Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Функциональный анализ для магистрантов. Учебное пособие
.pdf
лейн, в нормированных пространствах слабая компактность
эквивалентна слабой секвенциальной компактности.
Теорема 4.1 . 3 (Эберлейна — Шмульяна, об эквивалентности компактности и слабой компактности в нормированных пространствах). В нормированном простран-
стве множество слабо компактно тогда и только тогда, когда оно слабо секвенциально компактно.
Доказательство этой теоремы разобьем на ряд вспомогательных утверждений, представляющих математический интерес и сами по себе.
Утверждение 4.1.5. Пусть X — нормированное про-
странство. X ⊃ K слабо компактно тогда и только тогда,
когда X∗∗⊃ [K] — σ(X∗∗, X∗)-компактно.
Действительно, это следует из того, что
(X 3 x
сл
−→x0) ⇐⇒(X∗∗3 [xα] −→
α
σ(X∗∗,X∗)
[x0]).
Утверждение 4.1.6. Пусть X — сепарабельное нормиро-
∗
ванное пространство. Тогда существует {e
} ⊂ X∗такое,
n
что
∀n ∈ N ke
∗
k = 1, ∀x ∈ X supnhx, e
n
∗
i = kxk.
n
Доказательство. Пусть X ⊃ {xn} — всюду плотное в
X множество, а e
∗
: hxn, e
n
∗
i = kxnk (такие существуют в си-
n
лу следствия из теоремы Хана — Банаха). Пусть x0∈ X и
x
→ x0. Тогда
n
k
∗
hx0, e
i = hx0−x
n
k
= hx0− x
∗
i + kx
, e
n
n
k
k
∗
, e
n
n
k
k
k → 0 + kx0k.
n
k
i + hx
∗
, e
n
i =
n
k
k
111
+
∞
X
n=N+1
2−n|hx0, bxni| <
r
2
· 1 + 2 · 2−N<
r
2
+ 2
r
4
= r,
или V (x0) ⊂ B(x0, r; K). Тем самым топология на K, порож-
денная нормой || · ||, есть отделимая топология на K , которая
не сильнее σ(X,bX) ∩ K. В силу утверждения 1.5.5 эти две то-
пологии на K совпадают.
Теорема 4.1 . 5 . Пусть X — нормированное простран-
ство, а X ⊃ K — слабо компактное множество. Тогда K
секвенциально слабо компактно.
Доказательство. Пусть X ⊃ K — слабо компактное мно-
жество и {xn} ⊂ K. Рассмотрим X0:=
h{xn}i и K0:= K ∩X0.
Тогда X0сепарабельно, а K0слабо компактно. По следствию
из утверждения 4.1.6 найдется семейство {e
∗
n
} ⊂ (X0)∗, то-
тальное над X0.
Но каждый e
∗
n
можно продолжить по непрерывности на
все X, поэтому, не ограничивая общности, можно считать, что
{e
∗
n
} ⊂ X∗. При этом {e
∗
n
} тотальна над X0⊃ hK0i. Поэтому
по теореме 4.1.4 топология K0∩ σ(X, X∗) метризуема, и тем
самым K0секвенциально слабо компактно. Поэтому
∃x
n
k
, x0∈ K0x
n
k
сл
−→x0∈ K0⊂ K.
Определение. Пусть X — нормированное пространство,
X∗⊃ X
∗
0
— линейное многообразие и ϑ ∈ (0; 1]. Множество
S ⊂ S[0, 1] ⊂ X назовем ϑ-мажорирующим множеством для
X
∗
0
, если
∀x∗∈ X
∗
0
sup
x∈S
|hx, x∗i| > ϑ||x∗||. (4.1.3)
Замечание. Очевидно, что свойство (4.1.3) эквивалентно
следующему:
∀x∗∈ X
∗
0
(||x∗|| = 1) =⇒(sup
x∈S
|hx, x∗i| > ϑ).
113
Определение. Пусть (X,bX) — дуальная пара, а X ⊃ X0—
линейное многообразие. Cистема { bxα} ⊂bX называется то-
тальной над X0, если
(x ∈ X0) ∧ (∀α hx, bxαi = 0) =⇒(x = 0).
Следствие. Пусть X — сепарабельное нормированное про-
странство. Тогда существует {x
Действительно, система, построенная в утверждении
4.1.6, тотальна над X.
∗
} ⊂ X∗, тотальная над X.
n
Теорема 4.1.4. Пусть (X,bX) — дуальная пара, X ⊃ K —
σ(X,bX)-компактно и существует счетная система { bxn} в
b
X, тотальная над X0:=hKi. Тогда топология σ(X,bX) ∩ K
метризуема.
Доказательство. Пусть { bxn} ⊂bX — тотальная над X
система. Поскольку K — σ(X,bX)-ограничено, то, не ограничи-
вая общности (переходя к новой тотальной над X0системе),
можно считать, что ∀n ∈ N ∀ x ∈ K |hx, bxni| 6 1.
Для любого x ∈ X0положим
||x||:=
∞
X
n=1
2−n|hx, bxni|.
0
Тогда || · || — норма на X0. Пусть x0∈ K и r > 0. Рассмотрим
B(x0, r; K). Возьмем N : 2−N< r/4.
Тогда для
σ(X,bX)∩K -окрестности точки x0получим, что если x ∈ V (x0),
то
||x − x0|| 6
V (x0) :={x ∈ K : max
|hx − x0, bxni| < r/2 } —
n6N
N
X
2−n|hx − x0, bxni| +
n=1
∞
X
n=N+1
2−n|hx, bxni|+
112
∞
+
n=N+1
X
2−n|hx0, bxni| <
r
· 1 + 2 · 2−N<
2
r
r
+ 2
4
= r,
2
или V (x0) ⊂ B(x0, r; K). Тем самым топология на K, порожденная нормой || · ||, есть отделимая топология на K , которая
не сильнее σ(X,bX) ∩ K. В силу утверждения 1.5.5 эти две топологии на K совпадают.
Теорема 4.1 . 5 . Пусть X — нормированное простран-
ство, а X ⊃ K — слабо компактное множество. Тогда K
секвенциально слабо компактно.
Доказательство. Пусть X ⊃ K — слабо компактное мно-
жество и {xn} ⊂ K. Рассмотрим X0:=
h{xn}i и K0:= K ∩X0.
Тогда X0сепарабельно, а K0слабо компактно. По следствию
из утверждения 4.1.6 найдется семейство {e
∗
} ⊂ (X0)∗, то-
n
тальное над X0.
∗
Но каждый e
можно продолжить по непрерывности на
n
все X, поэтому, не ограничивая общности, можно считать, что
∗
} ⊂ X∗. При этом {e
{e
n
∗
} тотальна над X0⊃ hK0i. Поэтому
n
по теореме 4.1.4 топология K0∩ σ(X, X∗) метризуема, и тем
самым K0секвенциально слабо компактно. Поэтому
∃x
n
, x0∈ K0x
k
сл
−→x0∈ K0⊂ K.
n
k
Определение. Пусть X — нормированное пространство,
∗
X∗⊃ X
— линейное многообразие и ϑ ∈ (0; 1]. Множество
0
S ⊂ S[0, 1] ⊂ X назовем ϑ-мажорирующим множеством для
∗
X
, если
0
∀x∗∈ X
∗
sup
0
|hx, x∗i| > ϑ||x∗||. (4.1.3)
x∈S
Замечание. Очевидно, что свойство (4.1.3) эквивалентно
следующему:
∀x∗∈ X
∗
(||x∗|| = 1) =⇒(sup
0
|hx, x∗i| > ϑ).
x∈S
113
Утверждение 4.1.7. Пусть X — нормированное про-
> ϑ + α − α = ϑ.
Утверждение 4.1.9. Пусть X — нормированное про-
странство и X 3 x
n
сл
−→x0. Тогда [x0] ∈ h{[xn] }i ⊂ X∗∗.
Доказательство. По теореме Мазура (см., например: [13,
теор. 3.9.4])
x0∈
h{xn}i ⊂ X =⇒∃{exm} ∈ h{xn}i exm→x0=⇒
[exm] →[x0] ∈
h{[xn] }i.
Теорема 4.1 . 6 . Пусть X — нормированное простран-
ство. Если X ⊃ K — секвенциально слабо компактно, то и
K слабо компактно.
Доказательство. 1. Прежде всего отметим, что K ограни-
чено. Действительно, в противном случае найдется {xn} ⊂ K:
||xn||→∞, из которой нельзя выделить ни одной слабо сходя-
щейся подпоследовательности, поскольку всякая слабо сходя-
щаяся последовательность ограничена.
2. Поскольку K ⊂ B[0, r; X], то
[K] ⊂B[0, r; X]⊂ B[0, r; X∗∗].
Но по теореме 3.7.3 множество B[0, r; X∗∗] — σ(X∗∗, X∗)-
компактно. Пусть
K∗∗:= cl[K]; σ(X∗∗, X∗),
тогда K∗∗— σ(X∗∗, X∗)-компактно. Покажем, что K∗∗= [K],
откуда в силу утверждения 4.1.5 будет следовать заключение
теоремы.
3. Пусть x
∗∗
0
∈ K∗∗, а ϑ ∈ (0; 1). Через U∗∗(ε; x
∗
1
, . . . , x
∗
k
)
обозначим σ(X∗∗, X∗)-окрестности нуля в X∗∗:
{x∗∗∈ X∗∗: max
i∈
1,k
|hx
∗
i
, x∗∗i| < ε}.
Возьмем произвольное x
∗
1
∈ X∗: ||x
∗
x
|| = 1. Тогда
115
странство и X∗⊃ X
Если S — ϑ-мажорирующее множество для X
ϑ-мажорирующее множество и для hX
Доказательство. Предположим противное, тогда
Пусть X
∗
∃x
hX
∈
0
∗
3 x
0
∀x ∈ S |hx, x
∃n0∈ N ∀ n > n0∀x ∈ S |hx, x
∗
ϑ||x
|| 6 sup
n
x∈S
∗
0
∗
i sup
0
|hx, x
x∈S
∗
∗
→x
n
0
∗
n
6 ||x
|hx, x
— линейное многообразие.
∗
i| =: α < β < ϑ||x
0
, в частности ||x
i| 6 |hx, x
∗
− x
n
∗
i| 6 β
n
∗
n
∗
|| + α →α =⇒
0
(4.1.4)
=⇒ ϑ||x
− x
∗
i.
0
∗
||→||x
n
∗
i|+ |hx, x
0
∗
i| 6 β
n
∗
|| 6 β < ϑ||x
0
∗
0
∗
0
∗
, то S —
0
||. (4.1.4)
||. Тогда
∗
i| 6
0
(4.1.3)
=⇒
∗
||.
0
Утверждение 4.1.8. Пусть X — нормированное про-
странство и X∗∗⊃ X
Тогда для любого ϑ ∈ (0; 1) существует X∗⊃ Sϑ— конечное
ϑ-мажорирующее множество для X
Доказательство. Пусть ϑ ∈ (0; 1) и α: ϑ + α < 1. Так как
сфера S∗∗:= S[0, 1; X
α-сеть для S∗∗. Пусть x
∗∗
— конечномерное подпространство.
0
∗∗
.
0
∗∗
] компактна, то ∃{x
0
∗
∈ S[0, 1; X
k
∗
∗∗
, x
i| > ϑ + α. (4.1.5)
i
i
|hx
∗
1
, . . . , x
∗∗
, . . . , x
1
∗
] таковы, что
0
∗∗
} ⊂ S∗∗—
k
Тогда
> |hx
∀x∗∗∈ S∗∗∃ei ||x∗∗− x
∗
|hx
, x∗∗i| = |hx
e
i
∗
∗∗
, x
i|−|hx
e
e
i
i
∗
e
i
, x∗∗−x
∗
∗∗
, x
e
e
i
i
(4.1.5)
∗∗
i|
e
i
∗∗
|| 6 α =⇒
e
i
∗
i + hx
, x∗∗− x
e
i
> ϑ + α −||x
∗∗
i| >
e
i
∗
||·||x∗∗−x
e
i
e
∗∗
i
|| >
114
> ϑ + α − α = ϑ.
Утверждение 4.1.9. Пусть X — нормированное про-
странство и X 3 x
сл
−→x0. Тогда [x0] ∈ h{[xn] }i ⊂ X∗∗.
n
Доказательство. По теореме Мазура (см., например: [13,
теор. 3.9.4])
h{xn}i ⊂ X =⇒∃{exm} ∈ h{xn}i exm→x0=⇒
x0∈
[exm] →[x0] ∈
h{[xn] }i.
Теорема 4.1 . 6 . Пусть X — нормированное простран-
ство. Если X ⊃ K — секвенциально слабо компактно, то и
K слабо компактно.
Доказательство. 1. Прежде всего отметим, что K ограни-
чено. Действительно, в противном случае найдется {xn} ⊂ K:
||xn||→∞, из которой нельзя выделить ни одной слабо сходящейся подпоследовательности, поскольку всякая слабо сходящаяся последовательность ограничена.
2. Поскольку K ⊂ B[0, r; X], то
[K] ⊂B[0, r; X]⊂ B[0, r; X∗∗].
Но по теореме 3.7.3 множество B[0, r; X∗∗] — σ(X∗∗, X∗)компактно. Пусть
K∗∗:= cl[K]; σ(X∗∗, X∗),
тогда K∗∗— σ(X∗∗, X∗)-компактно. Покажем, что K∗∗= [K],
откуда в силу утверждения 4.1.5 будет следовать заключение
теоремы.
3. Пусть x
∗∗
∈ K∗∗, а ϑ ∈ (0; 1). Через U∗∗(ε; x
0
∗
, . . . , x
1
∗
k
обозначим σ(X∗∗, X∗)-окрестности нуля в X∗∗:
∗
|hx
{x∗∗∈ X∗∗: max
Возьмем произвольное x
1,k
i∈
∗
∈ X∗: ||x
1
, x∗∗i| < ε}.
i
∗
|| = 1. Тогда
x
115
)
5. В силу соотношения (4.1.6) для любого m ∈ 1, k(n) спра-
ведливо неравенство |hx
∗
m
, [xn] − x
∗∗
0
i| < 1/n. Отсюда в силу
(4.1.8) для любого m ∈ N получим
hx
∗
m
, [x0] − x
∗∗
0
i = 0. (4.1.10)
С другой стороны, в силу (4.1.7), (4.1.9) и определения X
∗∗
0
справедливо включение ([x0] − x
∗∗
0
) ∈ X
∗∗
0
. Поскольку множе-
ство S∗является ϑ-мажорирующим для X
∗∗
0
, то
0
(4.1.9)
= supm|hx
∗
m
, [x0]−x
∗∗
0
i| > ϑ||[x0]−x
∗∗
0
||=⇒x
∗∗
0
= [x0] ∈ [K].
Теорема 4.1 . 7 . Пусть X — нормированное простран-
ство. Следующие условия эквивалентны:
1. X рефлексивно.
2. Шар B[0, 1; X] слабо компактен.
3. Шар B[0, 1; X] секвенциально слабо компактен.
Действительно, это следует из теоремы Эберлейна —
Шмульяна и критерия рефлексивности (теорема 3.10.1).
Следствие. Пусть X рефлексивно, X ⊃ M выпукло и за-
мкнуто. Тогда для любого x ∈ X существует ме трическая
проекция x на M .
Утверждение 4.1.10. Если p > 1, то lpрефлексивно.
Доказательство. Покажем, что B[0, 1; lp] секвенциально
слабо компактен. Пусть xn= {ξnk}: ||xn||
l
p
6 1, тогда ∀n ∈ N
последовательности {ξnk} ограничены. Применяя диагональ-
ный метод, подобно доказательству теоремы 4.1.2, получим
подпоследовательность {x
n
m
} такую, что
∀k ∈ N ξ
nmk
→αk∈ P.
Переходя в частичных суммах
K
X
k=1
ξ
p
nmk
6 1
117
∗∗
x
+ U∗∗(1; x
0
Это означает, что
∃x1∈ K |hx
Тогда по утверждению 4.1.8 в X∗для X
дется {x
∗
, . . . , x
2
∗
} — конечное ϑ-мажорирующее множество.
k(1)
Теперь найдем x2∈ K такое, что
[x2] ∈ x
∗∗
+ U∗∗(1/2; x
0
По утверждению 4.1.8 в X∗для X
∗
{x
k(1)+1
последовательностей {xn} ⊂ K, {X
, . . . , x
Таким образом, описан индукционный процесс построения
∗
} — конечное ϑ-мажорирующее множество.
k(2)
пространств пространства X∗∗и S∗:={x
ких, что
∗
, . . . , x
и {x
1
Тогда S∗— ϑ-мажорирующее множество для
лу утверждения 4.1.7 получим S∗— ϑ-мажорирующее множе-
ство и для X
4. В силу секвенциальной слабой компактности множества
K, не ограничивая общности, можно считать, что
[xn] ∈ x
∗
} — ϑ-мажорирующее множество для X
k(n)
∗∗
+ U∗∗(1/n; x
0
∗∗
X
= hx
n
∞
S
∗∗
:=
0
n=1
X
∗∗
.
n
∗
)∩ [K] 6= Ø.
1
∗
, [x1] − x
1
∗∗
, [x1], . . . , [xn]i (4.1.7)
0
∗∗
0
∗
, . . . , x
1
∗∗
:=hx
2
∗∗
n
∗
, . . . , x
1
i| < 1.
1
∗∗
0
∗∗
∗∗
:=h{x
∗
k(1)
, [x1]}i най-
0
).
, [x1], [x2]i найдется
} конечномерных под-
∗
} ⊂ S[0, 1; X∗] та-
m
∗
), (4.1.6)
k(n)
∗∗
n
∞
S
∗∗
. В си-
X
n
n=1
.
сл
x
−→x0∈ K. (4.1.8)
n
Тогда по утверждению 4.1.9 и определению X
[x0] ∈ X
∗∗
. (4.1.9)
0
116
∗∗
0
5. В силу соотношения (4.1.6) для любого m ∈ 1, k(n) спра-
ведливо неравенство |hx
∗
, [xn] − x
m
∗∗
i| < 1/n. Отсюда в силу
0
(4.1.8) для любого m ∈ N получим
∗
hx
, [x0] − x
m
С другой стороны, в силу (4.1.7), (4.1.9) и определения X
справедливо включение ([x0] − x
ство S∗является ϑ-мажорирующим для X
(4.1.9)
0
= supm|hx
∗
, [x0]−x
m
∗∗
i| > ϑ||[x0]−x
0
∗∗
i = 0. (4.1.10)
0
) ∈ X
∗∗
0
∗∗
. Поскольку множе-
0
∗∗
, то
0
||=⇒x
∗∗
= [x0] ∈ [K].
0
∗∗
0
∗∗
0
Теорема 4.1 . 7 . Пусть X — нормированное простран-
ство. Следующие условия эквивалентны:
1. X рефлексивно.
2. Шар B[0, 1; X] слабо компактен.
3. Шар B[0, 1; X] секвенциально слабо компактен.
Действительно, это следует из теоремы Эберлейна —
Шмульяна и критерия рефлексивности (теорема 3.10.1).
Следствие. Пусть X рефлексивно, X ⊃ M выпукло и за-
мкнуто. Тогда для любого x ∈ X существует ме трическая
проекция x на M .
Утверждение 4.1.10. Если p > 1, то lpрефлексивно.
Доказательство. Покажем, что B[0, 1; lp] секвенциально
слабо компактен. Пусть xn= {ξnk}: ||xn||
6 1, тогда ∀n ∈ N
l
p
последовательности {ξnk} ограничены. Применяя диагональный метод, подобно доказательству теоремы 4.1.2, получим
подпоследовательность {x
∀k ∈ N ξ
} такую, что
n
m
→αk∈ P.
nmk
Переходя в частичных суммах
K
X
p
ξ
6 1
nmk
k=1
117
к пределу сначала при m →∞, а потом при K →∞, получим
Утверждение 4.2.1. Пусть X, Y — нормированные
пространства и A ∈ L(X, Y ). Справедливы следующие
утверждения:
1. A∗∈ L(Y∗, X∗) и ||A∗|| = ||A||.
2. Если A−1∈ L(Y, X), то
∃(A∗)−1∈ L(X∗, Y∗) и (A∗)−1= (A−1)∗.
3. ∀x ∈ X A∗∗[x] = [Ax].
Теорема 4.2 . 1 . Пусть X, Y — нормированные простран-
ства и A : X → Y — линейны й оператор. Следующие условия
эквивалентны:
1. xn→x0=⇒Ax
n
сл
−→Ax0.
2. xn→x0=⇒Axn→Ax0.
3. x
n
сл
−→x0=⇒Ax
n
сл
−→Ax0.
Доказательство.
1 =⇒2 . Предположим, что
A 6∈ L(X, Y ). Тогда найдется {xn⊂ X }: ||xn|| = 1 и
||Axn||→∞. Тогда x
0
n
:= xn/||Axn||→0. Поэтому Ax
0
n
сл
−→0 и
тем самым { Ax
0
n
} ограничена. Но ||Ax
0
n
|| =
p
||Ax
n
||→∞ —
приходим к противоречию.
2 =⇒3 . Пусть x
n
сл
−→x0и y∗∈ Y∗. Тогда
hAxn, y∗i = hxn, A∗y∗i→hx0, A∗y∗i = hAxn, y∗i.
Теорема 4.2 . 2 . Пусть X, Y — нормированные простран-
ства, A : X →Y — линейный оператор, s(Z) — сильная (нор-
мированная) топология в нормированном пространстве Z, а
σ(Z) — слабая (σ(Z, Z∗)) топология в Z (Z ∈ {X, Y }). Следу-
ющие условия эквивалентны:
1. A — (s(X), σ(Y ))-непрерывен.
2. A — (s(X), s(Y ))-непрерывен.
3. A — (σ(X), σ(Y ))-непрерывен.
119
x0:={αk} ∈ lp. Но слабая сходимость в lpэквивалентна рав-
номерной ограниченности и покоординатной сходимости (см.,
например: [13, утв. 3.9.3]), поэтому x
сл
−→x0при m →∞.
n
m
Теорема 4.1.8. Банахово пространство X рефлексивно
тогда и только тогда, когда X∗рефлексивно.
Доказательство.
=⇒ . Пусть X рефлексивно. По теореме
Банаха — Алаоглу — Бурбаки шар B[0, 1; X∗]∗слабо компактен, но в силу рефлексивности X σ(X∗, X) = σ(X∗, X∗∗), тем
самым шар B[0, 1; X∗] слабо компактен.
⇐= . Пусть X∗рефлексивно. Тогда по предыдущей части
доказательства X∗∗рефлексивно. Тогда по утверждению 3.10.3
[X] рефлексивно =⇒ шар B[0, 1; [X]] = [B[0, 1; X]] слабо ком-
пактен в [X] =⇒ [B[0, 1; X]] слабо компактен в X∗∗. Но в силу
рефлексивности X∗∗σ(X∗∗, X
∗∗∗
) = σ(X∗∗, X∗), поэтому шар
[B[0, 1; X]]∗слабо компактен. Тогда по утверждению 4.1.5 шар
B[0, 1; X] слабо компактен.
Замечание. Сущ ествуют нерефлексивные банаховы пространства X такие, что X
был построен в работе [14].
∼
=
X∗∗. Соответствующий пример
4.2. Сопряженные линейные операторы
Определения. 1. Пусть X , Y — нормированные простран-
ства и A ∈ L(X, Y ). Тогда для любого y∗∈ Y∗отображение hA(·), y∗i есть линейный непрерывный функционал на X.
Определим оператор A∗: Y∗→X∗следующим соотношением:
Оператор A∗называется сопряженным к A.
2. A∗∗:= (A∗)∗.
∀x ∈ X ∀y∗∈ Y∗hx, A∗y∗i = hAx, y∗i.
118
Утверждение 4.2.1. Пусть X, Y — нормированные
пространства и A ∈ L(X, Y ). Справедливы следующие
утверждения:
1. A∗∈ L(Y∗, X∗) и ||A∗|| = ||A||.
2. Если A−1∈ L(Y, X), то
∃(A∗)−1∈ L(X∗, Y∗) и (A∗)−1= (A−1)∗.
3. ∀x ∈ X A∗∗[x] = [Ax].
Теорема 4.2 . 1 . Пусть X, Y — нормированные простран-
ства и A : X → Y — линейны й оператор. Следующие условия
эквивалентны:
1. xn→x0=⇒Ax
сл
−→Ax0.
n
2. xn→x0=⇒Axn→Ax0.
3. x
сл
−→x0=⇒Ax
n
сл
−→Ax0.
n
Доказательство.
1 =⇒2 . Предположим, что
A 6∈ L(X, Y ). Тогда найдется {xn⊂ X }: ||xn|| = 1 и
||Axn||→∞. Тогда x
0
тем самым { Ax
} ограничена. Но ||Ax
n
0
:= xn/||Axn||→0. Поэтому Ax
n
0
n
|| =
p
||Ax
сл
0
−→0 и
n
||→∞ —
n
приходим к противоречию.
2 =⇒3 . Пусть x
сл
−→x0и y∗∈ Y∗. Тогда
n
hAxn, y∗i = hxn, A∗y∗i→hx0, A∗y∗i = hAxn, y∗i.
Теорема 4.2 . 2 . Пусть X, Y — нормированные простран-
ства, A : X →Y — линейный оператор, s(Z) — сильная (нормированная) топология в нормированном пространстве Z, а
σ(Z) — слабая (σ(Z, Z∗)) топология в Z (Z ∈ {X, Y }). Следующие условия эквивалентны:
1. A — (s(X), σ(Y ))-непрерывен.
2. A — (s(X), s(Y ))-непрерывен.
3. A — (σ(X), σ(Y ))-непрерывен.
119
Доказательство. 1 =⇒2 . Если оператор A не яв-
∀G ∈ s(Z) C−1(G) = A(B−1(G)) и B−1(G) ∈ s(X)
в силу непрерывности B, а A(B−1(G)) ∈ s(Y ) в силу теоремы
Банаха об открытом отображении, то C−1(G) ∈ s(Y ).
Следствие. Если Z = P, то лемма о тройке справедлива
при более слабом условии: Im A — подпр остранство.
Действительно, сначала лемму о тройке надо применить
к пространству Y0:= Im A, а потом получившийся линейный
непрерывный функционал C продолжить на Y .
Теорема 4.2 . 3 . Пусть X, Y — нормированные простран-
ства и A ∈ L(X, Y ). Справедливы следующие утверждения:
1. (Im A)⊥= Ker A∗.
2.⊥(Im A∗) = Ker A.
3.⊥(Ker A∗) =
Im A.
4. (Ker A)⊥⊃
Im A∗.
5. Если X, Y рефлексивны, то (Ker A)⊥=
Im A∗.
6. Если X , Y — банаховы п ространства и Im A замкнуто,
тогда (K er A)⊥= Im A∗, и тем самым Im A∗тоже замкну-
то.
Доказательство.
1 . y∗∈ (Im A)⊥⇐⇒
∀y ∈ Im A hy, y∗i = 0 ⇐⇒
∀x ∈ X hAx, y∗i = hx, A∗y∗i = 0 ⇐⇒y∗∈ Ker A∗.
3 .⊥(Ker A∗)1=⊥((Im A)⊥) = [утверждение 4.1.3 и
пункт 1 утверждения 4.1.4.1] =
Im A.
4 . x∗∈ Im A∗=⇒∃y∗∈ Y∗x∗= A∗y∗=⇒
∀x ∈ Ker A hx, x∗i = hx, A∗y∗i = hAx, y∗i = h0, y∗i, =⇒
x∗∈ (Ker A)⊥. Но по пункту 1 утверждения 4.1.3 (Ker A)⊥—
подпространство.
121
ляется (s(X), s(Y ))-непрерывным, то он не является и
(s(X), s(Y ))-ограниченным, т. е. множество A(B[0, 1; X]) —
s(Y )-неограниченное множество. Тогда в силу (3.9.3) множе-
ство A(B[0, 1; X]) — σ(Y )-неограниченное множество. Но оператор A является (s(X), σ(Y ))-непрерывным, поэтому он и
(s(X), σ(Y ))-ограничен. Отсюда следует, что A(B[0, 1; X]) —
σ(Y )-ограниченное множество, т. е. приходим к противоречию.
Найдем окрестность нуля
такую, чтобы A(U ) ⊂ V . Для этого достаточно взять m = n,
xi= A∗y
ствах для линейных операторов эквивалентны определения
непрерывности по Коши и по Гейне не только для пары то-
2 =⇒3 . Пусть V ∈ ω(0; σ(Y, Y∗)) имеет следующий вид:
V = {y ∈ Y : max
i∈
1,n
|hy, y
∗
i| 6 ε}.
i
U ∈ ω(0; σ(X, X∗)) = {x ∈ X : max
∗
∈ X∗и δ = ε.
i
Замечание. Таким образом, в нормированных простран-
j∈
1,m
|hx, x
∗
i| 6 δ}
j
пологий (s, s), но и для пар (s, σ) и (σ, σ).
Лемма 4.2.1 (лемма о тройке).. Пусть X, Y , Z — ба-
наховы пространства, A ∈ L(X, Y ), B ∈ L(X, Z), Im A = Y
и Ker A ⊂ K er B. Тогда существует C ∈ L(Y, Z) такой, что
B = C A.
Доказательство. Оператор C определим следующей фор-
мулой: C y := B(A−1({y})).
1. Это определение корректно, так как A(X) = Y , и если
y = Ax1= Ax2, то
A(x1− x2) = 0 =⇒B(x1− x2) = 0,
тем самым Bx1= Bx2.
2. Поскольку
120
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]