Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Функциональный анализ для магистрантов. Учебное пособие
.pdf
Утверждение 3.10.3. Подпространство рефлексивного
пространства само рефлексивно.
Доказательство. Пусть X0— подпространство рефлек-
сивного пространства X и X0⊃ M — ограниченное, абсолютно
выпуклое и замкнутое в подпространстве X0множество. Тогда
оно является таковым и в X.
Пусть M ⊃ {xα}, тогда в силу рефлексивности X
∃ x
ϕ(β)
−→
σ(X,X∗)
x0∈ M.
Но тогда в силу утверждения 3.10.2
x
ϕ(β)
−→
σ(X0,(X0)∗)
x0∈ M.
3.11. Бочечные пространства
Определение. Пусть X и Y — линейные топологические
пространства. Семейство M ⊂ L(X, Y ) называется равносте-
пенно непрерывным, если
∀U ∈ ωY(0) ∃V ∈ ωX(0) ∀A ∈ M A(V ) ⊂ U.
Утверждение 3.11.1. Пусть X и Y — линейные тополо-
гические прост ранства и M ⊂ L(X, Y ) равностепенно непрерывно. Тогда M поточечно ограничено, т. е.
∀x ∈ X {Ax : A ∈ M} ограничено.
Утверждение 3.11.2. Пусть X и Y — нормированные
пространства и M ⊂ L(X, Y ). Тогда
(семейство M ⊂ L(X, Y ) равностепенно непрерывно) ⇐⇒
({||A|| : A ∈ M} ограничено).
101
Замечания. 1. В силу утверждения 3.11.2 в нормирован-
Утверждение 3.11.3. Пусть hX, τi — отделимое бочеч-
ное пространство. Справедливы следующие утверждения:
1. τ = τ(X, X∗) = β(X, X∗).
2. Если X
∗
⊃ M∗— σ(X∗, X)-ограничено, то
cl(conv(M∗); τ) — σ(X∗, X)-компактно.
Доказательство. 1 . По теореме 3.8.1 τ = τ (M
∗
c
), где
M
∗
c
— множество всех равностепенно непрерывных семейств
из X∗. Но если M∗— σ(X∗, X)-ограничено, то M∗∈ M
∗
c
, тем
самым τ = β(X, X∗) и, значит, β(X, X∗) согласуется с двой-
ственностью (X, X∗). Поэтому в силу теоремы Макки — Аренса
τ(X, X∗) = β(X, X∗).
Теорема 3.1 1.2. Если локально выпуклое пространство
нельзя представить в виде объединения счетн о го семейства
нигде не плотных множеств, то оно бочечно.
Доказательство. Пусть B — бочка. Так как B — погло-
щающее, то справедливо равенство
X =
∞
[
n=1
(nB).
В силу условия теоремы◦(n0B) 6= Ø для некоторого n0. Поэтому
◦
B 6= Ø и 0 ∈◦B −◦B = 2◦B, т. е. B — окрестность нуля.
Следствие. Любое локально выпуклое пространство, яв-
ляющееся полным метрическим пространством, бочечно.
Замечания. 1. Существуют бочечные пространства, не яв-
ляющиеся полными.
2. Существуют бочечные пространства, которые можно
представить в виде объединения счетного семейства нигде не
плотных множеств.
103
ных пространствах обобщение теоремы Банаха — Штейнгауза
(см., например: [13, теор. 3.2.1]) можно сформулировать следующим образом.
Пусть X и Y — банаховы пространства. Если семейство
M ⊂ L(X, Y ) поточечно ограничено, то о но равностепенно
непрерывно.
2. Отметим, что если X — отделимое локально выпуклое
пространство и семейство M ⊂ X∗, то поточечная ограниченность M — это σ(X∗, X)-ограниченность семейства M.
Теорема 3.11.1. Пусть X — отделимое локально вы-
пуклое пространство. Для того чтобы любое σ(X∗, X)ограниченное в нем семейство M∗⊂ X∗было равностепенно
непрерывно, необходимо и достаточно, чтобы любая бочка в
X была окрестностью нуля.
Доказательство.
лу утверждения 3.9.1 найдется абсолютно выпуклое, σ(X∗, X)замкнутое и σ(X∗, X)-ограниченное множество M∗⊂ X∗такое, что B =◦M∗. Тогда в силу условия множество M∗равностепенно непрерывно. В силу утверждения 3.6.7 найдется такая абсолютно выпуклая и замкнутая окрестность нуля U, что
=⇒ . Пусть X ⊃ B — бочка. Тогда в си-
M∗⊂ U◦. Отсюда следует, что B =◦M∗⊃◦(U◦) = U. т. е. B —
окрестность нуля.
лу утверждения 3.9.1 поляра◦M∗— бочка. Поэтому найдется
такая абсолютно выпуклая и замкнутая окрестность нуля U ,
что U ⊂◦M∗. Тогда M∗⊂
ждения 3.6.7 следует, что M∗— равностепенно непрерывное
семейство.
ется бочечным, если в нем любая бочка является окрестностью
нуля.
⇐= . Пусть X∗⊃ M∗— σ(X∗, X)-ограничено. Тогда в си-
◦M∗
◦
⊂ U◦. Отсюда в силу утвер-
Определение. Локально выпуклое пространство называ-
102
Утверждение 3.11.3. Пусть hX, τi — отделимое бочеч-
ное пространство. Справедливы следующие утверждения:
1. τ = τ(X, X∗) = β(X, X∗).
2. Если X
∗
⊃ M∗— σ(X∗, X)-ограничено, то
cl(conv(M∗); τ) — σ(X∗, X)-компактно.
∗
Доказательство. 1 . По теореме 3.8.1 τ = τ (M
∗
— множество всех равностепенно непрерывных семейств
M
c
из X∗. Но если M∗— σ(X∗, X)-ограничено, то M∗∈ M
), где
c
∗
, тем
c
самым τ = β(X, X∗) и, значит, β(X, X∗) согласуется с двойственностью (X, X∗). Поэтому в силу теоремы Макки — Аренса
τ(X, X∗) = β(X, X∗).
Теорема 3.1 1.2. Если локально выпуклое пространство
нельзя представить в виде объединения счетн о го семейства
нигде не плотных множеств, то оно бочечно.
Доказательство. Пусть B — бочка. Так как B — погло-
щающее, то справедливо равенство
∞
[
X =
(nB).
n=1
В силу условия теоремы◦(n0B) 6= Ø для некоторого n0. Поэтому
◦
B 6= Ø и 0 ∈◦B −◦B = 2◦B, т. е. B — окрестность нуля.
Следствие. Любое локально выпуклое пространство, яв-
ляющееся полным метрическим пространством, бочечно.
Замечания. 1. Существуют бочечные пространства, не яв-
ляющиеся полными.
2. Существуют бочечные пространства, которые можно
представить в виде объединения счетного семейства нигде не
плотных множеств.
103
Пример 3.11.1. В пространстве m
Г л а в а 4
Банаховы пространства
4.1. Двойственность в нормированных
пространствах и теорема Эберлейна — Шмульяна
Определение. Пусть X — нормированное пространство.
X∗∗:=(X∗)∗, X
∗∗∗
:=(X∗∗)∗, . . .
Утверждение 4.1.1. Пусть X — нормированное про-
странство. Тогда [x] ∈ X∗∗и ||[x]||
X
∗∗
= ||x||X.
Здесь [·] : X →X∗∗— каноническое отображение (3.4.1).
Следствие. Пусть X — нормированное пространство.
Тогда отображение [·] : X →X∗∗линейно и изометрично. При
этом если X — банахово, то [X] — подпространство банахова
пространства X∗∗.
Утверждение 4.1.2. Пусть X — банахово простран-
ство. Справедливы следующие утверждения:
1. cl(B[0, 1; X]; σ(X∗∗, X∗)) = B[0, 1; X∗∗].
2. cl([X]; σ(X∗∗, X∗)) = X∗∗.
Доказательство.
1 . Рассмотрим множество V , опреде-
ленное формулой V := cl(B[0, 1; X]; σ(X∗∗, X∗)). Тогда по тео-
реме 3.6.1 о биполяре◦(V◦) = V относительно дуальной пары
(X∗∗, X∗).
Но в силу пункта 1 утверждения 3.6.2 справедливо равен-
ство V◦= ([B[0, 1; X]])◦. С другой стороны,
105
множество B :={x ∈ m
ность нуля. Тем самым нормированное пространство m
: |xn| 6 1/n } — бочка, но не окрест-
fin
(см. пример 3.9.1)
fin
fin
не
бочечно.
Теорема 3.11.3 (обобщенная теорема Банаха —
Штейнгауза). Пусть X — бочечное п ространство, а
Y — локально выпуклое пространство. Если L(X, Y ) ⊃ L
поточечно ограничено, то L0равностепенно непрерывно.
Доказательство. Пусть L(X, Y ) ⊃ L0— поточечно огра-
ничено, а V —абсолютно выпуклая, замкнутая окрестность ну-
ля в пространстве Y . Тогда B :=
\
A−1(V ) — абсолютно вы-
A∈L
0
пуклое, замкнутое и поглощающее множество в X, т. е. бочка.
Поэтому B — окрестность нуля в пространстве X и
{A(B) : A ∈ L0} ⊂ V,
0
что в силу произвольности V и означает равностепенную
непрерывность семейства L0.
Теорема 3.11.4. Пусть X — бочечное пространство,
Y — локально выпуклое пространство, {An}
An→A0поточечно и X 3 xβ→x0. Тогда
⊂ L(X, Y ),
n∈N
Anxβ−→
N×B
A0x0.
Доказательство. 1. В силу теоремы 3.11.3 семейство {An}
равностепенно непрерывно.
2. Anxβ− A0x0= An(xβ− x0) + Anx0− A0x0.
Г л а в а 4
Банаховы пространства
4.1. Двойственность в нормированных
пространствах и теорема Эберлейна — Шмульяна
Определение. Пусть X — нормированное пространство.
X∗∗:=(X∗)∗, X
∗∗∗
:=(X∗∗)∗, . . .
Утверждение 4.1.1. Пусть X — нормированное про-
странство. Тогда [x] ∈ X∗∗и ||[x]||
∗∗
X
= ||x||X.
Здесь [·] : X →X∗∗— каноническое отображение (3.4.1).
Следствие. Пусть X — нормированное пространство.
Тогда отображение [·] : X →X∗∗линейно и изометрично. При
этом если X — банахово, то [X] — подпространство банахова
пространства X∗∗.
Утверждение 4.1.2. Пусть X — банахово простран-
ство. Справедливы следующие утверждения:
1. cl(B[0, 1; X]; σ(X∗∗, X∗)) = B[0, 1; X∗∗].
2. cl([X]; σ(X∗∗, X∗)) = X∗∗.
Доказательство.
1 . Рассмотрим множество V , определенное формулой V := cl(B[0, 1; X]; σ(X∗∗, X∗)). Тогда по теореме 3.6.1 о биполяре◦(V◦) = V относительно дуальной пары
(X∗∗, X∗).
Но в силу пункта 1 утверждения 3.6.2 справедливо равен-
ство V◦= ([B[0, 1; X]])◦. С другой стороны,
105
([B[0, 1; X]])◦=nx∗∈ X∗: sup
σ(X∗, X∗∗) = σ(X∗, X).
Задание 4.1.1. Приведите пример банахова пространства
X и подпространства M∗пространства X∗таких, что
(⊥M∗)⊥6= M∗.
Теорема 4.1 . 1 . Пусть X — нормированное простран-
ство. Если X∗сепарабельно, т о и X сепарабельно.
Доказательство. 1. Поскольку подпространство сепара-
бельного метрического пространства сепарабельно, то единич-
ная сфера S∗:={ϕ ∈ X∗: ||ϕ|| = 1 } — сепарабельное метри-
ческое пространство относительно метрики, порожденной нор-
мой в X∗. Поэтому существует множество {ϕn} ⊂ S∗такое,
что {ϕn} = S∗.
2. В силу определения нормы ||ϕn|| найдутся такие xn∈ X,
что ||xn|| = 1 и |ϕn(xn)| > 1/2.
Покажем, что {xn} — полная система в X.
Предположим противное: h{xn}i =: X06= X . Тогда по
следствию 5 из теоремы Хана — Банаха найдется такой ϕ0∈ S∗,
что X0⊂ Ker ϕ0. Поэтому
||ϕn− ϕ0|| = sup
||x||=1
|(ϕn− ϕ0)(x)| >
> |(ϕn− ϕ0)(xn)| = |ϕn(xn)| >
1
2
,
т. е. множество {ϕn} не является всюду плотным в S∗, что
противоречит выбору {ϕn}.
Теорема 4.1 . 2 (Банаха, о замкнутом шаре в сопря-
женном пространстве). Если X — сепарабельное нормиро-
ванное пространство, то X∗⊃ B[a∗, r]∗слабо с е квенциально
компактен.
107
=nx∗∈ X∗: sup
◦
B[0, 1; X∗]= B[0, 1; X∗∗].
|hx∗, [x]i| 6 1o=
kxk61
|hx, x∗i| 6 1o= B[0, 1; X∗], а
kxk61
Определения. Пусть X — нормированное пространство и
M ⊂ X, а M∗⊂ X∗.
1. M⊥:={x∗∈ X∗: ∀x ∈ M hx, x∗i = 0 }.
2.⊥M∗:={x ∈ X : ∀x∗∈ M∗hx, x∗i = 0 }.
Утверждение 4.1.3. Пусть X — нормированное про-
странство, M ⊂ X и M∗⊂ X∗. Справедливы следующие
утверждения:
1. M⊥= hM i⊥— подпространство в X∗.
2.⊥M∗=⊥(
hM∗i) — подпространство в X.
Утверждение 4.1.4. Пусть X — нормированное про-
странство, M — подпространство в X и M∗— подпространство в X∗. Справедливы следующие утверждения:
1.⊥(M⊥) = M.
2.⊥[M] = M⊥.
3.⊥⊥[M] = M .
4. [⊥M∗] = M
⊥
∗
5. [M ] = M⊥⊥∩ [X].
6. (⊥M∗)⊥⊃ M∗.
Если X — рефлексивное банахово пространство, то спра-
ведливы следующие равенства:
7. M⊥⊥= [M ].
8. [⊥M∗] = M
⊥
∗
∩ [X].
.
9. (⊥M∗)⊥= M∗.
Действительно, это следует из утверждения 4.1.3, пунк-
та 3 утверждения 3.6.1, из теоремы 3.6.1 о биполяре, теоремы
3.5.1 и из того факта, что в рефлексивных пространствах
106
σ(X∗, X∗∗) = σ(X∗, X).
Задание 4.1.1. Приведите пример банахова пространства
X и подпространства M∗пространства X∗таких, что
(⊥M∗)⊥6= M∗.
Теорема 4.1 . 1 . Пусть X — нормированное простран-
ство. Если X∗сепарабельно, т о и X сепарабельно.
Доказательство. 1. Поскольку подпространство сепарабельного метрического пространства сепарабельно, то единичная сфера S∗:={ϕ ∈ X∗: ||ϕ|| = 1 } — сепарабельное метри-
ческое пространство относительно метрики, порожденной нормой в X∗. Поэтому существует множество {ϕn} ⊂ S∗такое,
что {ϕn} = S∗.
2. В силу определения нормы ||ϕn|| найдутся такие xn∈ X,
что ||xn|| = 1 и |ϕn(xn)| > 1/2.
Покажем, что {xn} — полная система в X.
Предположим противное: h{xn}i =: X06= X . Тогда по
следствию 5 из теоремы Хана — Банаха найдется такой ϕ0∈ S∗,
что X0⊂ Ker ϕ0. Поэтому
||ϕn− ϕ0|| = sup
> |(ϕn− ϕ0)(xn)| = |ϕn(xn)| >
|(ϕn− ϕ0)(x)| >
||x||=1
1
,
2
т. е. множество {ϕn} не является всюду плотным в S∗, что
противоречит выбору {ϕn}.
Теорема 4.1 . 2 (Банаха, о замкнутом шаре в сопряженном пространстве). Если X — сепарабельное нормиро-
ванное пространство, то X∗⊃ B[a∗, r]∗слабо с е квенциально
компактен.
107
т. е. x
∗
0
ограничен на X0. Продолжим его с сохранением нормы
на
X0= X.
4. Покажем, что x
∗
n
(k)
k
*сл
−→x
∗
0
. Отметим, что {x
∗
n
(k)
k
} — подпо-
следовательность последовательности {x
∗
n
} и, следовательно,
ограничена, а в силу (4.1.2) справедливо соотношение
∀m hem, x
∗
n
(k)
k
i→αm= hem, x
∗
0
i.
Поскольку система {em} является полной в X системой, то в
силу достаточного условия *слабой сходимости (см., например:
[13, утв. 3.9.8, п. 2 ]) получим x
∗
n
(k)
k
*сл
−→x
∗
0
.
5. В силу свойств *слабой сходимости (см., например: [13,
утв. 3.9.8, п. 1 ]) получим ||x
∗
0
− a∗|| 6 lim
||x
∗
n
(k)
k
− a∗|| 6 r.
Замечание. В общем случае в отличие от метрических
пространств, в которых множество компактно тогда и только
тогда, когда оно секвенциально компактно, если X не является
сепарабельным, шар B[a∗, r] ⊂ X∗может оказаться не∗слабо
секвенциально компактным, несмотря на то что в силу теоре-
мы Банаха — Алаоглу — Бурбаки (теорема 3.7.3) он∗слабо
компактен.
Пример 4.1.1. Пусть X = m, а e
∗
n
∈ m∗— линейные функ-
ционалы такие, что h{ξk}, e
∗
n
i:= ξn. Тогда ke
∗
n
k = 1. Покажем,
что из {e
∗
n
} нельзя выделить ни одной∗слабо сходящейся под-
последовательности.
Возьмем произвольную подпоследовательность {e
∗
n
k
}. По-
скольку∗слабая сходимость — это просто поточечная сходи-
мость, то покажем, что {e
∗
n
k
} не сходится поточечно. Рассмот-
рим элемент x0= {ξn}, где ξ
n
k
= (−1)k, а остальные коор-
динаты — нулевые. Тогда |hx0, e
∗
n
k
− e
∗
n
k+1
i| = 2, и тем самым
последовательность {hx0, e
∗
n
k
i} не является фундаментальной,
а значит, и сходящейся.
109
Доказательство. Пусть {em} — полная в X нормирован-
ная система линейно независимых векторов и {x
Прежде всего отметим, что
∀m, n |hem, x
∗
i| 6 ||em|| · ||x
n
∗
n
|| 6 K =: ||a∗|| + r. (4.1.1)
∗
} ⊂ B[a∗, r].
n
1. В силу соотношений (4.1.1) найдутся α1∈ P и подпо-
∗
следовательность { x
∗
he1, x
дутся α2∈ P и подпоследовательность {x
ности {x
кое αm∈ P и подпоследовательность {x
ности {x
i→α1. Теперь для e2в силу соотношений (4.1.1) най-
(1)
n
k
∗
} такие, что he2, x
(1)
n
k
Применяя индукционный процесс, для любого m найдем та-
∗
n
2. Рассмотрим последовательность {x
}, что hem, x
(m−1)
k
} последовательности {x
(1)
n
k
∗
(m)
n
k
любого m ∈ N последовательность {x
последовательностью последовательности {x
∗
i→α2.
(2)
n
k
i→αm.
∗
n
∗
(m)
n
k
∗
(k)
n
k
∗
}
(k)
n
k
i
∗
n
∗
(k)
n
k
(4.1.2)
−→
k→∞
i→αm. (4.1.2)
(k)
k
∗
i:= α
0
∗
. Тогда
0
i| =
m
m(x)
D
X
m(x)
X
m=1
λmem, x
m=1
λmα
m
∀m hem, x
∗
3. Определим x
следующим образом:
0
и продолжим по линейности на X0:=h{em}i, оставив для продолжения старое обозначение x
∀m hem, x
∀x ∈ X0K||x|| > |hx, x
m(x)
X
=
hλmem, x
m=1
∗
(k)
n
k
∗
} такие, что
n
} последователь-
(2)
k
} последователь-
}. Поскольку для
является под-
k>m
∗
}, то
(m)
n
k
= |hx, x
E
∗
=
(k)
n
k
∗
i|,
0
108
∗
т. е. x
на
следовательность последовательности {x
ограничен на X0. Продолжим его с сохранением нормы
0
X0= X.
*сл
4. Покажем, что x
∗
(k)
n
k
−→x
∗
. Отметим, что {x
0
∗
} и, следовательно,
n
∗
} — подпо-
(k)
n
k
ограничена, а в силу (4.1.2) справедливо соотношение
∀m hem, x
∗
i→αm= hem, x
(k)
n
k
∗
i.
0
Поскольку система {em} является полной в X системой, то в
силу достаточного условия *слабой сходимости (см., например:
*сл
[13, утв. 3.9.8, п. 2 ]) получим x
∗
(k)
n
k
−→x
∗
.
0
5. В силу свойств *слабой сходимости (см., например: [13,
утв. 3.9.8, п. 1 ]) получим ||x
∗
− a∗|| 6 lim
0
||x
∗
− a∗|| 6 r.
(k)
n
k
Замечание. В общем случае в отличие от метрических
пространств, в которых множество компактно тогда и только
тогда, когда оно секвенциально компактно, если X не является
сепарабельным, шар B[a∗, r] ⊂ X∗может оказаться не∗слабо
секвенциально компактным, несмотря на то что в силу теоремы Банаха — Алаоглу — Бурбаки (теорема 3.7.3) он∗слабо
компактен.
Пример 4.1.1. Пусть X = m, а e
ционалы такие, что h{ξk}, e
∗
что из {e
} нельзя выделить ни одной∗слабо сходящейся под-
n
∗
n
i:= ξn. Тогда ke
∗
∈ m∗— линейные функ-
n
∗
k = 1. Покажем,
n
последовательности.
∗
Возьмем произвольную подпоследовательность {e
n
k
}. По-
скольку∗слабая сходимость — это просто поточечная сходи-
∗
мость, то покажем, что {e
рим элемент x0= {ξn}, где ξ
динаты — нулевые. Тогда |hx0, e
последовательность {hx0, e
} не сходится поточечно. Рассмот-
n
k
= (−1)k, а остальные коор-
n
k
∗
∗
− e
n
∗
n
k
i} не является фундаментальной,
k
i| = 2, и тем самым
n
k+1
а значит, и сходящейся.
109
Таким образом, из "компактности" "секвенциальная ком-
лейн, в нормированных пространствах слабая компактность
эквивалентна слабой секвенциальной компактности.
Теорема 4.1 . 3 (Эберлейна — Шмульяна, об эквива-
лентности компактности и слабой компактности в нор-
мированных пространствах). В нормированном простран-
стве множество слабо компактно тогда и только тогда, ко-
гда оно слабо секвенциально компактно.
Доказательство этой теоремы разобьем на ряд вспомога-
тельных утверждений, представляющих математический инте-
рес и сами по себе.
Утверждение 4.1.5. Пусть X — нормированное про-
странство. X ⊃ K слабо компактно тогда и только тогда,
когда X∗∗⊃ [K] — σ(X∗∗, X∗)-компактно.
Действительно, это следует из того, что
(X 3 x
α
сл
−→x0) ⇐⇒(X∗∗3 [xα] −→
σ(X∗∗,X∗)
[x0]).
Утверждение 4.1.6. Пусть X — сепарабельное нормиро-
ванное пространство. Тогда существует {e
∗
n
} ⊂ X∗такое,
что
∀n ∈ N ke
∗
n
k = 1, ∀x ∈ X supnhx, e
∗
n
i = kxk.
Доказательство. Пусть X ⊃ {xn} — всюду плотное в
X множество, а e
∗
n
: hxn, e
∗
n
i = kxnk (такие существуют в си-
лу следствия из теоремы Хана — Банаха). Пусть x0∈ X и
x
n
k
→ x0. Тогда
hx0, e
∗
n
k
i = hx0−x
n
k
, e
∗
n
k
i + hx
n
k
, e
∗
n
k
i =
= hx0− x
n
k
, e
∗
n
k
i + kx
n
k
k → 0 + kx0k.
111
пактность" не следует. Существуют и секвенциально компактные множества, не являющиеся компактными.
Пример 4.1.2. Пусть X — множество всех функций из
[0; 1] в [0; 1] с топологией поточечной сходимости, а K — множество функций ϕ ∈ X таких, что {t : ϕ(t) 6= 0 } не более чем
счетно. Покажем, что K — секвенциально компактное, но не
компактное множество.
ку для любого n ∈ N справедливо соотношение ϕn(t1) ∈ [0; 1],
то найдутся подпоследовательность {ϕ
сти {ϕn} и число β1∈ [0; 1] такие, что ϕ
перь из {ϕ
кую, что ϕ
ционный процесс выделения подпоследовательностей {ϕ
таких, что ϕ
ность {ϕ
∞
Пусть { ϕn} ⊂ K и
S
{t : ϕn(t) 6= 0 } = {tm}. Посколь-
n=1
} последовательно-
(1)
n
k
} выделим подпоследовательность { ϕ
(1)
n
k
(t2) →β2∈ [0; 1]. Таким образом, описан идук-
(2)
n
k
(tm) →βm∈ [0; 1]. Тогда подпоследователь-
(m)
n
k
} исходной последовательности {ϕn} поточечно
(k)
n
k
(t1) →β1. Те-
(1)
n
k
n
(2)
k
} та-
(m)
n
k
сходится к функции ϕ0∈ X, определенной следующим обра-
зом: ϕ0(tm) = βmи ϕ0(t) = 0 при t 6∈ {tm}. Тем самым ϕ0∈ K.
Теперь покажем, что K не является компактным множеством. Пусть A — направленное по возрастанию множество
всех конечных подмножеств отрезка [0; 1], а функции ϕα∈ X
определены следующим образом: ϕα(t) = 1 при t ∈ α и
ϕα(t) = 0 при t 6∈ α. Тогда {ϕα} ⊂ K и ϕα−→Aeϕ, где eϕ ≡ 1
и eϕ 6∈ K . Тем самым K не замкнуто в отделимом топологи-
ческом пространстве X, поэтому K не является компактным
множеством.
}
Тем самым понятия "компактность" и "секвенциальная
компактность" несравнимы. Но, как показали росссийский математик В. Л. Шмульян и американский математик В. Ф. Эбер-
110
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]