Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Функциональный анализ для магистрантов. Учебное пособие
.pdf
3.5. Топологии, согласующиеся с двойственностью
Определение. Пусть (X,bX) — дуальная пара и τ — ло-
кально выпуклая топология на X. Топология τ называется со-
гласованной с двойственностью (X,bX), если hX, τi∗=bX.
Замечание. Теорема 3.4.1 показывает, что σ(X,bX) — то-
пология, согласованная с двойственностью (X,bX).
Утверждение 3.5.1. Все топологии на X , согласованные
с двойственностью (X,bX), отделимы.
Теорема 3.5 . 1 . Пусть (X,bX) — дуальная пара, τ — то-
пология на X, согласованная с двойственностью (X,bX), а
X ⊃ A — выпуклое и τ -замкнутое множество. Тогда A —
σ(X,bX)-замкнуто.
Доказательство. Пусть A 3 xα−→
x0.
σ(X,bX)
Если x06∈ A, то найдется выпуклая и открытая τ -окрест-
ность нуля U такая, чтоx0+U∩A = Ø. Тогда по следствию 6
из теоремы Хана – Банаха найдется функционал ϕ ∈ X∗такой,
что ϕx0+ U∩ ϕ(A) = Ø.
По утверждению 3.2.4 множество ϕx0+ Uоткрыто, и в
силу того, что X∗=bX = hX, σ(X,bX)i∗, имеем
ϕx0+ U63 ϕ(xα) →ϕ(x0) ∈ ϕx0+ U.
Это соотношение противоречит характеристическому
свойству открытых множеств — пункт 4 теоремы 1.6.1.
Тем самым x0∈ A, и, следовательно, A — σ(X,bX)-замкнуто.
Следствие. Пусть (X,bX) — д уальная пара, τ и τ0— то-
пологии на X , согласующиеся с двойственностью (X,bX), и
X ⊃ A — выпуклое множество. Тогда cl(A; τ) = cl(A; τ0).
81
bx ∈
S
α
A
α
◦
⇐⇒
∀α ∀x ∈ Aα|hx, bxi| 6 1 ⇐⇒∀α bx ∈ A
◦
α
.
Утверждение 3.6.2. Пусть (X,bX) — дуальная пара, а
A ⊂ X. Справедливы следующие утверждения:
1. A◦=cl(absconv(A); σ(X,bX))
◦
.
2. A◦абсолютно выпукло и σ(bX, X)-замкнуто.
Доказательство. 1 . 1. Определим множество B следую-
щим образом:
B := cl(absconv(A); σ(X,bX)) ⊃ A.
Тогда B◦⊂ A◦.
2. Покажем, что справедливо и обратное включение. Пусть
bx ∈ A◦. Тогда для любых x1, x2∈ A и λ, µ ∈ P таких, что
|λ| + |µ| 6 1, справедливо соотношение
|hλx1+ µx2, bxi| 6 |λ| + |µ| 6 1.
Тем самым bx ∈ (absconv(A))◦.
3. Пусть absconv(A) 3 xα−→
σ(X,bX)
x0.
В силу пункта 2 при любом α справедливо неравенство
|hxα, bxi| 6 1. Но hxα, bxi→hx0, bxi. Поэтому bx ∈ B◦.
Теорема 3.6 . 1 (о биполяре). Пусть (X,bX) — дуальная
пара, X ⊃ A абсолютно выпукло и σ(X,bX)-замкнуто. Тогда
◦(A◦
) = A.
Доказательство. 1. По определению поляры справедливо
следующее соотношение: ∀x ∈ A ∀ bx ∈ A◦|hx, bxi| 6 1. Тем
самым A ⊂◦(A◦).
2. Пусть x06∈ A. Так как A — σ(X,bX)-замкнуто, то найдется
U — абсолютно выпуклая σ(X,bX)-открытая окрестность нуля
83
3.6. Поляры
Определения. Пусть (X,bX) — дуальная пара.
1. Пусть A ⊂ X. Множество
называется полярой множества A относительно двойствен-
ности (X,bX).
2. ПустьbA ⊂bX. Множество
называется полярой множестваbA относительно двойствен-
ности (X,bX).
Замечание. Если (X,bX1) и (X,bX2) — дуальные пары и
A ⊂ X, то будем писать A
какой двойственности построена поляра.
Отметим также, что еслиbX1⊂bX2, то A
A◦:=nbx ∈bX : sup
|hx, bxi| 6 1
x∈A
◦
b
A :=nx ∈ X : sup
|hx, bxi| 6 1
bx∈bA
◦
, чтобы подчеркнуть, относительно
b
X
i
Утверждение 3.6.1. Пусть (X,bX) — дуальная пара,
A, B ⊂ X, а λ ∈ P и λ 6= 0. Справедливы следующие
утверждения:
◦
b
X
o
o
1
⊂ A
◦
.
b
X
2
1. A ⊂ B =⇒ B◦⊂ A◦.
2. 0 6= λ ∈ P =⇒ (λA)◦= λ−1A◦.
3. Если A — линейное многообразие в X, то
4.
A◦= A⊥:={bx ∈bX : ∀x ∈ A hx, bxi = 0 }.
S
◦
T
A
=
α
α
◦
A
.
α
α
Доказательство.
лентности:
4 . Имеют место следующие эквива-
82
bx ∈
∀α ∀x ∈ Aα|hx, bxi| 6 1 ⇐⇒∀α bx ∈ A
S
◦
A
⇐⇒
α
α
◦
.
α
Утверждение 3.6.2. Пусть (X,bX) — дуальная пара, а
A ⊂ X. Справедливы следующие утверждения:
1. A◦=cl(absconv(A); σ(X,bX))
◦
.
2. A◦абсолютно выпукло и σ(bX, X)-замкнуто.
Доказательство. 1 . 1. Определим множество B следую-
щим образом:
B := cl(absconv(A); σ(X,bX)) ⊃ A.
Тогда B◦⊂ A◦.
2. Покажем, что справедливо и обратное включение. Пусть
bx ∈ A◦. Тогда для любых x1, x2∈ A и λ, µ ∈ P таких, что
|λ| + |µ| 6 1, справедливо соотношение
|hλx1+ µx2, bxi| 6 |λ| + |µ| 6 1.
Тем самым bx ∈ (absconv(A))◦.
3. Пусть absconv(A) 3 xα−→
σ(X,bX)
x0.
В силу пункта 2 при любом α справедливо неравенство
|hxα, bxi| 6 1. Но hxα, bxi→hx0, bxi. Поэтому bx ∈ B◦.
Теорема 3.6 . 1 (о биполяре). Пусть (X,bX) — дуальная
пара, X ⊃ A абсолютно выпукло и σ(X,bX)-замкнуто. Тогда
◦(A◦
) = A.
Доказательство. 1. По определению поляры справедливо
следующее соотношение: ∀x ∈ A ∀ bx ∈ A◦|hx, bxi| 6 1. Тем
самым A ⊂◦(A◦).
2. Пусть x06∈ A. Так как A — σ(X,bX)-замкнуто, то найдется
U — абсолютно выпуклая σ(X,bX)-открытая окрестность нуля
83
A◦— σ(bX, X)-ограниченное⇐⇒
cl(absconv(A); σ(X,bX)) — по глощающее.
Доказательство. В силу пункта 1 утверждения 3.6.2 мож-
но считать, что A —абсолютно выпуклое и σ(X,bX)-замкнутое
множество. Тогда A◦— σ(bX, X)-ограниченное множество, т. е.
∀x ∈ X ∃Kx> 0 |hx, A◦i| 6 Kx.
Но тогда
(Kx)−1x ∈◦(A◦)
теор. 3.6.1
= A⇐⇒x ∈ KxA.
Утверждение 3.6.4. Пусть (X,bX) — дуальная пара и
A ⊂ X. Тогда следующие утверждения эквивалентны:
1. A — σ(X,bX)-ограниченное множество.
2. bpA(bx) := sup
x∈A
|hx, bxi| — полунорма наbX.
3. A◦— поглощающее множество.
Доказательство. 3 =⇒ 1 . По условию
∀bx0∈bX ∃λ > 0 bx0∈ λA◦.
Тогда λ−1bx0∈ A◦, т. е.
sup
x∈A
|hx, λ−1bx0i| 6 1 ⇐⇒sup
x∈A
|hx, bx0i| 6 λ.
Утверждение 3.6.5. Пусть X — отделимое локально
выпуклое пространство, а ω(0) — база окрестнос тей нуля.
Справедливы следующие утверждения:
1. X∗=
S
U∈ω(0)
U
◦
X
#
.
2. ∀U ∈ ω(0) U
◦
X
#
= U
◦
X
∗
.
85
такая, чтоx0+ U∩A = Ø. Но (x0+ U) — выпуклое открытое
множество, поэтому по следствию 6 из теоремы Хана— Банаха
∃ϕ ∈ hX, σ(X,bX)i∗ϕx0+ U∩ ϕ(A) = Ø.
Поскольку 0 ∈ U и 0 ∈ A, то ϕ(x0) 6= 0. Поэтому, не ограничивая общности, можно считать, что ϕ(x0) = 1.
3. Так как (U − A) — уравновешенное множество и
x0+ U − A∩ K er ϕ = Ø,
то в силу леммы 3.2.1 справедливо включение
ϕ(U − A) ⊂ B(0, 1) ⊂ P.
Поскольку множество U абсолютно выпукло и открыто, то и
множество ϕ(U ) абсолютно выпукло и (по утверждению 3.2.4)
открыто в P. Поэтому найдется такое число δ > 0, что справедливо равенство ϕ(U) = B(0, δ). Тем самым справедливо следующее включение:
B[0, δ/2] + ϕ(A) ⊂ ϕ(U ) − ϕ(A) = ϕ(U − A) ⊂ B[0, 1].
Тогда в силу пункта 4 утверждения 2.1.1
ϕ(A) ⊂ B[0, 1 − δ/2], т. е. sup
|ϕ(x)| 6 β := 1 − δ/2 < 1.
x∈A
4. Поскольку в силу теоремы 3.4.1 справедливо равенство
hX, σ(X,bX)i∗=bX, то найдется bx ∈bX такой, что ϕ(x) ≡ hx, bxi.
Таким образом, bx/β ∈ A◦, а
|hx0, bx/βi| = ϕ(x0)/β = 1/β > 1,
т. е. x06∈◦(A◦).
A ⊂ X. Тогда
Утверждение 3.6.3. Пусть (X,bX) — дуальная пара и
84
A◦— σ(bX, X)-ограниченное⇐⇒
cl(absconv(A); σ(X,bX)) — по глощающее.
Доказательство. В силу пункта 1 утверждения 3.6.2 можно считать, что A —абсолютно выпуклое и σ(X,bX)-замкнутое
множество. Тогда A◦— σ(bX, X)-ограниченное множество, т. е.
∀x ∈ X ∃Kx> 0 |hx, A◦i| 6 Kx.
Но тогда
(Kx)−1x ∈◦(A◦)
теор. 3.6.1
= A⇐⇒x ∈ KxA.
Утверждение 3.6.4. Пусть (X,bX) — дуальная пара и
A ⊂ X. Тогда следующие утверждения эквивалентны:
1. A — σ(X,bX)-ограниченное множество.
2. bpA(bx) := sup
|hx, bxi| — полунорма наbX.
x∈A
3. A◦— поглощающее множество.
Доказательство. 3 =⇒ 1 . По условию
∀bx0∈bX ∃λ > 0 bx0∈ λA◦.
Тогда λ−1bx0∈ A◦, т. е.
sup
|hx, λ−1bx0i| 6 1 ⇐⇒sup
x∈A
|hx, bx0i| 6 λ.
x∈A
Утверждение 3.6.5. Пусть X — отделимое локально
выпуклое пространство, а ω(0) — база окрестнос тей нуля.
Справедливы следующие утверждения:
1. X∗=
2. ∀U ∈ ω(0) U
S
U∈ω(0)
◦
U
.
#
X
◦
#
X
= U
◦
.
∗
X
85
Доказательство. 1 . 1. Пусть x#∈ U
3.7. Теорема Банаха — Алаоглу — Бурбаки
Теорема 3.7 . 1 . Пусть (X,bX) — дуальная пара и M ⊂ X.
Если M — ограниченное множество в топологии σ(X,bX), то
M является и вполне ограниченным множеством в этой то-
пологии.
Доказательство. 1. Пусть
U = {x ∈ X : max
i∈
1,n
|hx, bxii| 6 ε } =
n
\
i=1
bx
−1
i
(B[0, ε]) —
произвольная замкнутая окрестность нуля (здесь и далее
в доказательстве шары B[π, r] ⊂ P). Тогда по условию
α := sup
i∈
1,n,x∈M
|hx, bxii| < +∞, тем самым M ⊂
n
\
i=1
bx
−1
i
(B[0, α]).
Поскольку в P всякое ограниченное множество является вполне
ограниченным, то найдутся m ∈ N и {π1, . . . , πm} ⊂ P
такие, что B[0, α] ⊂
m
[
j=1
B[πj, ε/2]. Тогда
M ⊂
n
\
i=1
bx
−1
i
m
[
j=1
B[πj, ε/2]=
n
\
i=1
m
[
j=1
bx
−1
i
B[πj, ε/2]
=
=
m
[
j=1
n
\
i=1
bx
−1
i
B[πj, ε/2]
=
[
j∈J
n
\
i=1
bx
−1
i
B[πj, ε/2]
,
где через J обозначено множество таких j, что
n
\
i=1
bx
−1
i
B[πj, ε/2]6= Ø.
3. Для j ∈ J возьмем
xj∈
n
\
i=1
bx
−1
i
(B[πj, ε/2]).
87
◦
. Тогда x#ограни-
#
чена на U , и тем самым x#∈ X∗.
2. Пусть x∗∈ X∗. Тогда сущ ествует такая окрестность нуля
U ∈ ω(0), что x∗ограничена на U , т. е.
∃K > 0 sup
x∈U
|hx, x∗i| 6 K.
Отсюда следует, что
Определение. Пусть X — линейное топологическое про-
странство, а M#⊂ X#. Семейство линейных функционалов
M#называется равностепенно непрерывным семейством на
X, если
∀ε > 0 ∃U ∈ ω(0) ∀x#∈ M#∀x ∈ U |hx, x#i| 6 ε.
K−1x∗∈ U
◦
, или x∗∈ (K−1U)
#
X
◦
.
#
X
Утверждение 3.6.6. Пусть X — линейное топологиче-
ское пространство, а M#⊂ X#. Если M#— равностепенно
непрерывное семейство, то M#⊂ X∗.
выпуклое пространство, а M#⊂ X#. Следующие условия
эквивалентны:
Утверждение 3.6.7. Пусть X — отделимое локально
1. M#— равностепенно непрерывное семейство.
2. M#равномерно ограничено на некоторой окрестности
нуля U , т. е.
∃K > 0 ∀x#∈ M#∀x ∈ U |hx, x#i| 6 K.
3. Существует такая окрестнос ть нуля U , что
M#⊂ U
◦
.
#
X
86
3.7. Теорема Банаха — Алаоглу — Бурбаки
Теорема 3.7 . 1 . Пусть (X,bX) — дуальная пара и M ⊂ X.
Если M — ограниченное множество в топологии σ(X,bX), то
M является и вполне ограниченным множеством в этой топологии.
Доказательство. 1. Пусть
n
\
−1
bx
U = {x ∈ X : max
|hx, bxii| 6 ε } =
i∈
1,n
i=1
произвольная замкнутая окрестность нуля (здесь и далее
в доказательстве шары B[π, r] ⊂ P). Тогда по условию
α := sup
i∈
1,n,x∈M
|hx, bxii| < +∞, тем самым M ⊂
Поскольку в P всякое ограниченное множество является вполне
ограниченным, то найдутся m ∈ N и {π1, . . . , πm} ⊂ P
m
[
такие, что B[0, α] ⊂
M ⊂
=
m
[
j=1
n
\
i=1
bx
\
i=1
−1
i
n
m
[
j=1
−1
bx
i
B[πj, ε/2]. Тогда
j=1
B[πj, ε/2]=
B[πj, ε/2]
n
m
\
[
i=1
j=1
[
n
\
=
i=1
j∈J
i
−1
bx
i
−1
bx
i
(B[0, ε]) —
n
\
−1
bx
i
i=1
B[πj, ε/2]
B[πj, ε/2]
(B[0, α]).
=
,
где через J обозначено множество таких j, что
n
\
i=1
−1
bx
B[πj, ε/2]6= Ø.
i
3. Для j ∈ J возьмем
n
\
−1
bx
xj∈
i=1
(B[πj, ε/2]).
i
87
Тогда для любых i ∈ 1, n и j ∈ J
U
◦
X
#
— σ(X#, X)-замкнутым (пункт 2 утверждения 3.6.2). По-
этому в силу пункта 1 утверждения 2.5.3 множество U
◦
X
#
—
σ(X#, X)-полно. Отсюда в силу теоремы 2.6.1 следует, что мно-
жество U
◦
X
#
— σ(X#, X)-компактно.
3. Поскольку в силу пункта 2 утверждения 3.6.5 справедли-
во равенство U
◦
X
#
= U
◦
X
∗
⊂ X∗, а σ(X∗, X) = X∗∩ σ(X#, X),
то в силу утверждения 1.5.2 множество U
◦
X
∗
является компакт-
ным в топологии σ(X∗, X).
Следствия. 1. Если X — нормированное пространство,
то X∗⊃ B[0, 1; X∗]∗слабо компактен.
2. Если X — отделимое локально выпуклое пространство,
а X∗⊃ M∗— равностепенно непрерывное семейство, то
∗
слабое замыкание множества M
∗
∗
слабо компактно.
Доказательство.
1 .B[0, 1; X]
◦
= B[0, 1; X∗].
2 . По утверждению 3.6.7 cуществует такая окрестность
нуля U , что M∗⊂ U
◦
X
#
.
3.8. Топологии M-сходимости
Утверждение 3.8.1. Пусть (X,bX) — дуальная пара, а
M ⊂ B(X) — семейство σ(X,bX)-ограниченных множеств,
удовлетворяющее следующим свойствам:
M1. M1, M2∈ M =⇒ ∃M3∈ M M1∪ M2⊂ M3.
M2. M ∈ M =⇒ ∀ λ ∈ P λM ∈ M.
M3.
S
M∈M
M = X.
Тогда {M◦⊂bX : M ∈ M } есть база окрестностей нуля
некоторой локально выпуклой топологии наbX.
Определение. Топологию из утверждения 3.8.1 называют
топологией M-сходимости и обозначают bτ (M).
Замечания. 1. Отметим, что в силу пункта 1 утверждения
3.6.2, не ограничивая общности, можно считать, что M — се-
89
bx
0 ∈ bx
i
B[πj, ε/2]− x
i
⊂ B[πj, ε/2] − B[πj, ε/2] = B[0, ε].
⊂ B[πj, ε/2] − hxj, bxii ⊂
j
Поэтому для любого j ∈ J
n
\
i=1
n
\
−1
bx
(B[πj, ε/2]) ⊂ xj+ U =⇒M ⊂
i
i=1
Теорема 3.7.2. Пусть X — отделимое локально выпук-
лое пространство. Тогда hX#, σ(X#, X)i — полное локально
выпуклое пространство.
−1
bx
(B[πj, ε/2]) − xj⊂ U =⇒
i
Доказательство. Пусть {x
#
} — фундаментальная на-
α
[
xj+ U.
j∈J
правленность в hX#, σ(X#, X)i. Тогда для любого x ∈ X на-
правленность {hx, x
#
i} является фундаментальной направ-
α
ленностью в полном пространстве P. Поэтому существует
limαhx, x
#
x
α
о∗слабой компактности поляры окрестности нуля). Если X — отделимое локально выпуклое пространство, а U —
#
i =: hx, x
α
#
→x
поточечно, т. е. в топологии σ(X#, X).
0
Теорема 3.7.3 (Банаха — Алаоглу — Бурбаки,
окрестность нуля, то U
Доказательство. 1. Так как U — поглощающее множе-
ство, то по утверждению 3.6.3 поляра U
ограниченным множеством. Поэтому по теореме 3.7.1 множество U
X
2. По теореме 3.7.2 пространство hX#, σ(X#, X)i являет-
ся полным локально выпуклым пространством, а множество
◦
вполне ограничено в топологии σ(X#, X).
#
#
0
i. Тогда x
#
∈ X#и по построению
0
◦
— σ(X∗, X)-компактно.
∗
X
◦
является σ(X#, X)-
#
X
88
◦
U
— σ(X#, X)-замкнутым (пункт 2 утверждения 3.6.2). По-
#
X
этому в силу пункта 1 утверждения 2.5.3 множество U
◦
—
#
X
σ(X#, X)-полно. Отсюда в силу теоремы 2.6.1 следует, что мно-
жество U
◦
— σ(X#, X)-компактно.
#
X
3. Поскольку в силу пункта 2 утверждения 3.6.5 справедли-
во равенство U
◦
#
X
то в силу утверждения 1.5.2 множество U
= U
◦
⊂ X∗, а σ(X∗, X) = X∗∩ σ(X#, X),
∗
X
◦
является компакт-
∗
X
ным в топологии σ(X∗, X).
Следствия. 1. Если X — нормированное пространство,
то X∗⊃ B[0, 1; X∗]∗слабо компактен.
2. Если X — отделимое локально выпуклое пространство,
а X∗⊃ M∗— равностепенно непрерывное семейство, то
∗
слабое замыкание множества M
Доказательство.
1 .B[0, 1; X]
∗
слабо компактно.
∗
◦
= B[0, 1; X∗].
2 . По утверждению 3.6.7 cуществует такая окрестность
нуля U , что M∗⊂ U
◦
.
#
X
3.8. Топологии M-сходимости
Утверждение 3.8.1. Пусть (X,bX) — дуальная пара, а
M ⊂ B(X) — семейство σ(X,bX)-ограниченных множеств,
удовлетворяющее следующим свойствам:
M1. M1, M2∈ M =⇒ ∃M3∈ M M1∪ M2⊂ M3.
M2. M ∈ M =⇒ ∀ λ ∈ P λM ∈ M.
M3.
Тогда {M◦⊂bX : M ∈ M } есть база окрестностей нуля
некоторой локально выпуклой топологии наbX.
S
M = X.
M∈M
Определение. Топологию из утверждения 3.8.1 называют
топологией M-сходимости и обозначают bτ (M).
Замечания. 1. Отметим, что в силу пункта 1 утверждения
3.6.2, не ограничивая общности, можно считать, что M — се-
89
мейство абсолютно выпуклых и σ(X,bX)-замкнутых множеств
Утверждение 3.8.3. Пусть (X,bX) — дуальная пара, M
иcM — семейства, порождающие топологии bτ (M) и τ (cM).
Тогда
σ(bX, X) ⊂ bτ (M) и σ(X,bX) ⊂ τ (cM).
Доказательство. 1. Пусть M0— семейство всех конечных
подмножеств из X. Тогда bτ (M0) = σ(bX, X).
2. Покажем, что
∀M0∈ M0∃M ∈ M M0⊂ M.
Пусть M0= {x1, . . . , xn}. В силу свойства M 3
∃M1, . . . , Mn∈ M ∀ i ∈ 1, n xi∈ Mi.
В силу свойства M 1
∃M ∈ M M ⊃
n
[
i=1
M1⊃ M0.
3. Поскольку M ⊃ M0, то в силу пункта 1 утверждения 3.6.1
M◦⊂ (M0)◦, т. е. (M0)◦— окрестность нуля в топологии
bτ(M).
Определения. Пусть (X,bX) — дуальная пара.
1. Если Mb⊂ B(M ) — семейство всех σ(X,bX)-огра-
ниченных множеств из X, то β(bX, X) := bτ (Mb).
2. Если M
comp
⊂ B(M ) — семейство всех σ(X,bX)-ком-
пактных множеств из X, то τ (bX, X) := bτ (M
comp
).
3. Дуально определяются топологии β(X,bX) и τ (X,bX).
4. Топологии τ (bX, X) и τ (X,bX) называются топологиями
Макки.
Утверждение 3.8.4. Пусть (X,bX) — дуальная пара, M
иcM — семейства, порождающие топологии bτ (M) и τ (cM).
Справедливы следующие утверждения:
1. σ(bX, X) ⊂ bτ(M) ⊂ β(bX, X).
2. σ(X,bX) ⊂ τ (cM) ⊂ β(bX, X).
91
(а значит, по теореме 3.5.1 и замкнутых относительно любой
топологии, согласованной с двойственностью).
2. В силу двойственности между X иbX можно и на
X рассматривать топологиюcM-сходимости, гдеcM — семейство абсолютно выпуклых σ(bX, X)-замкнутых и σ(bX, X)ограниченных множеств из X , удовлетворяющее свойствам,
аналогичным свойствам M 1 — M3. Эту топологию будем обозначать τ(cM). База окрестностей нуля топологии τ(cM) имеет
вид: {
◦
c
M ⊂ X :cM ∈cM}.
Утверждение 3.8.2. Пусть (X,bX) — дуальная пара, M
иcM — семейства, порождающие топологии bτ (M) и τ (cM).
Справедливы следующие утверждения:
1.bX 3 bxα−→
bτ(M)
номерно на каждом M ∈ M, т. е.
∀M ∈ M sup
2. Топология bτ(M) порождена следующим семейством
полунорм:
n
bpM(bx) := sup
3. X 3 xα−→
равномерно на каждомcM ∈cM, т. е.
τ(cM)
bx0тогда и только тогда, когда bxα→bx0рав-
|hx, bxα− bx0i|→0.
x∈M
|hx, bxi| : M ∈ Mo.
x∈M
x0тогда и т олько тогда, когда [xα] →[x0]
∀cM ∈cM sup
|hxα− x0, bxi|→0.
bx∈cM
4. Топология τ (cM) порождена следующим семейством
полунорм:
n
p
(x) := sup
c
M
|hx, bxi| :cM ∈cMo.
bx∈cM
90
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]