Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Функциональный анализ для магистрантов. Учебное пособие
.pdf
∀G ∈ s(Z) C−1(G) = A(B−1(G)) и B−1(G) ∈ s(X)
в силу непрерывности B, а A(B−1(G)) ∈ s(Y ) в силу теоремы
Банаха об открытом отображении, то C−1(G) ∈ s(Y ).
Следствие. Если Z = P, то лемма о тройке справедлива
при более слабом условии: Im A — подпр остранство.
Действительно, сначала лемму о тройке надо применить
к пространству Y0:= Im A, а потом получившийся линейный
непрерывный функционал C продолжить на Y .
Теорема 4.2 . 3 . Пусть X, Y — нормированные простран-
ства и A ∈ L(X, Y ). Справедливы следующие утверждения:
1. (Im A)⊥= Ker A∗.
2.⊥(Im A∗) = Ker A.
3.⊥(Ker A∗) =
4. (Ker A)⊥⊃
5. Если X, Y рефлексивны, то (Ker A)⊥=
6. Если X , Y — банаховы п ространства и Im A замкнуто,
тогда (K er A)⊥= Im A∗, и тем самым Im A∗тоже замкнуто.
Im A.
Im A∗.
Im A∗.
Доказательство.
∀x ∈ X hAx, y∗i = hx, A∗y∗i = 0 ⇐⇒y∗∈ Ker A∗.
3 .⊥(Ker A∗)1=⊥((Im A)⊥) = [утверждение 4.1.3 и
пункт 1 утверждения 4.1.4.1] =
4 . x∗∈ Im A∗=⇒∃y∗∈ Y∗x∗= A∗y∗=⇒
∀x ∈ Ker A hx, x∗i = hx, A∗y∗i = hAx, y∗i = h0, y∗i, =⇒
x∗∈ (Ker A)⊥. Но по пункту 1 утверждения 4.1.3 (Ker A)⊥—
подпространство.
1 . y∗∈ (Im A)⊥⇐⇒
∀y ∈ Im A hy, y∗i = 0 ⇐⇒
Im A.
121
5 . Im A∗= [пункт 9 утверждения 4.1.4] =
Доказательство. 1. Если гильбертово пространство X се-
парабельно, то оно изометрично пространству l2и в силу утвер-
ждений 4.1.10 и 4.2.2 рефлексивно.
2. Если X не является сепарабельным, то, взяв последова-
тельность {xn} ⊂ X такую, что ||xn|| 6 1, надо перейти к сепа-
рабельному гильбертову пространству X0:=
h{xn}i, в котором
из нее можно выделить слабо сходящуюся подпоследователь-
ность в смысле пространства X0. Но тогда эта же подпоследо-
вательность будет и слабо сходиться относительно исходного
пространства, поскольку если x∗∈ X∗, то x
∗
X
0
∈ X
∗
0
.
Определение. Пусть X, Y — нормированные простран-
ства и A : X → Y — линейный оператор. Будем говорить, что
оператор A строго отделен от нуля, если
∃c > 0 ∀x ∈ X ||Ax|| > c · ||x||, (4.2.1)
или, что то же самое, inf
||x||=1
||Ax|| > 0.
Утверждение 4.2.4. Пусть X , Y — нормированные про-
странства, A : X → Y — линейный оператор и выполнено
условие (4.2.1). Тогда A−1∈ L(Im A, X) и ||A−1|| 6 1/c.
Утверждение 4.2.5. Пусть X — банахово простран-
ство, Y — нормированное пространство, A ∈ L(X, Y ) и A
строго отделен от нуля. Тогда Im A есть банахово простран-
ство и тем самым оно замкнуто.
Доказательство. Пусть I mA ⊃ {yn} фундаменталь-
на. Тогда найдется последовательность {xn} ⊂ X такая, что
yn= Axnи ||xn− xm|| 6 ||yn− ym||/c. Это показывает, что и
{xn} фундаментальна. Поэтому
∃x0∈ X xn→x0=⇒Axn= yn→Ax0∈ Im A.
123
=
⊥
(Im A∗)
2
⊥
= (Ker A)⊥.
6 . Пусть x
следствия из леммы о тройке (для пространств X, Y, P и операторов A, x
Но
∀x ∈ X hx, x
∗
∈ (Ker A)⊥, тогда Ker A ⊂ Ker x
0
∗
)
0
∗
i = x
0
∗
∃y
∈ Y∗x
0
∗
(x) = y
0
∗
∗
= y
0
· A.
0
∗
(Ax) = hAx, y
0
∗
i = hx, A∗y
0
∗
. В силу
0
∗
i =⇒
0
∗
x
0
= A∗y
∗
∈ Im A∗.
0
Следствия. Пусть X, Y — нормированные пространства
и A ∈ L(X, Y ). Справедливы следующие утверждения:
1. Если A — инъекция и Im A — подпространство, то A∗—
сюръекция.
2. Если A — сюръекция, то A∗— инъекция.
3. Если
4. Если
Im A∗= X∗, то Ker A = {0}.
Im A = Y , то Ker A∗= {0}.
Утверждение 4.2.2. Если X, Y — нормированные про-
странства, X
∼
Y и X рефлексивно, то и Y рефлексивно.
=
Доказательство. Пусть A : X → Y — линейная изомет-
рия. Тогда Im A = Y замкнуто и K er A = {0}. Поэтому по теореме 4.2.3 Ker A∗= {0} и Im A∗= X∗. Поэтому Im A∗∗= Y∗∗.
Но в силу рефлексивности X и пункта 3 утверждения 4.2.1
получим
[Y ] = [AX] = A∗∗[X] = A∗∗X∗∗= Y∗∗.
Утверждение 4.2.3. Гильбертово пространство рефлексивно.
122
Доказательство. 1. Если гильбертово пространство X се-
парабельно, то оно изометрично пространству l2и в силу утверждений 4.1.10 и 4.2.2 рефлексивно.
2. Если X не является сепарабельным, то, взяв последовательность {xn} ⊂ X такую, что ||xn|| 6 1, надо перейти к сепа-
рабельному гильбертову пространству X0:=
h{xn}i, в котором
из нее можно выделить слабо сходящуюся подпоследовательность в смысле пространства X0. Но тогда эта же подпоследовательность будет и слабо сходиться относительно исходного
пространства, поскольку если x∗∈ X∗, то x
∗
X
0
∈ X
∗
.
0
Определение. Пусть X, Y — нормированные простран-
ства и A : X → Y — линейный оператор. Будем говорить, что
оператор A строго отделен от нуля, если
∃c > 0 ∀x ∈ X ||Ax|| > c · ||x||, (4.2.1)
или, что то же самое, inf
||x||=1
||Ax|| > 0.
Утверждение 4.2.4. Пусть X , Y — нормированные про-
странства, A : X → Y — линейный оператор и выполнено
условие (4.2.1). Тогда A−1∈ L(Im A, X) и ||A−1|| 6 1/c.
Утверждение 4.2.5. Пусть X — банахово простран-
ство, Y — нормированное пространство, A ∈ L(X, Y ) и A
строго отделен от нуля. Тогда Im A есть банахово пространство и тем самым оно замкнуто.
Доказательство. Пусть I mA ⊃ {yn} фундаментальна. Тогда найдется последовательность {xn} ⊂ X такая, что
yn= Axnи ||xn− xm|| 6 ||yn− ym||/c. Это показывает, что и
{xn} фундаментальна. Поэтому
∃x0∈ X xn→x0=⇒Axn= yn→Ax0∈ Im A.
123
4.3. Базисы в банаховом пространстве
||x|| = lim
l→∞
||Plx|| 6 ||x||1и ∀p, l ∈ N ||(Pp− Pl)x|| 6 2||x||1.
2. Пусть {xn= {λ
n,k
}} — фундаментальная последователь-
ность относительно нормы || · ||1. Так как
∀k > 2 |λ
n,k
− λ
m,k
| = ||(Pk− P
k−1
)(xn− xm)||16 2||xn− xm||1,
то {λ
n,k
} фундаментальна при любом k. Поэтому
∃{λ
0,k
}∀k ∈ N λ
n,k
−→
n→∞
λ
0,k
.
3. Поскольку при n, m > N(ε) := N
фундамент.
(ε) и любых
p ∈ N и l ∈ N
l+p
X
k=l+1
λ
n,kek
−
l+p
X
k=l+1
λ
m,kek
= ||(P
l+p
− Pl)(xn−xm)|| 6
6 2||xn− xm||1< 2ε,
то при переходе к пределу при m → ∞ получим
∀p, l ∈ N ∀n > N (ε)
l+p
X
k=l+1
λ
n,kek
−
l+p
X
k=l+1
λ
0,kek
6 2ε.
4. Тогда
∀p, l ∈ N ∀n > N(ε)
l+p
X
k=l+1
λ
0,kek
3
6 2ε +
l+p
X
k=l+1
λ
n,kek
.
При фиксированном n последнее слагаемое стремится к нулю
при l, p → ∞, поскольку
l
X
k=1
λ
n,kek
−→
l→∞
xn.
125
и дуальные к ним системы
Определение. Пусть X — нормированное пространство.
Семейства {xα} ⊂ X, {x
друг к другу (а пара{xα}, {x
hxα, x
Утверждение 4.3.1. Пусть X — нормированное про-
странство. Справедливы следующие утверждения:
1. Если {xα} ⊂ X, {x
обе они являются линейно независимыми системами.
2. Если {x1, . . . , xn} ⊂ X линей но независимы, то суще-
ствует {x
ма.
3. Если {x
ствует {x1, . . . , xn} ⊂ X — дуальная к {x
∗
i = δαβ.
β
∗
, . . . , x
1
∗
, . . . , x
1
∗
} ⊂ X∗называются дуальными
α
∗
}— биортогональной), если
α
∗
} ⊂ X∗— дуальная к {x1, . . . , xn} систе-
n
∗
} ⊂ X∗линейно независимы, то суще-
n
∗
} ⊂ X∗— дуальные системы, то
α
∗
, . . . , x
1
∗
} система.
n
Доказательство.
по следствию 5 из теоремы Хана — Банаха найдется x
такой, что hx1, x
∗
i = 1, hx2, x
1
3 . Это частный случай пункта 4 теоремы 3.2.1.
Теорема 4.3.1. Пусть X — банахово пространство с нор-
мированным базисом {en}. Тогда
||x||1:= sup
есть норма на линейном пространстве X и пространство
hX, || · ||1i — банахово.
Доказательство. Пусть
1. ∀l ∈ N ∀x ∈ X ||Plx|| 6 ||x||1=⇒
2 . Так как x16∈ X :=hx2, . . . , xni, то
ν
∞
X
P
l
k=1
∗
i = 0, . . . , hxn, x
1
ν
X
k=1
λke
λke
k
, где x =
k
:=
l
X
k=1
λkek.
∗
1
∞
X
k=1
i = 0.
λke
k
∗
1
∈ X
124
∗
||x|| = lim
l→∞
||Plx|| 6 ||x||1и ∀p, l ∈ N ||(Pp− Pl)x|| 6 2||x||1.
2. Пусть {xn= {λ
}} — фундаментальная последователь-
n,k
ность относительно нормы || · ||1. Так как
∀k > 2 |λ
то {λ
n,k
3. Поскольку при n, m > N(ε) := N
n,k
− λ
| = ||(Pk− P
m,k
)(xn− xm)||16 2||xn− xm||1,
k−1
} фундаментальна при любом k. Поэтому
∃{λ
}∀k ∈ N λ
0,k
n,k
−→
λ
n→∞
фундамент.
0,k
.
p ∈ N и l ∈ N
−
l+p
X
k=l+1
λ
m,kek
= ||(P
− Pl)(xn−xm)|| 6
l+p
l+p
X
k=l+1
λ
n,kek
6 2||xn− xm||1< 2ε,
то при переходе к пределу при m → ∞ получим
∀p, l ∈ N ∀n > N (ε)
l+p
X
k=l+1
λ
n,kek
−
l+p
X
k=l+1
λ
(ε) и любых
6 2ε.
0,kek
4. Тогда
l+p
X
k=l+1
λ
n,kek
.
∀p, l ∈ N ∀n > N(ε)
l+p
X
k=l+1
λ
0,kek
3
6 2ε +
При фиксированном n последнее слагаемое стремится к нулю
при l, p → ∞, поскольку
l
X
λ
k=1
n,kek
−→
l→∞
xn.
125
∞
Доказательство. 1. Пусть
Pnx :=
n
X
k=1
hx, e
∗
k
iek.
Так как {en} — базис, то
∀x ∈ X Pnx →x
и по теореме Банаха — Штейнгауза {||Pn||} ограничена неко-
торой константой K > 0. Но
∀x ∈ X ∀x∗∈ X∗hPnx, x∗i =
n
X
k=1
hx, e
∗
k
i · hek, x∗i =⇒
P
∗
n
x∗=
n
X
k=1
hek, x∗ie
∗
k
.
Так как ||P
∗
n
|| = ||Pn||, то {||P
∗
n
||} ограничена этой же констан-
той K.
2. Пусть
X
∗
1
:={x∗∈ X∗: {P
∗
n
x∗} сходится }.
Тогда X
∗
1
— линейное многообразие и для любого k ∈ N функ-
ционалы e
∗
k
∈ X
∗
1
. Поскольку
∀x ∈ X ∀x∗∈ X∗hx, P
∗
n
x∗i = hPnx, x∗i→hx, x∗i,
то P
∗
n
x
∗
*сл
−→x∗. Поэтому
∀x∗∈ X
∗
1
P
∗
n
x∗=
n
X
k=1
hek, x∗ie
∗
k
→
∞
X
k=1
hek, x∗ie
∗
k
= x∗,
т. е. {e
∗
n
} — базис в X
∗
1
.
3. Покажем, что X
∗
1
замкнуто в X∗.
127
P
Поэтому ряд
λ
k=1
мы || · ||.
5. Поскольку
∀l ∈ N ∀n > N(ε) ||Pl(xn−x0)|| =
сходится к некоторому x0в смысле нор-
0,kek
l
X
λ
k=1
n,kek
−
l
X
k=1
λ
0,kek
3
6 2ε,
то и
∀n > N(ε) ||xn−x0||1= supl||Pl(xn− x0)|| 6 2ε,
т. е. xn→x0относительно || · ||1.
Следствие. В условиях предыдущей теоремы нормы ||·|| и
||·||1эквивалентны, а функционалы e
∞
D
X
λkek, e
k=1
непрерывны.
Доказательство. Пусть I — тождественное отображение
X на X. Поскольку ||Ix|| = ||x|| 6 ||x||1, то I — непрерывная
биекция банахова пространства hX, ||·||1i на банахово пространство hX, || · ||i. По теореме Банаха о непрерывности обратного
оператора I−1тоже непрерывен, т. е.
∃C > 0 ∀ x ∈ X ||x||1= ||I−1x||16 C||x||.
∗
n
Наконец, |hx, e
Теорема 4.3.2. Пусть X — банахово пространство с ба-
зисом { en}. Тогда {e
(4.3.1), есть дуальная к нему система и {e
ховом пространстве X
i| = ||(Pn− P
∗
n
∗
∀x
∈ X
0
n−1
} ⊂ X∗, где e
∗
h{e
:=
0
∗
∗
x
=
0
0
∗
, определенные формулой
n
E
∗
= λn, (4.3.1)
n
)x|| 6 2||x||16 2C||x||.
∗
n
∗
}i. При этом
n
∞
X
hek, x
k=1
определены по формуле
∗
} — базис в бана-
n
∗
∗
ie
.
0
k
126
Доказательство. 1. Пусть
n
X
Pnx :=
k=1
hx, e
∗
k
iek.
Так как {en} — базис, то
∀x ∈ X Pnx →x
и по теореме Банаха — Штейнгауза {||Pn||} ограничена некоторой константой K > 0. Но
n
∀x ∈ X ∀x∗∈ X∗hPnx, x∗i =
∗
P
n
∗
Так как ||P
|| = ||Pn||, то {||P
n
x∗=
X
k=1
n
X
hek, x∗ie
k=1
∗
||} ограничена этой же констан-
n
∗
hx, e
i · hek, x∗i =⇒
k
∗
.
k
той K.
2. Пусть
X
∗
Тогда X
ционалы e
— линейное многообразие и для любого k ∈ N функ-
1
∗
∈ X
k
∀x ∈ X ∀x∗∈ X∗hx, P
*сл
∗
∗
то P
т. е. {e
−→x∗. Поэтому
x
n
∀x∗∈ X
∗
n
1
} — базис в X
3. Покажем, что X
∗
:={x∗∈ X∗: {P
1
∗
. Поскольку
1
n
∗
x∗=
X
k=1
∗
.
1
∗
замкнуто в X∗.
1
∗
P
n
∗
x∗} сходится }.
n
∗
x∗i = hPnx, x∗i→hx, x∗i,
n
∞
X
hek, x∗ie
∗
k
→
hek, x∗ie
k=1
∗
= x∗,
k
127
∗
∀M ⊂ X (M ограничено =⇒A(M) предкомпактно).
2. Непрерывный компактный оператор называется вполне
непрерывным.
Замечания. 1. Поскольку всякий компактный оператор
ограничен, то для линейных операторов понятия "компакт-
ный" и "вполне непрерывный" совпадают.
2. Для линейного оператора A : X →Y компактность экви-
валентна предкомпактности множества A(B[0, 1]).
Определение. Множество всех линейных компактных
операторов из X в Y обозначают comp L(X, Y ).
Утверждение 4.4.1. Пусть X , Y – нормированные про-
странства. Справедливы следующие утверждения:
1. Если dim(X) < +∞ , то comp L(X, Y ) = L(X, Y ).
2. Пусть оператор A ∈ L(X, Y ) и dim(Im A) < +∞. Тогда
A ∈ comp L(X, Y ).
Определение. Оператор A ∈ L(X, Y ) называется конеч-
номерным, если dim(Im A) < +∞.
Пример 4.4.1. Если X — бесконечномерное нормирован-
ное пространство, то тождественный оператор не является ком-
пактным оператором.
Утверждение 4.4.2. Пусть X , Y – нормированные про-
странства. Если A ∈ comp L(X, Y ), то A секвенциально
непрерывен относительно пары (σ(X), s(Y )), т. е.
(x
n
сл
−→x0=⇒Axn→Ax0).
Доказательство. Пусть x
n
сл
−→x0. Поскольку оператор
A ∈ L(X, Y ), то в силу теоремы 4.2.1 справедливо соотношение
Ax
n
сл
−→Ax0. Предположим, что Axn6 →Ax0. Тогда
∃ε0> 0 ∃{x
n
(1)
k
} ||Ax
n
(1)
k
− Ax0|| > ε0. (4.4.1)
129
∗
Если X
||P
+ ||P
т. е. {P
4. Так как для любого k ∈ N справедливо соотношение
∗
∈ X
e
1
k
поэтому x
Следствие. Если X — рефлексивное пространство с ба-
зисом {en}, а {e
базис в X∗.
Доказательство. Предположим противное: X
гда по следствию 5 из теоремы Хана — Банаха существует
∗∗
∈ X∗∗такой, что x
x
0
сивности X найдется x0такой, что x
того что для любого k ∈ N функционал e
3 x
1
∗
∗
x
n
∗
x
n
∗
, то X
∗
− P
0
l
∗
∗
(x
− x
m
l
∗
} фундаментальна и тем самым сходится к x
0
∗
⊂ X
0
∗
∀x
1
∗
∈ X
0
1
∗
, то
→x
m
0
∗
x
|| 6 ||P
0
∗
0
∈ X
∗
.
∗
} — дуальная к нему система, то {e
n
∗
∗
(x
n
0
)|| 6 2K||x
∗
. Но
1
∗
∗
∗
P
x
n
∗∗
6= 0 и X
0
1
→x
1
− x
∗
− x
0
∗
)|| + ||P
m
∗
m
∗
и {P
1
∗
0
|| + ||P
∗
∗
x
n
1
⊂ Ker x
∗∗
= [x0]. Тогда, в силу
0
∗
k
∗
∗
x
− P
n
m
∗
∗
x
− P
n
m
∗
} ⊂ X
0
∗∗
. В силу рефлек-
0
∗
∈ X
, справедливы
0
∗
∗
x
m
l
∗
x
l
,
∗
6= X∗. То-
0
||+
∗
m
||,
∗
.
0
∗
} —
n
равенства
∗
Поэтому
∗∗
т. е. x
0
0 = he
∗∗
, x
k
0
x0=
= 0, что противоречит выбору x
i = he
∞
X
hx0, e
k=1
∗
, [x0]i = hx0, e
k
∗
iek= 0,
k
∗∗
0
∗
i.
k
.
4.4. Компактные операторы
Определения. Пусть X, Y – нормированные простран-
ства.
1. Оператор A : X →Y называется компактным, если
128
∀M ⊂ X (M ограничено =⇒A(M) предкомпактно).
2. Непрерывный компактный оператор называется вполне
непрерывным.
Замечания. 1. Поскольку всякий компактный оператор
ограничен, то для линейных операторов понятия "компактный" и "вполне непрерывный" совпадают.
2. Для линейного оператора A : X →Y компактность экви-
валентна предкомпактности множества A(B[0, 1]).
Определение. Множество всех линейных компактных
операторов из X в Y обозначают comp L(X, Y ).
Утверждение 4.4.1. Пусть X , Y – нормированные про-
странства. Справедливы следующие утверждения:
1. Если dim(X) < +∞ , то comp L(X, Y ) = L(X, Y ).
2. Пусть оператор A ∈ L(X, Y ) и dim(Im A) < +∞. Тогда
A ∈ comp L(X, Y ).
Определение. Оператор A ∈ L(X, Y ) называется конеч-
номерным, если dim(Im A) < +∞.
Пример 4.4.1. Если X — бесконечномерное нормирован-
ное пространство, то тождественный оператор не является компактным оператором.
Утверждение 4.4.2. Пусть X , Y – нормированные про-
странства. Если A ∈ comp L(X, Y ), то A секвенциально
непрерывен относительно пары (σ(X), s(Y )), т. е.
сл
(x
−→x0=⇒Axn→Ax0).
n
Доказательство. Пусть x
сл
−→x0. Поскольку оператор
n
A ∈ L(X, Y ), то в силу теоремы 4.2.1 справедливо соотношение
сл
Ax
−→Ax0. Предположим, что Axn6 →Ax0. Тогда
n
∃ε0> 0 ∃{x
n
(1)
k
} ||Ax
− Ax0|| > ε0. (4.4.1)
(1)
n
k
129
Но {Ax
=⇒ . Поскольку σ(X) ⊂ s(X), то из (σ(X), s(Y ))-непре-
рывности следует и (s(X), s(Y ))-непрерывность. Далее, пусть
A ограничен на
U = U (ε; e
∗
1
, . . . , e
∗
n
) :={x ∈ X : max
j∈
1,n
|hx, e
∗
j
i| 6 ε},
где X∗⊃ { e
∗
1
, . . . , e
∗
n
} линейно независимы. Тогда по теореме
3.2.1 найдутся {e1, . . . , en} ⊂ X такие, что hei, e
∗
j
i = δij, при
этом
X = he1, . . . , eni ⊕ X1и X1:=
n
\
j=1
Ker e
∗
j
.
Поскольку
A(U) =
n
n
X
i=1
λiei+ AX1: ∀ i ∈
1, n |λi| 6 εo,
то A(X1) ограничено. Поэтому A(X1) = {0}, и тем самым
dim(Im A) 6 n.
⇐= . Пусть Im A = hg1, . . . , gni, где Y ⊃ {g1, . . . , gn} ли-
нейно независимы. Найдем {e1, . . . , en} ⊂ X такие, что
∀i ∈ 1, n Aei= gi.
Тогда {e1, . . . , en} линейно независимы и
X = he1, . . . , eni ⊕ Ker A,
а Ker A — подпространство. Определим e
∗
j
∈ X∗следующим
образом:
*
n
X
i=1
λiei+ ex, e
∗
j
+
:= λjдля любого ex ∈ Ker A.
131
Так как Ax
ству из (4.4.1).
Теорема 4.4.1. Пусть X — рефлексивное пространство
(в частности, гильбертово пространство), Y — нормированное пространство, а A : X → Y — линейный оп е ратор. Тогда
Доказательство.
Тогда ∃{xn} ⊂ B[0, 1] : yn= Axn. Но в силу теоремы 4.1.7
множество B[0, 1] слабо секвенциально компактно. Поэтому
Следствие. Пусть X — рефлексивное пространство, Y —
нормированное пространство, M ⊂ X, M ограничено, выпукло и замкнуто, а A ∈ comp L(X, Y ). Тогда множество A(M )
} предкомпактно, поэтому
(1)
n
k
∃y0∈ Y ∃{x
сл
−→Ax0, то y0= Ax0, что противоречит неравен-
n
} Ax
(2)
n
k
→y0.
(2)
n
k
A ∈ comp L(X, Y ) ⇐⇒(x
сл
−→x0=⇒Axn→Ax0).
n
⇐= . Пусть {yn} ⊂ A(B[0, 1]).
∃x0∈ B[0, 1] ∃{x
y
= Ax
n
k
} x
n
k
→y0= Ax0.
n
k
сл
−→x0=⇒
n
k
компактно.
Замечание. Компактный оператор A ∈ comp L(X, Y ) мо-
жет не быть (σ(X), s(Y ))-непрерывным.
Утверждение 4.4.3. Пусть X и Y — нормированные
пространства. Линейный оператор A : X → Y тогда и только тогда (σ(X), s(Y ))-непрерывен, когда A ∈ L(X, Y ) и A —
конечномерный.
Доказательство. Прежде всего отметим, что линейный
оператор A тогда и только тогда (σ(X), s(Y ))-непрерывен, когда он ограничен хотя бы на одной σ(X)-окрестности нуля.
130
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]