Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория вероятностей. Случайные величины. Учебное пособие
.pdf
Министерство науки и высшего образования Российской Федерации
НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
Е. Л. ВЕРЕТЕЛЬНИКОВА, И. В. ПЕРЕВОЗЧИКОВА
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
Утверждено
Редакционно-издательским советом университета
в качестве учебного пособия
НОВОСИБИРСК
2024
1
УДК 519.21(075.8)
В316
Рецензенты:
Г. В. Саблина, канд. техн. наук, доцент
А. А. Шошин, канд. физ.-мат. наук, ст. науч. сотр. ИЯФ СО РАН
Работа подготовлена на кафедре автоматики
и кафедре инженерной математики
Веретельникова Е. Л.
В316 Теория вероятностей. Случайные величины : учебное по-
собие / Е. Л. Веретельникова, И. В.
Перевозчикова. – Новоси-
бирск : Изд-во НГТУ, 2024. – 102 с.
ISBN 978-5-7782-5191-5
Учебное пособие предназначено для практических занятий по
курсу «Теория вероятностей и математическая статистика». В работе
изложен теоретический материал и приведены примеры решения задач по теории вероятностей. Материал подразделен на четыре темы
и сгруппирован таким образом, чтобы на аудиторном занятии изучалась одна тема. В рамках каждой темы предлагаемый теоретический
материал
нения для самостоятельной работы. Приложение содержит пример
задач варианта расчетно-графического задания.
направлений 09.03.01 и 27.03.04 дневной формы обучения, а также может быть полезно студентам других специальностей, в том числе заочной формы обучения, изучающим дисциплину «Теория вероятностей
и математическая статистика».
ISBN 978-5-7782-5191-5 © Веретельникова Е. Л., Перевозчикова И. В., 2024
иллюстрируется примерами, а затем предлагаются упраж-
Учебное пособие предназначено для студентов I курса АВТФ
УДК 519.21(075.8)
© Новосибирский государственный
технический университет, 2024
2
X
Z
X
Z
X
ВВЕДЕНИЕ
Понятие случайной величины
Под случайной величиной понимают величину, которая в результате
опыта принимает одно из возможных значений, причем неизвестно заранее, какое именно.
Случайные величины (СВ) обозначаются прописными латинскими буквами
,,
), а принимаемые ими значения – соответственно малыми бук-
вами (
изолированные возможные значения с определенными вероятностями
(т. е. СВ, принимающую конечное или счетное множество значений);
она обозначается ДСВ.
значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка
(т.
НСВ.
ные, а
случайной величиной
на пространстве элементарных событий
ментарному событию
,,xx
12
Например:
– число очков, появляющихся при бросании игральной кости;
1)
Y
2)
– число выстрелов до первого попадания в цель;
3)
– время безотказной работы прибора и т. п.
Дискретной называют такую СВ, которая принимает отдельные,
Непрерывной называют такую СВ, которая может принимать все
е. множество ее возможных значений бесконечно); она обозначается
В приведенных примерах случайные величины
– непрерывная.
Можно дать более формальное определение случайной величины:
(),XX
,,,XYZ
,,yy
12
(или
(или строчными греческими буквами
).
и Y – дискрет-
называется числовая функция, определенная
,
которая каждому эле-
ставит в соответствие число
()).Xf
(),X
т. е.
3
A
ÒÅÌÀ 1
ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
1.1. Понятие закона распределения вероятностей СВ
Для задания СВ необходимо указать, какие значения она может принимать и вероятности этих значений.
Любое правило (таблица, функция, график), позволяющее находить
вероятности произвольных событий
),
пространства
в частности указывающее вероятности отдельных
S
(S –
значений случайной величины или множества этих значений, называется законом распределения случайной величины (или просто распределением). Часто про СВ говорят, что «она подчиняется данному закону
распределения».
Таким образом, законом распределения дискретной случайной величины называют соответствие между возможными значениями и их ве-
роятностями. Закон
можно задать следующими способами:
таблично,
аналитически (в виде формулы),
графически.
-алгебра
событий
Способ задания
закона
распределения
Таблично Ряд распределения –
Аналитически
Графически
Функция распределения
Многоугольник распределения
График функции распределения
ДСВ НСВ
Функция распределения
()Fx
Плотность распределения
График функции распределения
График плотности распределения
4
()Fx
()fx
При табличном задании закона распределения дискретной случай-
X
x
x
x
X
X
X
ной величины первая строка таблицы содержит возможные значения,
а вторая – их вероятности, как показано ниже.
P
1
p
1
2
p
2
…
…
n
p
n
Такая таблица называется рядом распределения.
Приняв во внимание, что в одном испытании случайная величина
принимает одно и только одно возможное значение, заключаем, что
события
,,,
xX x X x
12
тельно, сумма вероятностей этих событий равна единице:
pp
2
1.
n
образуют полную группу. Следова-
n
p
1
Пример 1.1
В денежной лотерее выпущено 100 билетов. Разыгрывается один выигрыш в 50 рублей и десять выигрышей по одному рублю. Найти закон
распределения случайной величины
– стоимости возможного выиг-
рыша для владельца одного лотерейного билета.
Решение
Напишем возможные значения
ности этих возможных значений таковы:
12
.()0,89pp
:X
1
50;x
0, 01;p
1
1;x
2
2
3
0,1;p
Вероят-
0.x
1 –p
3
Оформим искомый закон распределения в виде таблицы.
P
50 1 0
0,01 0,1 0,89
Еще одно определение ДСВ: СВ X дискретна, если существует ко-
нечное или счетное множество чисел
для всех i и
0
p
i
123
... 1.pp p
, , ...xx
12
таких, что
{}
PX x
i
Закон распределения дискретной случайной величины может быть
также задан аналитически как
{}()
PX x x
ii
или с помощью функ-
ции распределения.
Для наглядности закон распределения дискретной случайной вели-
чины можно изобразить и графически, для чего в прямоугольной системе
5
координат строят точки
x
X
x
(, ),
а затем соединяют их отрезками пря-
p
ii
мых. Полученную фигуру называют многоугольником распределения.
Пример 1.2
Дискретная случайная величина X задана следующим законом рас-
пределения.
P
1 3 6 8
0,2 0,1 0,4 0,3
Построить многоугольник распределения.
Решение
Построим прямоугольную систему координат, причем по оси абсцисс
будем откладывать возможные значения
ствующие вероятности
и
3
)6, (0,4M
4
Построим точки
.ip
Соединив эти точки отрезками прямых, полу-
.8, 0(,3)M
а по оси ординат – соответ-
,
i
1, 0, 2 ,()M
1
2
чим искомый многоугольник распределения (рис. 1.1).
Рис. 1.1. Многоугольник распределения к примеру 1.2
,3, (0,1)M
6
Математические операции над СВ
x
j
y
j
p
y
Z
Z
Z
y
y
y
j
y
j
xy
xy
xy
X
X
j
y
y
y
X
Суммой (разностью, произведением) ДСВ
с вероятностями
i
щей значения
ется ДСВ
zx
ki j
}
Y
:
для всех указанных значений i и
pPXx
ii
с вероятностями
XY
(
zx
ki j
{}
(,),
zx
,
,
XYZ XY
kij
,X
принимающей значения
1, 2, ..., ,in
{}
PY
и ДСВ ,Y принимаю-
,
j
принимающая значения
)
с вероятностями
.
В случае совпадения неко-
1, 2, ..., ,jm
pPXx
называ-
{,
ki
торых сумм
(разностей
ij
, произведений
ij
) соответ-
ij
ствующие вероятности складываются.
Произведением ДСВ на число с называется ДСВ
значения
Две ДСВ
{}
xA
ii
1, 2, ..., ,jm
с вероятностями
cx
i
и Y называются независимыми, если события
{}
Y
и
{, }{}{}.
PX xY
т. е.
{}.
pPXx
ii
B
независимы для любых
j
ij i j
PX x PY
,cX
принимающая
1, 2, ..., ;in
В других случаях СВ называются зависимыми. Несколько СВ называются взаимно независимыми, если закон распределения любой из них
не зависит от того, какие возможные значения приняли остальные.
Пример 1.3
В урне восемь шаров, из которых пять белых, а остальные черные.
Наудачу берем три шара. Найти закон распределения числа белых шаров
в выборке.
Решение
Возможные значения СВ
0;x
1
1;x
2
2;x
3
4
– числа белых шаров – в выборке есть
Вероятности их соответственно будут
3.x
равны:
03
CC
{0} ;
pPX
1
53
3
C
8
56
1
pPX
{1} ;
2
12
CC
53
3
C
8
15
56
30
p
;
3
56
7
p
4
10
56
.
Закон распределения запишем в виде таблицы.
X
X
x
P
x
F
P
Контроль:
0 1 2 3
1
56
4
i
1153010
p
i
56 56 56 56
1
15
56
1.
30
56
10
56
1.2. Функция распределения
Функцией распределения СВ X называют функцию
ляющую вероятность того, что случайная величина
() { },Fx P X x
:
пытания примет значение меньше
{: () }.
Xx
Геометрически это равенство можно истолковать следующим образом (рис. 1.2):
()Fx
есть вероятность того, что случайная величина при-
мет значение, которое изображается на числовой оси точкой, лежащей
левее
.
(),Fx
опреде-
в результате ис-
т. е.
()Fx
Рис. 1.2. Геометрическая интерпретация функции распределения СВ
Иногда вместо термина «функция распределения» используется термин «интегральная функция распределения».
Свойства функции распределения СВ
()Fx
1.
2.
() ( ).
xFx
12
ограничена, т. е.
()Fx
– неубывающая функция на
0()1.Fx
8
,R
т. е. если
,xx
12
то
()Fx
Х
F
P
Х
X
x
F
Х
3.
в плюс бесконечности, т. е.
4. Вероятность попадания СВ
нию функции распределения на этом промежутке, т. е.
() ().Fb Fa
5.
Следствие:
обращается в ноль на минус бесконечности и равна единице
()0,F
()1.F
в промежуток
[, ]ab
равна прираще-
{}Pa Х b
()Fx
непрерывна слева, т. е.
{}1().
Xx Fx
lim ( ) ( ).
xx
0
0
xFx
0
Функция распределения ДСВ
Теперь можно дать более точное определение непрерывной СВ:
СВ называются непрерывной, если ее функция распределения непрерывна в любой точке и дифференцируема всюду, кроме, может быть,
отдельных точек.
Используя свойство 4, можно показать, что вероятность того, что
НСВ
примет заранее указанное определенное значение ,a равна
нулю.
Пример 1.4
По закону распределения ДСВ Х, заданного в форме ряда, получить
закон распределения в форме функции распределения.
Р 0,3 0,1 0,6
1 4 8
Решение
1. Если
2. Если
1,x
14,x
то
() 0Fx
то
(свойство 3).
() 0,3.Fx
Действительно, x может принять
значение 1 с вероятностью 0,3.
3. Если
48,x
ряет неравенству
которое может быть осуществлено, когда Х примет значение 1
,
x
i
48,
то
() 0,4.Fx
x
i
Действительно, если
то
равно вероятности события
()
x
i
удовлетво-
i
(вероятность этого события равна 0,3) или значение 4 (вероятность
этого события равна 0,1). Поскольку эти два события не совместны,
9
то по теории сложения вероятность события равна сумме вероятностей:
x
x
x
0,3 + 0,1 = 0,4.
4. Если
верно, следовательно, его вероятность равна единице. Функция распределения аналитически может быть записана как
8,x
График функции распределения НСВ
то
() 1.Fx
()
Fx
Действительно, событие
0, 1;
x
3
10
4
10
1, 8.
,1 4;
x
,4 8;
x
x
8Х
досто-
Рис. 1.3. График функции распределения НСВ для примера 1.4
График расположен в полосе, ограниченной прямыми
0,y
1y
(свойство 1).
При возрастании
в интервале
(, ).ab
в котором заключены все
возможные значения случайной величины, график «подымается» (свойство 2).
При
a
ординаты графика равны нулю; при
b ординаты гра-
фика равны единице (свойство 3).
10
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]