Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Функциональный анализ для магистрантов. Учебное пособие
.pdf
Очевидно, что X0⊂
n
P
x0−
ϕi(x0)ei= x0, поэтому x0∈ X0, тем самым
i=1
n
T
Ker ϕi. Пусть x0∈
i=1
n
T
Ker ϕi, тогда
i=1
n
n
X
x −
i=1
3. Если Ker ϕ
ϕi(x)ei: x ∈ Xo=
⊃ X0, то для любого x ∈ X справедливо
n+1
n
\
Ker ϕi. (3.2.2)
i=1
соотношение
n+1
n
X
i=1
n+1(ei
: ϕ
ϕi(x)ϕ
n+1(ei
), что проти-
(ee
n+1
n+1
).
) = 1, а
0 = ϕ
n+1
Тем самым ϕ
x −
n+1
n
X
i=1
(x) =
ϕi(x)e
воречит предположению.
= ϕ
i
n
P
λiϕi(x), где λi:= ϕ
i=1
4. В противном случае найдется ee
ϕi(ee
по формуле eei:= ei− ϕ
) = 0, i ∈
n+1
1, n. Определим новые векторы eei, i ∈ 1, n
)ee
n+1(ei
(x) −
n+1
. Тогда ϕi(eej) = δijпри
n+1
i, j ∈ 1, n + 1.
Следствия. Пусть X — линейное пространство и
{ϕ0, . . . , ϕn} ⊂ X#. Справедливы следующие утверждения:
n
1. ϕ0∈< ϕ1, . . . , ϕn>⊂ X#⇐⇒ Ker ϕ0⊃
T
Ker ϕi.
i=1
2. Ker ϕ1= Ker ϕ2⇐⇒ ∃0 6= λ ∈ P ϕ1= λϕ2.
Лемма 3.2.1. Пусть X — линейное пространство,
ϕ ∈ X#, e ∈ X, ϕ(e) = 1, H = Ker ϕ, X ⊃ U — урав-
новешенное множество и V = {x ∈ X : |ϕ(x)| < 1 }.
Тогда
e + U∩H = Ø⇐⇒(U ⊂ V ),
т. е. V — самое большое уравновешенное множество, удовлетворяющее соотношениюe + V∩ H = Ø.
71
Доказательство. ⇐= . Справедливость этого утвержде-
уравновешенная окрестность нуля такая, что (e + U ) ∩ H = Ø.
В силу леммы 3.2.1 отсюда следует, что
U ⊂ {x ∈ X : |ϕ(x)| < 1 },
т. е. функционал ϕ ограничен на U . Тем самым в силу утвер-
ждения 3.1.2 получим ϕ ∈ X∗.
3.3. Теорема Х ана – Банаха и ее следствия
Теорема 3.3 . 1 (Хана — Банаха, о продолжении ли-
нейного функционала). Пусть X — линейное прос тран-
ство над полем R, p : X →R — полуаддитивный и положи-
тельно однородный функционал, L0— линейное многообразие
в X, ϕ0∈ L
#
0
и
∀x ∈ L0ϕ0(x) ≤ p(x). (3.3.1)
Тогда существует ϕ ∈ X#, продолжающий ϕ0с сохране-
нием неравенства (3.3.1), т. е.
(∀x ∈ L0ϕ(x) = ϕ0(x)) ∧ (∀x ∈ X ϕ(x) ≤ p(x)),
(см., например: [13, теор. 3.5.1]).
Теорема 3.3 . 2 (комплексный вариант теоремы Ха-
на — Банаха). Пусть X — линейное пространство над C,
p(·) — полунорма на X , L0— линейное многообразие в X,
ϕ0∈ L
#
0
и ∀x ∈ L0|ϕ0(x)| ≤ p(x). Тогда существует такой
ϕ ∈ X#, что ∀x ∈ L0ϕ(x) = ϕ0(x) и ∀x ∈ X |ϕ(x)| ≤ p(x),
(см., например: [13, теор. 3.5.2]).
Теорема 3.3 . 3 (об отделимости выпуклых мно-
жеств). Если M , N — выпуклые множества в линейном
73
ния следует из соотношения
ϕ(e + U )b⊂ϕ(e + V ) = 1 + ϕ(V ) 63 0.
=⇒ . Пусть U 6⊂ V . Тогда найдется x0∈ U такой, что
|ϕ(x0)| > 1. Тогда
Тем самым
x
0
−
ϕ(x0)
x
∈ U и ϕe −
0
ϕ(x0)
= 0.
e + U∩ H 6= Ø.
Утверждение 3.2.4. Пусть X — линейное топологиче-
ское пространство и 0 6= ϕ ∈ X#. Тогда ϕ — открытое отображение, т. е. ∀G ∈ τXϕ(G) ∈ τP.
Доказательство. Пусть x0∈ G ∈ τXи λ0:= ϕ(x0). Так
как G ∈ τX, то найдется окрестность нуля U ∈ ωX(0) такая,
что x0+ U ⊂ G. Поэтому ϕ(G) ⊃ λ0+ ϕ(U ).
Покажем, что ϕ(U) — окрестность нуля в P. Так как 0 6= ϕ,
то найдется вектор e ∈ X такой, что ϕ(e) = 1. В силу того, что
U — поглощающее множество, справедливо соотношение
∃µ0> 0 ∀ |µ| > µ0e ∈ µU.
Тем самым (0, 1/µ0; P) ⊂ ϕ(U).
Утверждение 3.2.5. Пусть X — линейное топологиче-
ское пространство и ϕ ∈ X#. Тогда
(ϕ ∈ X∗) ⇐⇒ (Ker ϕ — замкнутое множество).
Доказательство.
H = X, то ϕ = 0. Пусть H 6= X и e ∈ X такое, что ϕ(e) = 1.
Тогда e 6∈ H — замкнутое множество. Поэтому найдется U —
⇐= . Положим H := Ker ϕ. Если
72
уравновешенная окрестность нуля такая, что (e + U ) ∩ H = Ø.
В силу леммы 3.2.1 отсюда следует, что
U ⊂ {x ∈ X : |ϕ(x)| < 1 },
т. е. функционал ϕ ограничен на U . Тем самым в силу утверждения 3.1.2 получим ϕ ∈ X∗.
3.3. Теорема Х ана – Банаха и ее следствия
Теорема 3.3 . 1 (Хана — Банаха, о продолжении ли-
нейного функционала). Пусть X — линейное прос тран-
ство над полем R, p : X →R — полуаддитивный и положительно однородный функционал, L0— линейное многообразие
в X, ϕ0∈ L
Тогда существует ϕ ∈ X#, продолжающий ϕ0с сохране-
нием неравенства (3.3.1), т. е.
#
и
0
∀x ∈ L0ϕ0(x) ≤ p(x). (3.3.1)
(∀x ∈ L0ϕ(x) = ϕ0(x)) ∧ (∀x ∈ X ϕ(x) ≤ p(x)),
(см., например: [13, теор. 3.5.1]).
Теорема 3.3 . 2 (комплексный вариант теоремы Ха-
на — Банаха). Пусть X — линейное пространство над C,
p(·) — полунорма на X , L0— линейное многообразие в X,
ϕ0∈ L
#
и ∀x ∈ L0|ϕ0(x)| ≤ p(x). Тогда существует такой
0
ϕ ∈ X#, что ∀x ∈ L0ϕ(x) = ϕ0(x) и ∀x ∈ X |ϕ(x)| ≤ p(x),
(см., например: [13, теор. 3.5.2]).
Теорема 3.3 . 3 (об отделимости выпуклых мно-
жеств). Если M , N — выпуклые множества в линейном
73
вещественном пространстве X,•M 6= Ø и•M ∩ N = Ø, то
Тогда найдется U — уравновешенная окрестность нуля такая,
что e + U ⊂ λ0A. В силу (3.3.2) получим
(e + U ) ∩ Ker ϕ = Ø.
Тогда в силу леммы 3.2.1 справедливо включение
U ⊂ {x ∈ X : |ϕ(x)| < 1 }.
Поэтому
{x ∈ X : |ϕ(x)| < 1 } —
окрестность нуля. В силу утверждения 3.1.2 получим ϕ ∈ X∗.
Тем самым H := Ker ϕ — гиперподпространство.
5. Пусть теперь P = C. Тогда, рассматривая X только над
полем R, мы получим линейное топологическое пространство
над полем R, к которому применимо только что доказанное
утверждение. Поэтому на X существует вещественно линей-
ный непрерывный функционал ϕR(·) такой, что X0⊂ H1и
H1∩A = Ø, где H1:= Ker ϕR. Но тогда ϕ(x) := ϕR(x) −iϕR(ix)
есть линейный непрерывный функционал на исходном про-
странстве X и Ker ϕ = H1∩(iH1) := H [13, лем. 3.5.1], поэтому
H ∩A = Ø и X0⊂ H, поскольку X0= iX0⊂ iH1.
Следствия. 1. Пусть hX, {pγ(·) }i — локально выпуклое
пространство, X ⊃ X0— линейное многообразие. Тогда
∀ϕ0∈ hX0, {pγ(·) }i∗∃ϕ ∈ X∗∀x ∈ X0ϕ0(x) = ϕ(x).
2. Пусть X — линейное пространство. Тогда для любого
x0∈ X и любой полунормы p(·) в X найдется ϕ0∈ X#такой,
что
(ϕ0(x0) = p(x0)) ∧ (∀x ∈ X |ϕ0(x)| 6 p(x)).
3. Пусть X — отделимое локально выпуклое простран-
ство. Тогда
∀x1, x2∈ X(x16= x2) =⇒∃ϕ ∈ X∗ϕ(x1) 6= ϕ(x2)
.
75
существует ϕ ∈ X#, разделяющий M и N , т. е.
sup
x∈M
(см., например: [13, теор. 3.7.1]).
Теорема 3.3.4 (геометрическая форма теоремы Ха-
на — Банаха). Пусть X — линейное топологическое про-
странство, X ⊃ A — открытое выпуклое множество,
X ⊃ X0— линейное многообразие в X и X0∩A = Ø. Тогда су-
ществует гиперподпространство H пространства X такое,
что X0⊂ H и H ∩A = Ø.
ϕ(x) 6 inf
x∈N
ϕ(x)
Доказательство. 1. Сначала докажем теорему в случае
P = R. В силу следствия 2 из утверждения 2.2.7 применима
теорема об отделимости выпуклых множеств, т. е. найдется такой функционал ϕ ∈ X#, что
sup ϕ(X0) 6 inf ϕ(A).
2. Так как X0— линейное многообразие, то ϕ(X0) — ли-
нейное подпространство пространства R, причем ограниченное
сверху. Поэтому ϕ(X0) = {0 }, тем самым X0⊂ Ker ϕ и для
любого x ∈ A справедливо неравенство ϕ(x) > 0.
3. Но по утверждению 3.2.4 множество ϕ(A) является от-
крытым множеством в R. Поэтому 0 6∈ ϕ(A), и тем самым
∀λ (λ 6= 0 =⇒(λA) ∩ Ker ϕ = Ø. (3.3.2)
4. Пусть ee ∈ A, тогда
74
e :=
ee
∈ λ0A, где λ0:=
ϕ(ee
1
ϕ(ee)
.
Тогда найдется U — уравновешенная окрестность нуля такая,
что e + U ⊂ λ0A. В силу (3.3.2) получим
(e + U ) ∩ Ker ϕ = Ø.
Тогда в силу леммы 3.2.1 справедливо включение
U ⊂ {x ∈ X : |ϕ(x)| < 1 }.
Поэтому
{x ∈ X : |ϕ(x)| < 1 } —
окрестность нуля. В силу утверждения 3.1.2 получим ϕ ∈ X∗.
Тем самым H := Ker ϕ — гиперподпространство.
5. Пусть теперь P = C. Тогда, рассматривая X только над
полем R, мы получим линейное топологическое пространство
над полем R, к которому применимо только что доказанное
утверждение. Поэтому на X существует вещественно линейный непрерывный функционал ϕR(·) такой, что X0⊂ H1и
H1∩A = Ø, где H1:= Ker ϕR. Но тогда ϕ(x) := ϕR(x) −iϕR(ix)
есть линейный непрерывный функционал на исходном пространстве X и Ker ϕ = H1∩(iH1) := H [13, лем. 3.5.1], поэтому
H ∩A = Ø и X0⊂ H, поскольку X0= iX0⊂ iH1.
Следствия. 1. Пусть hX, {pγ(·) }i — локально выпуклое
пространство, X ⊃ X0— линейное многообразие. Тогда
∀ϕ0∈ hX0, {pγ(·) }i∗∃ϕ ∈ X∗∀x ∈ X0ϕ0(x) = ϕ(x).
2. Пусть X — линейное пространство. Тогда для любого
x0∈ X и любой полунормы p(·) в X найдется ϕ0∈ X#такой,
что
(ϕ0(x0) = p(x0)) ∧ (∀x ∈ X |ϕ0(x)| 6 p(x)).
3. Пусть X — отделимое локально выпуклое простран-
ство. Тогда
∀x1, x2∈ X(x16= x2) =⇒∃ϕ ∈ X∗ϕ(x1) 6= ϕ(x2)
.
75
4. Любое конечномерное подпространство в отделимом ло-
ϕ0(x1− x2) = p
γ
0
(x1− x2) 6= 0 и ∀x ∈ X |ϕ0(x)| 6 p
γ
0
(x).
Тем самым ϕ0∈ X∗.
4 . Пусть X1= he1, . . . , eni, а функционалы
o
ϕ
j
определены
формулой
o
ϕ
j
n
X
i=1
λie
i
=: λj.
Тогда
o
ϕ
j
(·) ∈ X
∗
1
при любом j ∈
1, n. Пусть ϕj(·) — продолже-
ние
o
ϕ
j
(·) на X с сохранением непрерывности.
Тогда X2:=nx −
n
P
j=1
ϕj(x)ej: x ∈ X
o
(3.2.2)
=
n
T
j=1
Ker ϕj—
подпространство и
∀x ∈ X x =
n
X
j=1
ϕj(x)ej+x −
n
X
j=1
ϕj(x)e
j
.
5 . Пусть x0∈ X \ X0— открытое множество. Тогда най-
дется U— открытая и выпуклая окрестность нуля такая, что
x0+ U∩ X0= Ø. По теореме 3.3.4 найдется такое гипер-
подпространство H ⊃ X0, чтоx0+ U∩ H = Ø. Положим
ϕ0(λx0+ H ):= λ.
6 . Пусть A ∩ M = Ø. Тогда 0 6∈ (A − M ) — выпуклое
и открытое множество. Поэтому по теореме 3.3.4 существует
ϕ ∈ X∗такой, что
(A − M ) ∩ Ker ϕ = Ø.
Тем самым 0 6∈ ϕ(A) − ϕ(M).
3.4. Двойственность и слабая топология
Определение. Говорят, что пара (X,bX) линейных про-
странств над полем P есть дуальная пара или пространства
77
кально выпуклом пространстве дополняемо.
5. Пусть X — локально выпуклое пространство и X0—
его собственное подпространство. Тогда
и ϕ0(x0) = 1.
6. Пусть X — линейное топологическое пространство,
A — открытое выпуклое подмножество в X, X ⊃ M — вы-
пуклое множество и A ∩ M = Ø. Тогда существует функционал ϕ ∈ X∗такой, что ϕ(A) ∩ ϕ(M ) = Ø.
Доказательство.
∀x06∈ X0∃ϕ0∈ X∗X0⊂ Ker ϕ
1 . Так как ϕ0∈ hX0, {pγ(·) }i∗, то
0
U0:={x ∈ X0: |ϕ0(x)| 6 1 } —
окрестность нуля в hX0, {pγ(·) }i. Поэтому
∃γ1, . . . , γk, ε > 0 {x ∈ X0: p0(x) 6 ε } ⊂ U0,
где p0(x) := max
в силу утверждения 3.2.2 получим
i∈
p
(x) — непрерывная на X полунорма. Тогда
γ
i
1,k
∀x ∈ X0|ϕ0(x)| 6 p0(x)/ε.
Применив теорему 3.3.1, получим
∃ϕ ∈ X#∀x ∈ X0ϕ0(x) = ϕ(x) и ∀x ∈ X |ϕ(x)| 6 p0(x)/ε.
Тем самым ϕ ∈ X∗.
2 . На X0:=hx0i положим ϕ0(λx0) := λp(x0).
3 . Так как X — отделимое пространство, то
∃p
p
(x1− x2) 6= 0.
γ
γ
0
0
В силу пункта 2 получим, что существует функционал ϕ0∈ X
такой, что
#
76
ϕ0(x1− x2) = p
(x1− x2) 6= 0 и ∀x ∈ X |ϕ0(x)| 6 p
γ
0
γ
0
(x).
Тем самым ϕ0∈ X∗.
4 . Пусть X1= he1, . . . , eni, а функционалы
формулой
o
ϕ
Тогда
ние
(·) ∈ X
j
o
ϕ
(·) на X с сохранением непрерывности.
j
Тогда X2:=nx −
∗
при любом j ∈
1
n
X
o
ϕ
j
i=1
λie
i
1, n. Пусть ϕj(·) — продолже-
n
P
ϕj(x)ej: x ∈ X
j=1
=: λj.
o
(3.2.2)
=
o
ϕ
определены
j
n
T
Ker ϕj—
j=1
подпространство и
n
X
j=1
ϕj(x)e
.
j
∀x ∈ X x =
n
X
ϕj(x)ej+x −
j=1
5 . Пусть x0∈ X \ X0— открытое множество. Тогда най-
дется U— открытая и выпуклая окрестность нуля такая, что
x0+ U∩ X0= Ø. По теореме 3.3.4 найдется такое гипер-
подпространство H ⊃ X0, чтоx0+ U∩ H = Ø. Положим
ϕ0(λx0+ H ):= λ.
6 . Пусть A ∩ M = Ø. Тогда 0 6∈ (A − M ) — выпуклое
и открытое множество. Поэтому по теореме 3.3.4 существует
ϕ ∈ X∗такой, что
(A − M ) ∩ Ker ϕ = Ø.
Тем самым 0 6∈ ϕ(A) − ϕ(M).
3.4. Двойственность и слабая топология
Определение. Говорят, что пара (X,bX) линейных про-
странств над полем P есть дуальная пара или пространства
77
X иbX находятся в двойственности, если существует такая
Тем самым
hx, bxi = hbx, [x]i. (3.4.1)
Пример 3.4.2. Если X — отделимое локально выпуклое
пространство, то (X, X∗) — дуальная пара в силу следствия 3
из теоремы Хана — Банаха.
Определение. Пусть (X,bX) — дуальная пара. Слабой то-
пологией на X, порожденной двойственностью, называется
локально выпуклая топология, определяемая следующим се-
мейством полунорм:
{pbx(x) := |hx, bxi| : bx ∈bX }.
Эта топология обозначается σ(X,bX).
Утверждение 3.4.1. Пусть (X,bX) — дуальная пара. То-
гда σ(X,bX) — слабейшая топология на X, в которой все bx
непрерывны. При этом σ(X,bX) — отделимая локально выпук-
лая топология на X.
Следствие. Пусть X — линейное пространство. Тогда
любой линейный функционал x#∈ X#непрерывен в тополо-
гии σ(X, X#).
Замечание. Если (X,bX) — дуальная пара, то в силу
симметричности понятия "дуальность" можно рассматривать
σ(bX, X) — слабую топологию вbX, порожденную двойственно-
стью. Эта топология определяется следующей системой полу-
норм:
{px(bx) := |hx, bxi| : x ∈ X }.
Определение. Пусть X — отделимое локально выпуклое
пространство. Тогда слабой топологией на X называется топо-
логия σ(X, X∗), а∗слабой топологией на X∗называется топо-
логия σ(X∗, X).
79
билинейная форма h·, ·i : X ×bX →P, что справедливы следую-
щие условия:
тотальное подпространство пространства X#, т. е.
нонической билинейной формы: hx, bxi:= bx(x).
1. ∀x ∈ X : x 6= 0 ∃ bx ∈bX : hx, bxi 6= 0.
2. ∀ bx ∈bX : bx 6= 0 ∃ x ∈ X : hx, bxi 6= 0.
Пример 3.4.1. Пусть X — линейное пространство, аbX —
Тогда (X,bX) — дуальная пара относительно следующей ка-
∀bx ∈bX hx, bxi 6= 0=⇒(x = 0).
Замечания. 1. Рассмотренный пример в каком-то смыс-
ле является универсальным. Поскольку если (X,bX) — дуаль-
ная пара, то каждый элемент bx ∈bX порождает линейный
функционал ϕbxна X, определенный формулой ϕbx(x) :=hx, bxi,
и {ϕbx(·) : bx ∈bX } есть тотальное подпространство простран-
ства X#.
В дальнейшем мы всегда будем считать, что если (X,bX) —
дуальная пара, тоbX ⊂ X#и билинейная форма, задающая
двойственность, является канонической, т. е.
2. Разумеется, если (X,bX) — дуальная пара, то и (bX, X) —
дуальная пара относительно билинейной формы
Отметим, что при нашей интерпретации дуальной пары
этот переход от пары (X,bX) к паре (bX, X) осуществляется с
помощью канонического отображения [·] : X →X##, определяемого формулой
hx, bxi:= bx(x).
hbx, xi:=hx, bxi.
∀bx ∈ X#[x](bx) := bx(x).
78
Тем самым
hx, bxi = hbx, [x]i. (3.4.1)
Пример 3.4.2. Если X — отделимое локально выпуклое
пространство, то (X, X∗) — дуальная пара в силу следствия 3
из теоремы Хана — Банаха.
Определение. Пусть (X,bX) — дуальная пара. Слабой то-
пологией на X, порожденной двойственностью, называется
локально выпуклая топология, определяемая следующим семейством полунорм:
{pbx(x) := |hx, bxi| : bx ∈bX }.
Эта топология обозначается σ(X,bX).
Утверждение 3.4.1. Пусть (X,bX) — дуальная пара. Тогда σ(X,bX) — слабейшая топология на X, в которой все bx
непрерывны. При этом σ(X,bX) — отделимая локально выпуклая топология на X.
Следствие. Пусть X — линейное пространство. Тогда
любой линейный функционал x#∈ X#непрерывен в топологии σ(X, X#).
Замечание. Если (X,bX) — дуальная пара, то в силу
симметричности понятия "дуальность" можно рассматривать
σ(bX, X) — слабую топологию вbX, порожденную двойственностью. Эта топология определяется следующей системой полунорм:
{px(bx) := |hx, bxi| : x ∈ X }.
Определение. Пусть X — отделимое локально выпуклое
пространство. Тогда слабой топологией на X называется топология σ(X, X∗), а∗слабой топологией на X∗называется топология σ(X∗, X).
79
Теорема 3.4.1. Пусть (X,bX) — дуальная пара. Тогда
3.5. Топологии, согласующиеся с двойственностью
Определение. Пусть (X,bX) — дуальная пара и τ — ло-
кально выпуклая топология на X. Топология τ называется со-
гласованной с двойственностью (X,bX), если hX, τi∗=bX.
Замечание. Теорема 3.4.1 показывает, что σ(X,bX) — то-
пология, согласованная с двойственностью (X,bX).
Утверждение 3.5.1. Все топологии на X , согласованные
с двойственностью (X,bX), отделимы.
Теорема 3.5 . 1 . Пусть (X,bX) — дуальная пара, τ — то-
пология на X, согласованная с двойственностью (X,bX), а
X ⊃ A — выпуклое и τ -замкнутое множество. Тогда A —
σ(X,bX)-замкнуто.
Доказательство. Пусть A 3 xα−→
σ(X,bX)
x0.
Если x06∈ A, то найдется выпуклая и открытая τ -окрест-
ность нуля U такая, чтоx0+U∩A = Ø. Тогда по следствию 6
из теоремы Хана – Банаха найдется функционал ϕ ∈ X∗такой,
что ϕx0+ U∩ ϕ(A) = Ø.
По утверждению 3.2.4 множество ϕx0+ Uоткрыто, и в
силу того, что X∗=bX = hX, σ(X,bX)i∗, имеем
ϕx0+ U63 ϕ(xα) →ϕ(x0) ∈ ϕx0+ U.
Это соотношение противоречит характеристическому
свойству открытых множеств — пункт 4 теоремы 1.6.1.
Тем самым x0∈ A, и, следовательно, A — σ(X,bX)-замкнуто.
Следствие. Пусть (X,bX) — д уальная пара, τ и τ0— то-
пологии на X , согласующиеся с двойственностью (X,bX), и
X ⊃ A — выпуклое множество. Тогда cl(A; τ) = cl(A; τ0).
81
Доказательство. 1. В силу пункта 2 утверждения 3.4.1
справедливо включениеbX ⊂ hX, σ(X,bX)i∗. Поэтому остается
доказать обратое включение. Пусть x∗∈ hX, σ(X,bX)i∗⊂ X#.
Тогда x∗ограничен на некоторой σ(X,bX)-окрестности нуля
b
X = hX, σ(X,bX)i∗.
U = {x ∈ X : max
sup{|hx, bxii| : max
2. Если x∗6∈ hbx1, . . . , bxni, то по следствию 1 из теоремы 3.2.1
найдется e ∈ X такой, что he, x∗i = 1 и ∀i ∈
Поэтому ∀λ ∈ P λe ∈ U. Но тогда
∀λ ∈ P |hλe, x∗i| = |λ|
|hx, bxii| 6 1 } =: α < ∞. (3.4.2)
1,n
i∈
|hx, bxii| 6 1 }, т. е.
1,n
i∈
(3.4.2)
1, n he, bxii = 0.
6 α,
что противоречиво. Тем самым x∗∈ hbx1, . . . , bxni ⊂bX.
Следствия. 1. Пусть X — линейное пространство. Тогда
X#= hX, σ(X, X#)i∗, X = hX#, σ(X#, X)i∗.
2. Пусть X — отделимое локально выпуклое простран-
ство. Тогда
X∗= hX, σ(X, X∗)i∗, X = hX∗, σ(X∗, X)i∗.
Замечание. Отметим, что последние два равенства говорят о том, что в локально выпуклом пространстве X линейный
функционал непрерывен тогда и только тогда, когда он слабо
непрерывен, а линейный функционал на X
∗ ∗
слабо непрерывен
тогда и только тогда, когда он имеет вид [x].
80
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]