Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Функциональный анализ для магистрантов. Учебное пособие
.pdf
Доказательство. Пусть M вполне ограничено. В силу то-
го, что
conv(M ) ⊂ absconv(M),
достаточнно установить вполне ограниченность множества
absconv(M ).
Пусть U — абсолютно выпуклая окрестность нуля. Тогда
найдутся x1, . . . , xnтакие, что M ⊂
что
n
S
(xi+U ). Отсюда следует,
i=1
absconv(M ) ⊂ absconv({xi}) + U.
Но множество absconv({xi}) — компактно, поэтому оно вполне
ограничено. Значит, найдутся y1, . . . , ymтакие, что
m
[
absconv({xi}) ⊂
(yi+ U ).
i=1
Отсюда получим, что
absconv(M ) ⊂ absconv({xi}) + U ⊂
m
S
⊂
(yi+ U ) + U ⊂
i=1
m
S
(yi+ 2U ).
i=1
Пример 2.6.1. Выпуклая оболочка компактного множе-
ства может быть не компактным множеством.
Пусть X — банахово пространство с нормированным базисом {en}. Тогда множество K :={en/n } ∪ {0} компактно.
Рассмотрим
m
xm:=
X
(2nn)−1en+2m(m + 1)
n=1
−1
e
∈ conv(K).
m+1
Тогда
∞
xm→x0:=
P
(2nn)−1en6∈ conv(K).
n=1
61
2.7. Конечномерные подпространства линейных
В силу отделимости пространства X получим
m
X
k=1
γkek= 0.
Это в силу линейной независимости векторов {ek} дает
∀k ∈
1, m γk= 0.
Так как
m
P
k=1
|γ
k,α
| = 1, то и
m
P
k=1
|γk| = 1. Но это противоречит
равенствам γk= 0 (k ∈
1, m).
Следствия. 1. Все о тделимые конечномерные линейные
топологические пространства одинаковой размерности и над
одним полем изоморфны.
2. Все отделимые конечномерные линейные топологиче-
ские пространства полны.
3. В конечномерном отделимом линейном топологическом
пространстве множество компактно тогда и только тогда,
когда оно ограничено и замкнуто.
Утверждение 2.7.1. В отделимом линейном то-
пологическом пространстве X справедливы следующие
утверждения:
1. Любое конечномерное многообразие в X замкнуто, т. е.
является подпространством X.
2. Любой линейный функционал и любая полунорма на ко-
нечномерном подпространстве про странства X непрерывны.
Утверждение 2.7.2. Пусть X — отделимое линейное
топологическое пространство, X1, X2— его подпростран-
ства, причем X2конечномерно. Тогда X1+X2— подпростран-
ство.
Доказательство. Требуется доказать только замкнутость
X1+ X2, и лишь в случае, когда X2= hei и e 6∈ X1.
63
топологических пространств
Теорема 2.7.1. Пусть e1, . . . , emлинейно независимы в
отделимом линейном топологическом пространстве X . Тогда
в силу определения линейного топологического пространства
(в нем алгебраические операции непрерывны).
Не ограничивая общности, можно считать, что
m
P
λ
k,αek
k=1
Доказательство.
−→
α
m
P
k=1
λke
k
⇐= . Это утверждение справедливо
=⇒ . Пусть
zα:=
m
X
k=1
λ
k,αek
m
X
⇐⇒∀k ∈
X
−→
α
k=1
1, m λ
k,α
−→αλ
.
k
m
λkek.
λkek= 0.
Предположим противное. Тогда, не ограничивая общности,
можно считать, что
k=1
m
В силу своей ограниченности множество { γ
предкомпактно в P, поэтому опять можно считать, что
µα:=
X
k=1
|λ
k,α
| > ε > 0.
k,α
}:={λ
k,α
/µα}
γ
k,α
−→αγk.
Поэтому
m
P
z
α
µ
α
=
k=1
γ
k,αek
−→
α
m
P
k=1
γkek.
62
В силу отделимости пространства X получим
m
X
γkek= 0.
k=1
Это в силу линейной независимости векторов {ek} дает
1, m γk= 0.
∀k ∈
m
P
|γ
Так как
k=1
| = 1, то и
k,α
равенствам γk= 0 (k ∈
1, m).
m
P
|γk| = 1. Но это противоречит
k=1
Следствия. 1. Все о тделимые конечномерные линейные
топологические пространства одинаковой размерности и над
одним полем изоморфны.
2. Все отделимые конечномерные линейные топологиче-
ские пространства полны.
3. В конечномерном отделимом линейном топологическом
пространстве множество компактно тогда и только тогда,
когда оно ограничено и замкнуто.
Утверждение 2.7.1. В отделимом линейном то-
пологическом пространстве X справедливы следующие
утверждения:
1. Любое конечномерное многообразие в X замкнуто, т. е.
является подпространством X.
2. Любой линейный функционал и любая полунорма на ко-
нечномерном подпространстве про странства X непрерывны.
Утверждение 2.7.2. Пусть X — отделимое линейное
топологическое пространство, X1, X2— его подпространства, причем X2конечномерно. Тогда X1+X2— подпространство.
Доказательство. Требуется доказать только замкнутость
X1+ X2, и лишь в случае, когда X2= hei и e 6∈ X1.
63
Пусть xα+ λαe −→αx0, {xα} ⊂ X1.
Г л а в а 3
Линейные операторы в локально
выпуклых пространствах
3.1. Условия непрерывности линейных операторов
в линейных топологических пространствах
и борнологические пространства
Утверждение 3.1.1. Пусть X, Y — линейные топологи-
ческие пространства, а A : X →Y — линейный оператор. Сле-
дующие условия эквивалентны:
1. A непрерывен на X.
2. A непрерывен в нуле.
3. A равномерно непрерывен на X, т. е.
∀UY(0) ∃UX(0) ∀x, x0∈ X
(x − x0) ∈ UX(0) =⇒(Ax − Ax0) ∈ UY(0).
(3.1.1)
Утверждение 3.1.2. Пусть X, Y — линейные топологи-
ческие пространства, а A : X → Y — линейный оператор. Ес-
ли A ограничен на некоторой окрестности нуля, то A непре -
рывен на X.
Следствия. Пусть X — линейное то пологическое про-
странство. Справедливы следующие утверждения:
1. Если Y — нормированное пространство, а A : X →Y —
линейный оператор, то A непрерывен на X тогда и только
тогда, когда A ограничен на не ко торой окрестности нуля.
2. Линейный функционал на X непрер ы вен на X тогда и
только тогда, когда он ограничен на некоторой окрестности
нуля.
65
1. Если у направленности {λα} есть ограниченная поднаправленность, то, не ограничивая общности, можно считать,
что λα−→αλ. Тогда
xα= −λαe + (xα+ λαe) −→α−λe + x0∈ X1=⇒
2. Покажем, что если у направленности {λα} нет ограниченных поднаправленностей, то у нее есть поднаправленность
{λ
} такая, что |λ
ϕ(β)
Рассмотрим направленное множество B:= A × N. Тогда
x0= (x0− λe) + λe ∈ X1+ hei.
|−→β+∞.
ϕ(β)
0
∀β = (α, n) ∃ α0(α0 α) ∧ (|λ
| > n),
α
ибо в противном случае
∃bβ = ( bα, bn) ∀α (α bα =⇒|λα| 6 bn),
т. е. тривиальная поднаправленность {λα}
Определим
ϕ(β) = ϕ(α, n) := α0, где (α0 α) ∧ (|λ
Тогда |λ
(переходя к этой поднаправленности), можно считать, что
|λα|−→α+∞. Тогда
что противоречит условию e 6∈ X1.
|−→β+∞. Тем самым, не ограничивая общности
ϕ(β)
1
(xα+ λαe) =
λ
α
1
xα+ e −→α0 =⇒
λ
α
1
λ
α
ограничена.
αbα
0
| > n).
α
xα−→α−e ∈ X1,
Г л а в а 3
Линейные операторы в локально
выпуклых пространствах
3.1. Условия непрерывности линейных операторов
в линейных топологических пространствах
и борнологические пространства
Утверждение 3.1.1. Пусть X, Y — линейные топологи-
ческие пространства, а A : X →Y — линейный оператор. Следующие условия эквивалентны:
1. A непрерывен на X.
2. A непрерывен в нуле.
3. A равномерно непрерывен на X, т. е.
∀UY(0) ∃UX(0) ∀x, x0∈ X
(x − x0) ∈ UX(0) =⇒(Ax − Ax0) ∈ UY(0).
Утверждение 3.1.2. Пусть X, Y — линейные топологи-
ческие пространства, а A : X → Y — линейный оператор. Если A ограничен на некоторой окрестности нуля, то A непре рывен на X.
Следствия. Пусть X — линейное то пологическое про-
странство. Справедливы следующие утверждения:
1. Если Y — нормированное пространство, а A : X →Y —
линейный оператор, то A непрерывен на X тогда и только
тогда, когда A ограничен на не ко торой окрестности нуля.
2. Линейный функционал на X непрер ы вен на X тогда и
только тогда, когда он ограничен на некоторой окрестности
нуля.
(3.1.1)
65
Определение. Пусть X, Y — линейные топологические
Теорема 3.1 . 1 . Локально выпуклое пространство X —
борнологическое тогда и только тогда, когда для любого ло-
кально выпуклого пространства Y множество всех ограни-
ченных линейных операторов из X в Y совпадает с L(X, Y ).
Доказательство.
=⇒ . Пусть A : X → Y — линейный
ограниченный оператор и ωY(0) 3 U — абсолютно выпуклое,
тогда и A−1(U) — абсолютно выпуклое. Пусть M — ограничен-
ное в X множество, тогда A(M) — ограниченное в Y множе-
ство, т. е
∃λ > 0 A(M ) ⊂ λU.
Поэтому
λ−1M ⊂ A−1(U).
Тем самым A−1(U) — окрестность нуля в силу борнологичности
пространства X.
⇐= . Пусть X — локально выпуклое пространство с то-
пологией τ. Рассмотрим на X еще одну локально выпуклую
топологию τ0, порожденную семейством ωτ(0) ∪ β, где β —
все абсолютно выпуклые множества из X, поглощающие лю-
бое ограниченное множество в X. Тогда hX, τ0i — борнологи-
ческое и τ ⊂ τ0. При этом, если M является τ -ограниченным
множеством, то оно является и τ0-ограниченным множеством,
поскольку каждое V ∈ β поглощает M . Таким образом, тож-
дественное отображение I : hX, τ i→hX, τ0i есть ограниченное
линейное отображение, поэтому оно непрерывно. Отсюда сле-
дует, что τ0⊂ τ , и тем самым τ = τ0.
Утверждение 3.1.4. Пусть X — борнологическое
пространство, Y — локально выпуклое пространство, а
A : X →Y — линейный оператор. Тогда
(A непрерывен на X) ⇐⇒
(A секвенциально непрерывен на X).
67
пространства. Множество всех линейных непрерывных на X
операторов A : X → Y будем обозначать L(X, Y ).
Утверждение 3.1.3. Пусть X, Y — линейные топологи-
ческие пространства. Если A ∈ L(X, Y ), то A ограничен, т. е.
переводит любое ограниченное множество в ограниченное.
Замечание. В общем случае утверждение, обратное утверждению 3.1.3, неверно. Пусть X — банахово пространство. Покажем, что любое слабо ограниченное множество является и
сильно ограниченным.
Предположим противное. Пусть для любого ϕ ∈ X∗множество ϕ(M) ограничено, а само M не является ограниченным.
Тогда
Отсюда следует, что
∃{xn} ⊂ M ||xn||→+∞.
∀ϕ ∈ X∗ϕxn/
p
||xn||→0.
Поэтому
xn/
p
||x
n
||сл−→0 и xn/
p
||x
n
||→+∞.
Но всякая слабо сходящаяся последовательность ограничена
[13, п. 3.9], т. е. приходим к противоречию.
скольку e
Рассмотрим теперь пространство lpи en:={δnm} ∈ lp. По-
сл
−→0 и en6 →0, то тождественный оператор
n
I : hlp, σ(lp, (lp)∗)i→hlp, || · ||pi
является ограниченным, но даже не секвенциально непрерывным.
Определение. Локально выпуклое пространство X назы-
вается борнологическим (или пространством Макки), если в
нем любое абсолютно выпуклое множество, поглощающее любое ограниченное множество, есть окрестность нуля.
66
Теорема 3.1 . 1 . Локально выпуклое пространство X —
борнологическое тогда и только тогда, когда для любого локально выпуклого пространства Y множество всех ограниченных линейных операторов из X в Y совпадает с L(X, Y ).
Доказательство.
ограниченный оператор и ωY(0) 3 U — абсолютно выпуклое,
тогда и A−1(U) — абсолютно выпуклое. Пусть M — ограниченное в X множество, тогда A(M) — ограниченное в Y множество, т. е
Поэтому
Тем самым A−1(U) — окрестность нуля в силу борнологичности
пространства X.
⇐= . Пусть X — локально выпуклое пространство с то-
пологией τ. Рассмотрим на X еще одну локально выпуклую
топологию τ0, порожденную семейством ωτ(0) ∪ β, где β —
все абсолютно выпуклые множества из X, поглощающие любое ограниченное множество в X. Тогда hX, τ0i — борнологическое и τ ⊂ τ0. При этом, если M является τ -ограниченным
множеством, то оно является и τ0-ограниченным множеством,
поскольку каждое V ∈ β поглощает M . Таким образом, тождественное отображение I : hX, τ i→hX, τ0i есть ограниченное
линейное отображение, поэтому оно непрерывно. Отсюда следует, что τ0⊂ τ , и тем самым τ = τ0.
=⇒ . Пусть A : X → Y — линейный
∃λ > 0 A(M ) ⊂ λU.
λ−1M ⊂ A−1(U).
Утверждение 3.1.4. Пусть X — борнологическое
пространство, Y — локально выпуклое пространство, а
A : X →Y — линейный оператор. Тогда
(A непрерывен на X) ⇐⇒
(A секвенциально непрерывен на X).
67
Доказательство. ⇐= . В силу предыдущей теоремы до-
Доказательство. Пусть Y — локально выпуклое про-
странство, ωX(0) = { Un}, U
n+1
⊂ Unи оператор A : X →Y —
линейный. Если A 6∈ L(X, Y ), то найдется такая окрестность
нуля V ∈ ωY(0), что множество A−1(V ) — не окрестность нуля
в X. Поэтому для любого n ∈ N множество nA−1(V ) не явля-
ется окрестностью нуля в X. Тем самым
∃xn∈ Unxn6∈ nA−1(V ).
Отсюда следует, что Axn6∈ nV . Таким образом, последователь-
ность {xn} — ограничена, а {Axn} — нет.
3.2. Линейные функционалы
Определения. 1. Множество всех линейных функциона-
лов, определенных на всем линейном пространстве X, обозна-
чается X#(отметим, что оно само есть линейное пространство
над полем P).
2. Пусть X — линейное топологическое пространство над
полем P. Линейное пространство X∗:= L(X, P) называется со-
пряженным к линейному топологическому пространству X.
Утверждение 3.2.1. Пусть X — линейное простран-
ство. Справедливы следующие утверждения:
1. ∀x0∈ X ∃ϕ0∈ X#ϕ0(x0) = 1.
2. Если 0 6= ϕ ∈ X#, то Ker ϕ = ϕ−1(0) — линейное ги-
пермногообразие пространства X , т. е.
∃e ∈ X Ker ϕ ⊕ hei = X.
Доказательство.
2 . Пусть e ∈ X таково, что ϕ(e) = 1,
тогда
∀x ∈ X (x − ϕ(x)e) ∈ Ker ϕ.
69
статочно показать, что A — ограниченный оператор.
Пусть X ⊃ M ограничено, {yn} ⊂ A(M ) и P 3 λn→0.
Тогда
∀n ∈ N ∃xn∈ M yn= Axnи λnyn= λnAxn= A(λnxn).
Но в силу утверждения 2.1.8 справедливо соотношение
λnxn→0. Отсюда следует, что A(λnxn) →0, и тогда остается
снова применить утверждение 2.1.8.
Теорема 3.1.2. Локально выпуклое пространство X яв-
ляется борнологическим тогда и только тогда, когда любая
полунорма p(·), ограниченная на любом ограниченном множестве, непрерывна на X.
Доказательство.
ограниченном множестве и V :={x ∈ X : p(x) 6 1 } — абсолютно выпуклое множество. Если X ⊃ M — ограниченное
множество, то и p(M) — ограниченное множество, т. е.
=⇒ . Пусть p(·) ограничена на любом
∃K > 0 p(M ) 6 K.
Отсюда следует, что M ⊂ K · V , т. е. V — окрестность нуля, а
p(·) ограничена на ней. Поэтому в силу пункта 3 утверждения
2.3.3 полунорма p(·) непрерывна на X.
⇐= . Пусть V — абсолютно выпуклое множество, погло-
щающее любое ограниченное множество. Тогда по пункту 5
теоремы 2.3.1 функционал Минковского pV(·) — полунорма
в X, при этом она ограничена на любом ограниченном множестве. Поэтому полунорма pV(·) непрерывна на X. Тогда
V ⊃ {x ∈ X : pV(x) < 1 } — окрестность нуля.
Утверждение 3.1.5. Если X — метризуемое локально
выпуклое пространство, то X — борнологическое пространство.
68
Доказательство. Пусть Y — локально выпуклое про-
странство, ωX(0) = { Un}, U
⊂ Unи оператор A : X →Y —
n+1
линейный. Если A 6∈ L(X, Y ), то найдется такая окрестность
нуля V ∈ ωY(0), что множество A−1(V ) — не окрестность нуля
в X. Поэтому для любого n ∈ N множество nA−1(V ) не является окрестностью нуля в X. Тем самым
∃xn∈ Unxn6∈ nA−1(V ).
Отсюда следует, что Axn6∈ nV . Таким образом, последователь-
ность {xn} — ограничена, а {Axn} — нет.
3.2. Линейные функционалы
Определения. 1. Множество всех линейных функционалов, определенных на всем линейном пространстве X, обозначается X#(отметим, что оно само есть линейное пространство
над полем P).
2. Пусть X — линейное топологическое пространство над
полем P. Линейное пространство X∗:= L(X, P) называется со-
пряженным к линейному топологическому пространству X.
Утверждение 3.2.1. Пусть X — линейное простран-
ство. Справедливы следующие утверждения:
1. ∀x0∈ X ∃ϕ0∈ X#ϕ0(x0) = 1.
2. Если 0 6= ϕ ∈ X#, то Ker ϕ = ϕ−1(0) — линейное ги-
пермногообразие пространства X , т. е.
∃e ∈ X Ker ϕ ⊕ hei = X.
Доказательство.
2 . Пусть e ∈ X таково, что ϕ(e) = 1,
тогда
∀x ∈ X (x − ϕ(x)e) ∈ Ker ϕ.
69
Очевидно, что X0⊂
n
T
i=1
Ker ϕi. Пусть x0∈
n
T
i=1
Ker ϕi, тогда
x0−
n
P
i=1
ϕi(x0)ei= x0, поэтому x0∈ X0, тем самым
n
x −
n
X
i=1
ϕi(x)ei: x ∈ Xo=
n
\
i=1
Ker ϕi. (3.2.2)
3. Если Ker ϕ
n+1
⊃ X0, то для любого x ∈ X справедливо
соотношение
0 = ϕ
n+1
x −
n
X
i=1
ϕi(x)e
i
= ϕ
n+1
(x) −
n
X
i=1
ϕi(x)ϕ
n+1(ei
).
Тем самым ϕ
n+1
(x) =
n
P
i=1
λiϕi(x), где λi:= ϕ
n+1(ei
), что проти-
воречит предположению.
4. В противном случае найдется ee
n+1
: ϕ
n+1
(ee
n+1
) = 1, а
ϕi(ee
n+1
) = 0, i ∈
1, n. Определим новые векторы eei, i ∈ 1, n
по формуле eei:= ei− ϕ
n+1(ei
)ee
n+1
. Тогда ϕi(eej) = δijпри
i, j ∈ 1, n + 1.
Следствия. Пусть X — линейное пространство и
{ϕ0, . . . , ϕn} ⊂ X#. Справедливы следующие утверждения:
1. ϕ0∈< ϕ1, . . . , ϕn>⊂ X#⇐⇒ Ker ϕ0⊃
n
T
i=1
Ker ϕi.
2. Ker ϕ1= Ker ϕ2⇐⇒ ∃0 6= λ ∈ P ϕ1= λϕ2.
Лемма 3.2.1. Пусть X — линейное пространство,
ϕ ∈ X#, e ∈ X, ϕ(e) = 1, H = Ker ϕ, X ⊃ U — урав-
новешенное множество и V = {x ∈ X : |ϕ(x)| < 1 }.
Тогда
e + U∩H = Ø⇐⇒(U ⊂ V ),
т. е. V — самое большое уравновешенное множество, удовле-
творяющее соотношениюe + V∩ H = Ø.
71
Утверждение 3.2.2. Пусть X — линейное простран-
ство, ϕ ∈ X#, а p(·) — полунорма на X. Тогда
Поэтому
Но это возможно лишь тогда, когда ϕ(x0) = 0.
sup
p(x)61
Доказательство. 1. Пусть p(x0) = 0, тогда
|ϕ(x)| 6 1=⇒∀x ∈ X |ϕ(x)| 6 p(x). (3.2.1)
∀λ ∈ P p(λx0) = λp(x0) = 0.
∀λ ∈ P |ϕ(λx0)| = λ|ϕ(x0)| 6 1.
2. Пусть p(x0) 6= 0, тогда px0/p(x0)= 1. Поэтому
ϕx0/p(x0)
6 1 или |ϕ(x0)| 6 p(x0).
Утверждение 3.2.3. В линейном топологическом про-
странстве линейное гипермногообразие либо замкнуто, либо
всюду плотно.
Теорема 3.2.1. Пусть X — линейное пространство. То-
гда
(X#⊃ {ϕ1, . . . , ϕn} линейно независимы) ⇐⇒
∃{e1, . . . , en} ⊂ X ϕi(ej) = δ
.
ij
Доказательство.
утверждение очевидно справедливо. Сделаем шаг индукции.
Пусть {ϕ1, . . . , ϕ
ложению индукции найдутся векторы {e1, . . . , en} такие, что
ϕi(ej) = δij.
n+1
2. Рассмотрим множество
X0:={x −
=⇒ . 1. Индукцией по n. При n = 1
} линейно независимы, тогда по предпо-
n
X
ϕi(x)ei: x ∈ X }.
i=1
70
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]