогда отображение
e
A : X/Ker A → Y,
гдеeA(ex) := Ax, по утверждению 5.1.4 есть непрерывная биек-
ция X/Ker A на Y и по теореме Банаха об обратном операторе
существуетeA−1∈ L(Y, X/Ker A). Рассмотрим отображение
R := πR◦eA−1: Y → X.
Это отображение удовлетворяет равенству
A ◦ R = IY.
В силу пункта 6 утверждения 5.1.3
∀y ∈ Y ||R(y)|| 6 2||eA−1|| · ||y|| = : C||y||. (6.4.1)
2. В силу непрерывности отображения Φ в окрестности точ-
ки x = 0 и его строгой дифференцируемости в точке x = 0
существует ε > 0 такое, что Φ непрерывно в B(0, ε) и
∀x, x0∈ B(0, ε)
||Φ(x) − Φ(x0) − A(x − x0)|| 6
1
2C
||x − x0||.
(6.4.2)
183
1 − ||β(4x, 4y)||
1
||f(x0+ 4x) − f (x0) − P 4x|| 6 (1 + K)||β||→0
||4x||
→||P || при (4x, 4y) →0.
при 4x →0, т. е. f дифференцируемо в точке x0и f0(x0) = P .
6.4. Условный локальный экстремум
Здесь мы рассмотрим задачу о нахождении точек локального экстремума вещественного фу нкционала ϕ при условии
Φ(x) = 0 и получим необходимые условия локального экстремума.
Утверждение 6.4.1. Пусть X, Y — банаховы простран-
ства над полем R, ϕ : D(ϕ) ⊂ X →R, Φ : D(Φ) ⊂ X →Y ,
ϕ и Φ дифференцируемы в точке x0и x0— точка условного
локального экстремума ϕ(x) при Φ(x) = 0. Тогда для любого ото б ражения α : (−δ; δ) → X, дифференцируемого в точке
t = 0 и такого, что
справедливо равенство
При этом
точка t = 0 есть точка локального эктремума и по теореме
Ферма
А в силу тождества Φ(α(t)) ≡ 0 получим Φ0(x0)(α0(0)) = 0.
182
Доказательство. В этом случае у функции f (t) := ϕ(α(t))
α(0) = x0и Φα(t)≡ 0 на (−δ; δ),
hα0(0), ϕ0(x0)i = 0.
α0(0) ∈ Ker Φ0(x0).
0 = f0(0) = ϕ0(x0)(α0(0)) = hα0(0), ϕ0(x0)i.
Теорема 6.4 . 1 (Люстерника, о решениях уравнения
Φ(x) = 0). Пусть X, Y — банаховы пространства, а отобра-
жение Φ : D(Φ) ⊂ X →Y таково, что Φ(x0) = 0, Φ непрерывно в окрестности точки x0, Φ строго дифференцируемо в
точке x0и Im Φ0(x0) = Y . Тогда
∃δ > 0 ∃K > 0 ∃ η : B(x0, δ) → X ∀ x ∈ B(x0, δ)
Φ(x + η(x)) ≡ 0 и ||η(x)|| 6 K||Φ(x)||.
Доказательство. Не ограничивая общности, будем счи-
тать, что x0= 0.
1. Пусть A := Φ0(0). Тогда отображение
e
A : X/Ker A → Y,
гдеeA(ex) := Ax, по утверждению 5.1.4 есть непрерывная биек-
ция X/Ker A на Y и по теореме Банаха об обратном операторе
существуетeA−1∈ L(Y, X/Ker A). Рассмотрим отображение
R := πR◦eA−1: Y → X.
Это отображение удовлетворяет равенству
A ◦ R = IY.
В силу пункта 6 утверждения 5.1.3
∀y ∈ Y ||R(y)|| 6 2||eA−1|| · ||y|| = : C||y||. (6.4.1)
2. В силу непрерывности отображения Φ в окрестности точки x = 0 и его строгой дифференцируемости в точке x = 0
существует ε > 0 такое, что Φ непрерывно в B(0, ε) и
∀x, x0∈ B(0, ε)
(6.4.2)
183
||Φ(x) − Φ(x0) − A(x − x0)|| 6
1
||x − x0||.
2C
3. В силу непрерывности Φ в точке x = 0 существует δ > 0
Переходя в нем к пределу, получим
||η(x)|| 6 2||ξ1− x||
(6.4.4),(6.4.1)
6 2C||Φ(x)||.
Поскольку
||η(x) + x|| 6 ||x||+ ||η(x)|| 6 ||x||+ 2C||Φ(x)||
(6.4.3)
< ε,
то Φ непрерывна в точке η(x) + x. Тогда, переходя в (6.4.5) к
пределу, получим Φη(x) + x= 0.
Теорема 6.4 . 2 (о касательном пространстве). Пусть
Φ : D(Φ) ⊂ X → Y , где X , Y — банаховы пространства,
Φ(x0) = 0, Φ непрерывно в окрестности точки x0, строго диф-
ференцируемо в точке x0и Im Φ0(x0) = Y . Тогда
∀
x ∈ Ker Φ0(x0) ∃α : (−δ; δ) → X
α(0) = x0, α0(0) =
x и Φ(α(t)) ≡ 0 на (−δ; δ).
Доказательство. Рассмотрим отображение η(x) из теоре-
мы 6.4.1. Определим отображение α по формуле
α(t) := x0+ tx + η(x0+ tx).
Тогда при достаточно малых t справедливо тождество
Φx0+ t
x + η(x0+ tx)≡ 0.
Но
||η(x0+ t
x)|| 6 K||Φ(x0+ tx)|| = K||Φ(x0+ tx) − Φ(x0)|| =
= K
Φ0(x0)t
x + ||tx|| · β(tx; x0)
= K|t| · ||x||·||β(tx; x0)|| = o(t)
при t → 0. Таким образом, η(x0+ tx) дифференцируемо при
t = 0 и
d
dt
η(x0+ t
x)
t=0
= 0,
поэтому α(0) = x0и α0(0) =
x.
185
такое, что
∀x ∈ B(0, δ) ||x|| + 2C||Φ(x)|| < ε. (6.4.3)
4. Возьмем произвольное x ∈ B(0, δ) и рассмотрим итера-
ционный процесс:
ξ0:= x, ξ
Отметим, что в силу равенства A ◦ R = I
∀n ∈ Z+A(ξ
5. ||ξ
− ξn||
n+1
(6.4.4)
= ||RΦ(ξn)||
= C||Φ(ξn) − Φ(ξ
Итак,
∀n ∈ Z+||ξ
) − A(ξn− ξ
n−1
6 .. . 6
6. В силу (6.4.6) имеем
:= ξn− RΦ(ξn). (6.4.4)
n+1
Y
− ξn) + Φ(ξn) = 0. (6.4.5)
n+1
(6.4.1)
6 C ||Φ(ξn)||
(6.4.2)
1
6
||ξn− ξ
2
)||
n+1
n−1
1
||ξ1− ξ0||.
n
2
− ξn|| 6
1
||ξ1− ξ0||. (6.4.6)
n
2
n−1
(6.4.5)
=
|| 6
||ξ
− ξn|| 6 ||ξ
n+p
6
при n →∞, т. е. {ξn} фундаментальна =⇒ {ξn} сходится.
7. Определим η(x) формулой
m=n
Используя неравенство из предыдущего пункта, получим
||ξn− x|| = ||ξn− ξ0|| 6 2||ξ1− x||.
∞
X
n+p
− ξ
||ξ1− ξ0||
m
2
n+p−1
|| + . . . + ||ξ
n+1
||ξ1− ξ0||
=
2
n−1
→0
− ξn||
ξn− x.
η(x) := lim
n→∞
(6.4.6)
6
184
Переходя в нем к пределу, получим
(6.4.4),(6.4.1)
||η(x)|| 6 2||ξ1− x||
Поскольку
6 2C||Φ(x)||.
||η(x) + x|| 6 ||x||+ ||η(x)|| 6 ||x||+ 2C||Φ(x)||
(6.4.3)
< ε,
то Φ непрерывна в точке η(x) + x. Тогда, переходя в (6.4.5) к
пределу, получим Φη(x) + x= 0.
Теорема 6.4 . 2 (о касательном пространстве). Пусть
Φ : D(Φ) ⊂ X → Y , где X , Y — банаховы пространства,
Φ(x0) = 0, Φ непрерывно в окрестности точки x0, строго диф-
ференцируемо в точке x0и Im Φ0(x0) = Y . Тогда
x ∈ Ker Φ0(x0) ∃α : (−δ; δ) → X
∀
α(0) = x0, α0(0) =
x и Φ(α(t)) ≡ 0 на (−δ; δ).
Доказательство. Рассмотрим отображение η(x) из теоре-
мы 6.4.1. Определим отображение α по формуле
α(t) := x0+ tx + η(x0+ tx).
Тогда при достаточно малых t справедливо тождество
Φx0+ t
x + η(x0+ tx)≡ 0.
Но
||η(x0+ t
= K
x)|| 6 K||Φ(x0+ tx)|| = K||Φ(x0+ tx) − Φ(x0)|| =
Φ0(x0)t
x + ||tx|| · β(tx; x0)
= K|t| · ||x||·||β(tx; x0)|| = o(t)
при t → 0. Таким образом, η(x0+ tx) дифференцируемо при
t = 0 и
d
η(x0+ t
dt
поэтому α(0) = x0и α0(0) =
x.
x)
t=0
= 0,
185
Теорема 6.4.3. Пусть X, Y — банаховы пространства
Список библиографических ссылок
1. Иосида К. Функциональный анализ. М. : Мир, 1967.
2. Канторович Л. В., Акилов Г. П. Функциональный анализ.
М. : Наука, 1977.
3. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций
и функционального анализа. М. : Наука, 1989.
4. Робертсон А., Робертсон В. Топологические векторные
пространства. М. : Мир, 1967.
5. Рудин У. Функциональный анализ. М. : Мир, 1975.
6. Хелемский А. Я. Лекции по функциональному анализу.
М. : МНЦМО, 2004.
7. Шефер Х. Топологические векторные пространства. М. :
Мир, 1971.
8. Кириллов А. А., Гвишиани А. Д. Теоремы и задачи функ-
ционального анализа. М. : Наука, 1979.
9. Ремпель Ш., Шульц Б.-В. Теория индекса эллиптических
краевых задач. М. : Мир, 1986.
10. Хёрмандер Л. Анализ линейных дифференциальных опе-
раторов с частными производными : в 4 т. М. : Мир, 1987.
Т. 3.
11. Люстерник Л. А., Соболев В. И. Элементы функциональ-
ного анализа. М. : Наука, 1965.
12. Галеев Э. М., Тихомиров В. М. Краткий курс теории экс-
тремальных задач. М. : Изд-во Моск. ун-та, 1989.
187
над полем R, ϕ : D(ϕ) ⊂ X →R, Φ : D(Φ) ⊂ X →Y , ϕ и Φ
дифференцируемы в B(x0, δ0) ⊂ D(ϕ) ∩ D(Φ), Φ непрерывно
дифференцируемо в точке x0, Φ(x0) = 0, Im Φ0(x0) = Y и x0—
точка условного локального экстремума ϕ(x) при Φ(x) = 0.
Тогда ϕ0(x0) ∈ (Ker Φ0(x0))⊥.
Доказательство этой теоремы следует из утверждения
6.4.1 и теоремы 6.4.2.
Теорема 6.4.4 (метод множителей Лагранжа).
Пусть выполнены все условия предыдущей теоремы. Тогда
∗
найдется y
что функционал Лагранжа
∈ Y∗(аналог множителей Лагранжа) такой,
0
удовлетворяет в точке (x0, y
Доказательство. Поскольку L
0
L
(x0, y
x
то сформулированное в теореме заключительное условие эквивалентно следующему:
L(x, y∗) := ϕ(x) − hΦ(x), y∗i
∗
) следующим равенствам:
0
L
x
(x0, y
∗
0
∗
) = ϕ0(x0) − y
0
0
) = 0, L
0
∗
y
∗
Φ0(x0) = ϕ0(x0) − (Φ0(x0))∗y
0
(x0, y
0
(x0, y
∗
y
∗
) = 0.
0
∗
) = [Φ(x0)] = 0 и
0
∗
∃y
∈ Y∗ϕ0(x0) = (Φ0(x0))∗y
0
∗
,
0
∗
,
0
т. е. ϕ0(x0) ∈ Im (Φ0(x0))∗.
Но по предыдущей теореме
ϕ0(x0) ∈ (Ker Φ0(x0))⊥= [по пункту 6 теоремы 4.2.3] =
= I m (Φ0(x0))∗.
Список библиографических ссылок
1. Иосида К. Функциональный анализ. М. : Мир, 1967.
2. Канторович Л. В., Акилов Г. П. Функциональный анализ.
М. : Наука, 1977.
3. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций
и функционального анализа. М. : Наука, 1989.
4. Робертсон А., Робертсон В. Топологические векторные
пространства. М. : Мир, 1967.
5. Рудин У. Функциональный анализ. М. : Мир, 1975.
6. Хелемский А. Я. Лекции по функциональному анализу.
М. : МНЦМО, 2004.
7. Шефер Х. Топологические векторные пространства. М. :
Мир, 1971.
8. Кириллов А. А., Гвишиани А. Д. Теоремы и задачи функционального анализа. М. : Наука, 1979.
9. Ремпель Ш., Шульц Б.-В. Теория индекса эллиптических
краевых задач. М. : Мир, 1986.
10. Хёрмандер Л. Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными : в 4 т. М. : Мир, 1987.
Т. 3.
11. Люстерник Л. А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа. М. : Наука, 1965.
12. Галеев Э. М., Тихомиров В. М. Краткий курс теории экс-
тремальных задач. М. : Изд-во Моск. ун-та, 1989.
187
13. Данилин А. Р. Функциональный анализ : учеб. пособие.
Учебное издание
Данилин Алексей Руфимович
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ
для магистрантов
Учебное пособие
Заведующий редакцией М. А. Овечкина
Редактор В. И. Первухина
Корректор В. И. Первухина
Оригинал-макет А. Р. Данилин
Екатеринбург : Изд-во Урал. ун-та, 2012.
14. James R. C. A non-reflexive Banach spaces isometric with its
second conjugate spaces // Proc. Nat. Acad. Sci. (USA). 1951.
Vol. 37. P. 174—177.
15. Тихонов А. Н., Арсенин В. Я. Методы решений некорректных задач. М. : Наука, 1974.
16. Лаврентьев М. М., Романов В. Г., Шишатский С. П.
Некорректные задачи математической физики и анализа.
М. : Наука, 1980.
17. Иванов В. К., Васин В. В., Танана В. П. Теория линейных
некорректных задач и ее приложения. М. : Наука, 1978.
18. Математическая энциклопедия : в 5 т. М. : Сов. энцикл.,
1977—1985.
19. Треногин В. А. Функциональный анализ. М. : Наука, 1993.
Учебное издание
Данилин Алексей Руфимович
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ
для магистрантов
Учебное пособие
Заведующий редакцией М. А. Овечкина
Редактор В. И. Первухина
Корректор В. И. Первухина
Оригинал-макет А. Р. Данилин
Для заметок
План выпуска 2013 г. Подписано в печать 08.10.2013
Формат 60х841/16. Бумага офсетная. Гарнитура Timеs.
Уч.-изд. л. 8,5. Усл. печ. л. 11,16. Тираж 100 экз. Заказ 2183
Издательство Уральского университета
620000, г. Екатеринбург, ул. Тургенева, 4.
Отпечатано в Издательско-полиграфическом центре УрФУ
620000, Екатеринбург, ул. Тургенева, 4.
Тел.: + (343) 350-56-64, 350-90-13
Факс: +7 (343) 358-93-06
E-mail: press-urfu@mail.ru
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]