Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Функциональный анализ для магистрантов. Учебное пособие
.pdf
hC(S), {pK(x) := max
|x(t)|, K ∈ comp (S) } i
t∈K
есть пространство непрерывных функций из S в P с топологией
равномерной сходимости на компактах K из S. Если существует последовательность {Kn} компактов такая, что K
S
и
Kn= S, то это пространство метризуемо.
n
n+1
⊃ K
Пример 2.4.6. Пусть K(S) — множество непрерывных на
S функций со значениями в P и с компактными носителями. На
этом множестве можно ввести следующие локально выпуклые
топологии:
1) топологию равномерной сходимости на конечных множе-
ствах (это топология поточечной сходимости);
2) топологию равномерной сходимости на компактных мно-
жествах;
3) топологию равномерной сходимости на всем S.
Пример 2.4.7. Пусть X — нормированное пространство,
а X∗— множество всех непрерывных на X линейных функционалов. Слабая топология σ(X, X∗) на X, определяемая X∗,
задается следующим семейством полунорм:
{pϕ(x) := |ϕ(x)| : ϕ ∈ X∗}.
n
Отметим, что слабая сходимость в X [13, п. 3.9] есть не что
иное, как сходимость относительно этой топологии σ(X, X∗).
2.5. Полные линейные топологические
пространства
Определение. Направленность { xα} в линейном топологическом пространстве X называется фундаментальной на-
правленностью или направленностью Коши, если
∀U(0) ∃ α0∀α1, α2 α0(x
− x
α
1
) ∈ U(0).
α
2
51
Утверждение 2.5.1. Пусть X — линейное топологиче-
2. Пространство X называется квазиполным, если в нем схо-
дится любая ограниченная фундаментальная направленность.
3. Пространство X называется секвенциально полным, если
в нем сходится любая фундаментальная последовательность.
4. Множество M ⊂ X называется полным (квазиполным, се-
квенциально полным), если соответствующие направленности
элементов из M сходятся к некоторому элементу из M .
Утверждение 2.5.3. 1. Если X — полное линейное топо-
логическое пространство, а X ⊃ M — замкнутое множество
и M 6= Ø, то M — полное множество.
2. Если X — отделимое линейное топологическое про-
странство, а X ⊃ M — полное множество и M 6= Ø, то
M — замкнутое множество.
Следствие. Пусть X — полное отделимое линейное то-
пологическое пространство и M ⊂ X. Тогда
(M — п олное множество) ⇐⇒ (M — замкнутое
множество).
Замечание. В линейном топологическом пространстве
hX, τai любое непустое подмножество является полным мно-
жеством.
Теорема 2.5 . 1 . Секвенциально полное линейное тополо-
гическое пространство со счетной базой окрестностей нуля
является полным линейным топологическим пространством.
Доказательство. 1. Пусть Vn— счетная база окрестностей
нуля, а {xα} — фундаментальная направленность. Тогда
∀n ∈ N ∃αn∀α0, α00 αn(x
α
0
− x
α
00
) ∈ Vn.
Не ограничивая общности, можно считать, что для любого n
справедливо соотношение α
n+1
αn.
2. Рассмотрим последовательность {x
α
n
}. Поскольку
53
ское пространство и {xα} ⊂ X. Справедливы следующие
утверждения:
1. ({xα} фундаментальная ) ⇐⇒
2. (xα→x0) =⇒ ({xα} фундаментальная).
3. ({xα} фундаментальная) =⇒ ({x
xα−x
0
α
−→
(α,α0)∈A
2
0.
} фундамен-
ϕ(β)
тальная).
4. ({xα} фундаментальная) ∧ ( x
→x0) =⇒ (xα→x0).
ϕ(β)
Замечание. В общем случае фундаментальная направленность может быть неограниченной, например, {2−m}
фундаментальная неограниченная направленность.
m∈Z
—
Утверждение 2.5.2. Фундаментальная последователь-
ность в линейном топологическом пространстве ограничена.
Доказательство. Пусть {xn} — фундаментальная последовательность и V ∈ ω(0). Тогда
∃nV∈ N ∀ n1, n2> nV(x
Поэтому
Но V — поглощающее множество, следовательно,
∀n > nVxn∈ x
−x
n
1
+ V.
n
V
) ∈ V.
n
2
∃λ0> 0 ∀ n ∈
1, nVxn∈ λ0V.
Отсюда вытекает, что
Определения. Пусть X — линейное топологическое про-
странство.
1. Пространство X называется полным, если в нем сходится
любая фундаментальная направленность.
∀n ∈ N xn∈ λ0V + V ⊂ (1 + λ0)V.
52
2. Пространство X называется квазиполным, если в нем схо-
дится любая ограниченная фундаментальная направленность.
3. Пространство X называется секвенциально полным, если
в нем сходится любая фундаментальная последовательность.
4. Множество M ⊂ X называется полным (квазиполным, се-
квенциально полным), если соответствующие направленности
элементов из M сходятся к некоторому элементу из M .
Утверждение 2.5.3. 1. Если X — полное линейное топо-
логическое пространство, а X ⊃ M — замкнутое множество
и M 6= Ø, то M — полное множество.
2. Если X — отделимое линейное топологическое про-
странство, а X ⊃ M — полное множество и M 6= Ø, то
M — замкнутое множество.
Следствие. Пусть X — полное отделимое линейное то-
пологическое пространство и M ⊂ X. Тогда
(M — п олное множество) ⇐⇒ (M — замкнутое
множество).
Замечание. В линейном топологическом пространстве
hX, τai любое непустое подмножество является полным множеством.
Теорема 2.5 . 1 . Секвенциально полное линейное тополо-
гическое пространство со счетной базой окрестностей нуля
является полным линейным топологическим пространством.
Доказательство. 1. Пусть Vn— счетная база окрестностей
нуля, а {xα} — фундаментальная направленность. Тогда
∀n ∈ N ∃αn∀α0, α00 αn(x
0
α
− x
) ∈ Vn.
α
00
Не ограничивая общности, можно считать, что для любого n
справедливо соотношение α
2. Рассмотрим последовательность {x
n+1
αn.
}. Поскольку
α
n
53
∀n1, n2(ni> m =⇒ α
1. Определим на множестве всех фундаментальных направ-
ленностей в X следующее отношение эквивалентности:
{xα} ∼ {x
0
β
}:=(xα− x
0
β
) −→
A×B
0.
Отметим, что если {xα} ∼ {x
0
β
} и xα−→Ax0, то x
0
β
−→Bx0.
2. ПоложимeX :={
^
{xα} : {xα} — фундаментальная в X}
иeX1:={
]
{x }c: x ∈ X}, где {x }c— тривиальная одноэлемент-
ная направленность. Поскольку топология отделима, то из со-
отношения x 6= x0следует соотношение
]
{x }c6=
^
{x0}c. Тем
самым отбражение x 7→
]
{x }cесть биекция X наeX1.
3. Полунормы { epγ(·) } наeX определяются следующим об-
разом:
epγ({xα}) := limαpγ(xα).
4. В силу свойств двойных и повторных пределов получим,
что
0 = lim
α,α0∈A
pγ(xα−x
α
0
) = lim
α∈A
lim
α0∈A
pγ(xα− x
α
0
) =
= lim
α∈A
epγ(
^
{xα− x
α
0
}) = lim
α∈A
epγ(
^
{xα}c−
^
{x
α
0
}),
т. е.
^
{xα}c−→
α∈A
^
{xα}.
5. Из предыдущего пункта 4 следует соотношение
e
X1=eX.
6. Покажем, чтоeX — отделимое топологическое простран-
ство. Если для любого γ справедливо равенство epγ(
^
{xα}) = 0,
то lim
α∈A
pγ(xα) = 0. Поэтому xα→0. Это, в свою очередь, озна-
чает, что {xα} ∼ {0 }c.
7. Покажем, чтоeX — полное локально выпуклое топологи-
ческое пространство. Пусть { exα} — фундаментальная направ-
ленность вeX. Рассмотрим стандартно направленное множе-
ство B:= A × ω(0). Тогда в силу пункта 5
∀β = (α,eV ) ∃x
0
β
= x
0
(α,eV )
^
{x
0
β
}c∈ xα+eV
55
αm),
n
i
то (x
вательность. Поэтому существует x0∈ X такой, что x
направленности { xα}, поэтому воспользоваться пунктом 4
утверждениея 2.5.1 нельзя.
дем V
справедливо соотношение
а в силу фудаментальности направленности {xα} справедливо
соотношение
−x
α
n
1
Отметим, что {x
3. Покажем, что xα→x0. Возьмем произвольное Vmи най-
0
m
) ∈ Vm, т. е. {x
α
n
2
} не обязана быть поднаправленностью
α
n
такое, что V
0
+ V
m
∃n0∀n > n0x
} — фундаментальная последо-
α
n
0
⊂ Vm. В силу того, что x
m
∈ x0+ V
α
n
0
,
m
α
n
α
→x0.
→x0,
n
∃α0∀α, α0 α0(xα− x
Возьмем eα0такое, что eα0 α
α eα0справедливо соотношение
xα− x0= (xα−x
Следствие. В банаховом пространстве сходится любая
фундаментальная направленность.
) + (x
eα
0
и eα0 α0. Тогда для любого
n
0
−x0) ∈ V
eα
0
α
0
) ∈ V
m
0
m
+ V
0
.
0
⊂ Vm.
m
Теорема 2.5.2. Для любого отделимого локально выпук-
лого топологического пространства X существует полное
отделимое локально выпуклое топологическое пространство
heX, eτ i и его всюду плотное линейное многообразиеeX1такое,
что X
∼
heX1, eτ ∩eX1i.
=
Доказательство. Пусть X — локально выпуклое отдели-
мое топологическое пространство, топология в котором определяется системой полунорм {pγ(·) }.
54
1. Определим на множестве всех фундаментальных направ-
ленностей в X следующее отношение эквивалентности:
{xα} ∼ {x
Отметим, что если {xα} ∼ {x
2. ПоложимeX :={
иeX1:={
]
{x }c: x ∈ X}, где {x }c— тривиальная одноэлемент-
^
{xα} : {xα} — фундаментальная в X}
0
}:=(xα− x
β
0
) −→
A×B
0.
β
0
} и xα−→Ax0, то x
β
0
−→Bx0.
β
ная направленность. Поскольку топология отделима, то из соотношения x 6= x0следует соотношение
самым отбражение x 7→
]
{x }cесть биекция X наeX1.
]
{x }c6=
^
{x0}c. Тем
3. Полунормы { epγ(·) } наeX определяются следующим об-
разом:
epγ({xα}) := limαpγ(xα).
4. В силу свойств двойных и повторных пределов получим,
что
0
т. е.
0 = lim
α,α0∈A
= lim
α∈A
^
{xα}c−→
α∈A
pγ(xα−x
epγ(
{xα− x
^
{xα}.
^
) = lim
α
0
}) = lim
α
α∈A
α∈A
lim
α0∈A
^
epγ(
{xα}c−
pγ(xα− x
5. Из предыдущего пункта 4 следует соотношение
α
^
{x
α
0
) =
0
}),
X1=eX.
e
6. Покажем, чтоeX — отделимое топологическое простран-
ство. Если для любого γ справедливо равенство epγ(
то lim
pγ(xα) = 0. Поэтому xα→0. Это, в свою очередь, озна-
α∈A
^
{xα}) = 0,
чает, что {xα} ∼ {0 }c.
7. Покажем, чтоeX — полное локально выпуклое топологи-
ческое пространство. Пусть { exα} — фундаментальная направленность вeX. Рассмотрим стандартно направленное множество B:= A × ω(0). Тогда в силу пункта 5
∀β = (α,eV ) ∃x
β
= x
0
(α,eV )
0
^
{x
}c∈ xα+eV
β
0
55
0
Поэтому M ⊂
k
S
i=1
(µ + 1)U= (µ + 1)U.
Утверждение 2.6.2. Если K — компактное множество
в линейном топологическом пространстве, то K — вполне
ограниченное и полное множество.
Доказательство. 1. Пусть U — произвольная окрестность
нуля. Тогда
K ⊂
S
x∈K
x +◦U).
В силу того, что множество K является компактным, справед-
ливо соотношение
∃x1, . . . , xkM ⊂
k
[
i=1
xi+◦U.
2. Пусть K ⊃ {xα} — фундаментальная направленность.
Тогда по теореме 1.6.3
∃{x
ϕ(β)
}, x0∈ K x
ϕ(β)
→x0.
Отсюда в силу пункта 4 утверждения 2.5.1 следует, что
xα→x0.
Теорема 2.6 . 1 (обобщенный критерий Хаусдорфа).
Пусть X — линейное топологическое пространство, множе-
ство K ⊂ X и K 6= Ø. Тогда
(K — компактное множество ) ⇐⇒ (K — вполне
ограниченное и полное множество).
Доказательство.
⇐= . Пусть {xα} ⊂ K.
57
^
{x
β
}
+
c
0
^
{x
β
}c−
0
^
{x
β
}+
0
^
{x
β
},
и {x
exα−
0
} — фундаментальная направленность в X , при этом
β
0
^
{x
}
−→
c
β
0. Поскольку
A×B
exα=exα−
0
то в силу пункта 4 получим exα→
^
{x
β
}.
2.6. Компактные множества в линейных
топологических пространствах
Определение. Пусть X — линейное топологическое про-
странство и M ⊂ X. Множество M называется вполне ограни-
ченным, если
k
[
∀U(0) ∃ x1, . . . , xkM ⊂
Утверждение 2.6.1. В любом линейном топологическом
пространстве справедливы следующие утверждения:
1. Любое конечное множество вполне ограничено.
2. Любое вполне ограниченное множество ограничено.
3. Замыкание вполне ограниченного множества вполне
ограничено.
i=1
xi+ U (0).
Доказательство.
множество и U — произвольная окрестность нуля. Тогда
Но в силу того, что U — поглощающее множество,
∃λ0> 0 ∀ |µ| > λ0∀i ∈
2 . Пусть M — вполне ограниченное
k
[
M ⊂
xi+ U.
i=1
1, k xi∈ µU.
56
k
Поэтому M ⊂
S
(µ + 1)U= (µ + 1)U.
i=1
Утверждение 2.6.2. Если K — компактное множество
в линейном топологическом пространстве, то K — вполне
ограниченное и полное множество.
Доказательство. 1. Пусть U — произвольная окрестность
нуля. Тогда
K ⊂
x +◦U).
x∈K
S
В силу того, что множество K является компактным, справедливо соотношение
k
[
∃x1, . . . , xkM ⊂
xi+◦U.
i=1
2. Пусть K ⊃ {xα} — фундаментальная направленность.
Тогда по теореме 1.6.3
∃{x
}, x0∈ K x
ϕ(β)
ϕ(β)
→x0.
Отсюда в силу пункта 4 утверждения 2.5.1 следует, что
xα→x0.
Теорема 2.6 . 1 (обобщенный критерий Хаусдорфа).
Пусть X — линейное топологическое пространство, множество K ⊂ X и K 6= Ø. Тогда
(K — компактное множество ) ⇐⇒ (K — вполне
ограниченное и полное множество).
Доказательство.
⇐= . Пусть {xα} ⊂ K.
57
1. Рассмотрим M — множество всех семейств F = {Fγ}
Взяв bα такое, что ∀i ∈ 1, k bα αi, получим
∀α bα xα6∈
k
[
i=1
Ai∩F
i
,
тем самым
k
[
i=1
Ai∩ F
i
6∈bF. (2.6.5)
С другой стороны,
k
[
i=1
Ai∩ F
i
⊃
k
[
i=1
A
i
∩
k
\
i=1
F
i
(2.6.2)
∈bF,
что в силу (2.6.3) противоречит (2.6.5).
Теперь с помощью семействаbF построим поднаправлен-
ность направленности {xα}, сходящуюся к элементу из K .
3. Пусть
B:={(F, α) ∈bF × A : xα∈ F }
с отношением
(F, α) (F0, α0) :=(F ⊂ F0) ∧ (α α0).
Это частично упорядоченное множество является направлен-
ным. Действительно, для любых (F1, α1), (F2, α2) ∈ B положим
F3:= F1∩ F2. Так как в силу (2.6.2) F3∈bF, то по (2.6.1) най-
дется α3такое, что α3 α1, α3 α2и x
α
3
∈ F3. Поэтому
(F3, α3) (F1, α1) и (F3, α3) (F2, α2).
4. Определим ϕ(β) = ϕ(F, α) := α, тем самым, в частности,
x
ϕ(F,α)
∈ F . Покажем, что {x
ϕ(β)
} — фундаментальная направ-
ленность. Возьмем U ∈ ω(0) и найдем по ней U1из ω(0) такую,
что U1+ U1⊂ U . В силу вполне ограниченности множества K
59
подмножеств из X (∀ γ Fγ⊂ X), удовлетворяющих следующе-
(2.6.1)
му свойству:
F = {Fγ} ∈ M:= ∀γ1, . . . , γk∀α ∃α0 α
k
x
Отметим, что такие семейства есть, например, M = {X }
или M = {K }.
T
0
∈
F
.
i=1
γ
i
α
M есть частично упорядоченное по включению множество,
и оно удовлетворяет условиям леммы Цорна (см., например:
[13, с. 28]). Действительно, если {Fη} — цепь таких семейств,
S
то и
набор подмножеств из этого объединения всегда содержится в
одном из Fη.
рядоченного множества. Тогда K ∈bF, X ∈bF,
Fηтоже такое семейство, поскольку любой конечный
η
2. ПустьbF — максимальный элемент этого частично у по-
F ∈bF =⇒F 6= Ø,
F1, F2∈bF =⇒F1∩ F2∈bF, (2.6.2)
F1⊃ F2∈bF =⇒F1∈bF, (2.6.3)
поскольку при добавлении F1в семействоbF условие (2.6.1) не
испортится. Покажем, что
Предположим, что это не так, т. е. ни одно из Aiнельзя
добавить вbF с сохранением свойства (2.6.1), что в силу (2.6.2)
означает:
k
[
Ai∈bF =⇒ ∃bi ∈
i=1
1, k A
∈bF. (2.6.4)
b
i
∀i ∈
1, k ∃Fi∈bF ∃ αi∀α αixα6∈ Ai∩ Fi.
58
Взяв bα такое, что ∀i ∈ 1, k bα αi, получим
k
[
∀α bα xα6∈
Ai∩F
i=1
,
i
тем самым
k
[
i=1
Ai∩ F
6∈bF. (2.6.5)
i
С другой стороны,
k
[
i=1
Ai∩ F
k
[
i=1
A
∩
i
⊃
i
k
\
i=1
(2.6.2)
F
∈bF,
i
что в силу (2.6.3) противоречит (2.6.5).
Теперь с помощью семействаbF построим поднаправлен-
ность направленности {xα}, сходящуюся к элементу из K .
3. Пусть
B:={(F, α) ∈bF × A : xα∈ F }
с отношением
(F, α) (F0, α0) :=(F ⊂ F0) ∧ (α α0).
Это частично упорядоченное множество является направленным. Действительно, для любых (F1, α1), (F2, α2) ∈ B положим
F3:= F1∩ F2. Так как в силу (2.6.2) F3∈bF, то по (2.6.1) найдется α3такое, что α3 α1, α3 α2и x
∈ F3. Поэтому
α
3
(F3, α3) (F1, α1) и (F3, α3) (F2, α2).
4. Определим ϕ(β) = ϕ(F, α) := α, тем самым, в частности,
x
∈ F . Покажем, что {x
ϕ(F,α)
} — фундаментальная направ-
ϕ(β)
ленность. Возьмем U ∈ ω(0) и найдем по ней U1из ω(0) такую,
что U1+ U1⊂ U . В силу вполне ограниченности множества K
59
k
Доказательство. Пусть M вполне ограничено. В силу то-
го, что
conv(M ) ⊂ absconv(M),
достаточнно установить вполне ограниченность множества
absconv(M ).
Пусть U — абсолютно выпуклая окрестность нуля. Тогда
найдутся x1, . . . , xnтакие, что M ⊂
n
S
i=1
(xi+U ). Отсюда следует,
что
absconv(M ) ⊂ absconv({xi}) + U.
Но множество absconv({xi}) — компактно, поэтому оно вполне
ограничено. Значит, найдутся y1, . . . , ymтакие, что
absconv({xi}) ⊂
m
[
i=1
(yi+ U ).
Отсюда получим, что
absconv(M ) ⊂ absconv({xi}) + U ⊂
⊂
m
S
i=1
(yi+ U ) + U ⊂
m
S
i=1
(yi+ 2U ).
Пример 2.6.1. Выпуклая оболочка компактного множе-
ства может быть не компактным множеством.
Пусть X — банахово пространство с нормированным ба-
зисом {en}. Тогда множество K :={en/n } ∪ {0} компактно.
Рассмотрим
xm:=
m
X
n=1
(2nn)−1en+2m(m + 1)
−1
e
m+1
∈ conv(K).
Тогда
xm→x0:=
∞
P
n=1
(2nn)−1en6∈ conv(K).
61
найдутся x1, . . . , xkтакие, что K ⊂
силу (2.6.3) справедливо соотношение
k
[
xi+ U
i=1
Пусть bα таково, что
1
∈bF
(2.6.4)
=⇒ ∃bi ∈
xbα∈ x
Тогда для любого (Fj, αj) (bF , αbα) (j = 1, 2) получим
+ U1=:bF ∈bF.
b
i
[
i=1
1, k x
1
. Поэтому в
xi+ U
+ U1∈bF.
b
i
x
ϕ(F1,α1)−xϕ(F2,α2)
5. Поскольку K полно, то
∃x0∈ K x
Следствия. В полном отделимом линейном топологиче-
ском пространстве справедливы следующие утверждения:
1. Множество компактно тогда и только тогда, когда оно
= x
−x
α
1
∈ F1−F2⊂bF −bF = U1+U1⊂ U.
α
2
п. 4 утв. 2.5.1
→x
ϕ(β)
0
=⇒ xα→x0.
вполне ограничено и замкнуто.
2. Множество предкомпактно тогда и только тогда, ко-
гда оно вполне ограничено.
Утверждение 2.6.3. В отделимом локально выпуклом
пространстве абсолютно выпуклая (выпуклая) оболочка конечного множества компактна.
странстве, при этом ограничена и замкнута.
Действительно, она лежит в конечномерном подпро-
Утверждение 2.6.4. В отделимом локально выпуклом
пространстве абсолютно выпуклая (выпуклая) оболочка
вполне ограниченного множества вполне ограничена.
60
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]