Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория вероятностей. Случайные величины. Учебное пособие
.pdf
Рис. 4.11. Нормальная кривая (кривая Гаусса)
x
F
F
x
1
2
1
2
1
2
() ;
3) один максимум при
4)
график симметричен относительно прямой
Ma e
5)
1
,
1
2
a равен
1
2
Ma e
и
fa
,
2
функции.
x
Функция распределения
() ()
xftdt
для НСВ
имеет вид
2
()
ta
x
2
2
Если
() .
xedt
0a
и
1,
то нормальное распределение с такими парамет-
1
2
рами называется стандартным.
Плотность стандартной случайной величины имеет вид
2
1
() .
xe
2
2
;xa
– точки перегиба
Norm ( , )Xa
81
1
x
x
x
x
M
M
2
Norm (0, 1)X
x
edt
имеет вид
2
t
2
Функция распределения НСВ
()
и называется функцией Лапласа.
Функция Лапласа связана с нормированной функцией Лапласа ра-
венством
1
() ().
2
x
0
Действительно,
222
ttt
xx
()
111
222
222
edt edt edt
11
22
2
Установим смысл параметров
0
0
() ().
00
x
a и нормального распределения.
Для этого найдем математическое ожидание и дисперсию НСВ:
2
()
xa
[] ()
Xxfxdx xe dx
xa a
ttedtedt
2
2
0.
1
2
22
tt
a
a
2
2
Таким образом,
ние.
[] ;
Xa
значит, a – математическое ожида-
82
Теперь найдем дисперсию:
D
[]()() ()
Xxafxdxxa edx
12
22
22 2
te dt te dt
22
2
2
()
xa
1
2
22
tt
2
2
2
22
21 1 21
22 2
Таким образом,
ное отклонение ДСВ
lim .
A
B
[]DX − дисперсия, а − среднее квадратич-
,X
B
22
tt
te e dt
A
2
распределенной по закону Гаусса.
2
Влияние параметров à è σ на вид кривой Гаусса
1. Изменение a не меняет форму кривой, а только вызывает ее сме-
щение вдоль оси
0,x
при
0a
происходит сдвиг вправо, при
2. Изменение
OX
(при
: площадь под кривой постоянна и равна единице
0a
кривая симметрична относительно
0a
– влево).
(рис. 4.12).
Рис. 4.12. Кривые Гаусса при различных значениях
параметра
83
Примеры нормально распределенных НСВ, наиболее
x
x
x
часто встречающиеся на практике
ошибки измерений;
величина износа деталей в механизмах;
рост человека;
ошибки стрельбы;
вес клубней картофеля;
величина шума в радиоприемном устройстве;
колебания курса акций и др.
∼
Вероятность попадания НСВ
{}() .
Px fxdx e dx
1
2
Norm ( , σ)Xa
2
()
xa
2
2
00
в интервал
aa
(α, β)
Через функцию Лапласа можно выразить и функцию распределения
нормально распределенной случайной величины:
где
()
– функция Лапласа,
1
() ,
Fx
2
axa
0
– нормированная функция Лапласа.
()
0
∼
Вероятность попадания НСВ
в интервал
(, )alal
Norm ( , σ)Xa
На практике часто приходится вычислять вероятность попадания
нормально распределенной случайной величины в интервал, симметричный относительно центра рассеяния
(, )alal
длиной
2.l
Тогда
{}{}Pa l x a l P X a l
ala ala l
00 0
.a Пусть таким интервалом будет
2,
84
т. е.
l
{}21.
PX a l
Правило трех сигм
Правило трех сигм формулируется следующим образом: если случайная величина распределена нормально, то абсолютная величина ее
отклонения от математического ожидания не превысит утроенного
СКО.
l
В формуле
{ 3 } 2 2 (3) 2 0,49865 0,9973.PX a
{}2
PX a l
3
00
положим 3:l
0
Таким образом, вероятность того, что отклонение нормально распределенной НСВ
3,
чем на
– почти достоверное событие, а противоположное событие –
от своего математического ожидания меньше,
X
практически невозможное (с вероятностью 0,0027).
Вывод: если случайная величина распределена нормально, то абсолютная величина ее отклонения от математического ожидания не превысит утроенного среднего квадратического отклонения.
На практике правило трех сигм применяют так: если распределение
изучаемой случайной величины неизвестно, но условие, указанное в вышеприведенном правиле, выполняется, то имеется основание предполагать, что изучаемая величина распределена нормально.
Задачи (с решениями)
Пример 4.5
При измерении детали получаются случайные ошибки, подчиненные нормальному закону с параметром
зависимых измерения детали. Найти вероятность того, что ошибка хотя
бы одного измерения не превосходит по модулю 2 мм.
85
10 мм.
Производится три не-
Решение
По формуле находим:
2
{ 2} 2 2 0, 07926 0,15852.
PX a
10
Вероятность того, что эта ошибка (погрешность) превышает 2 мм
в одном опыте (измерении), равна
{ 2} 1 { 2} 1 0,15852 0,84148.PX a PX a
По теореме умножения вероятность того, что во всех трех опытах
ошибка измерения превышает 2 мм, равна
тельно, искомая вероятность составляет
Ответ:
0,40422} .{PX a
1 0,5958 0, 4042.
3
Следова-
.00,84 5148 , 958
Пример 4.6
При каждом цикле обзора радиолокатора объект (независимо от дру-
0, 2.p
гих циклов) обнаруживается с вероятностью
персию числа
ружения объекта, и числа
циклов обзора, которое придется произвести без обна-
X
циклов обзора, которое придется произве-
Y
Найти МО и дис-
сти вплоть до обнаружения объекта (включая тот, при котором объект
будет обнаружен). Найти МО, дисперсию и СКО каждой из СВ
X
, .Y
Пользуясь правилом трех сигм, найти максимальное практическое возможное число циклов, за которое объект еще не будет обнаружен. Найти
вероятность того, что фактическое число «безуспешных» циклов пре-
3.
взойдет его МО больше, чем на
Решение
СВ
имеет геометрическое распределение с параметром
X
по формулам
[] ,
MXp
q
2[]
DXp и
q
[]
Xp
q
имеем
0, 2;p
MX
[] 20;
DX
(1 0, 2 )
[] 4;
0, 2
[ ] 20 4, 46;X
86
0,8
0, 2
2
СВ Y имеет «геометрическое +1» распределение, ее МО
415,
а дисперсия такая же, как дисперсия СВ :X
[]MY
[] 20;DY
[ ] 4,46.Y
Найдем
{[]3[]}PX MX X
{413}1{17}1
PX PX p q
1 ( ) / (1 ) 0,8 0,0180144.ppq q q
13 18 18
Таким образом, вероятность того, что СВ
3,
больше, чем на
довольно мала (меньше 2 %; отклонения в меньшую
17
m
m
0
превзойдет МО
X
сторону не рассматриваем, так как они приводят к отрицательным зна-
,X
чениям
Ответ:
[] 4,46;Y
что вообще невозможно).
[]4;MX
{ [ ] 3 [ ]} 0,018.PX MX X
[]20;DX
[]4,46;X
[] 5;MY
[] 20;DY
Пример 4.7
Найти абсциссы точек перегиба кривой распределения
()fx
нор-
мального закона (рис. 4.13).
Рис. 4.13. Точки перегиба кривой Гаусса
87
Решение
X
Точки перегиба – это такие точки, в которых вторая производная
функции
1
2
()fx
обращается в ноль. Дифференцируя функцию
()
xme
2
2
2
два раза, имеем
() .
fx
fx
Вторая производная обращается в ноль в точках
xm
2
2
()1
()
2
m ; таким обра-
()fx
зом, точки перегиба кривой распределения нормального закона отстоят
на расстояние в ту и другую сторону от центра рассеивания ,m как и
показано на рис. 4.13.
Пример 4.8
Имеется СВ ,X распределенная нормально с параметрами
Найти вероятность того, что СВ
ского ожидания
m больше, чем на
отклонится от своего математиче-
3.
,.a
Решение
полагая
3,l
находим
{3}1{3};PX a PX a
3
{3}2 2(3).PX a
По стандартным таблицам функции Лапласа находим:
0,49865; 2 3 0,9973;(3) ( )
{ 3 } 0, 0027.PX a
Это – действительно малая вероятность.
Заметим, что само «правило трех сигм» ведет свое начало именно от
нормального распределения, которое очень часто встречается в случайных явлениях природы. Для нормального закона это правило выполняется с очень высокой точностью; применяя его, мы будем ошибаться
приблизительно в трех случаях из 1000. Если такая точность
88
нас не
устраивает, можно увеличить диапазон возможных значений СВ, рас-
X
пределенной нормально, до
4:a
{4}12(4)12 ,0,4999 0 00068 , 064PX a
значит, СВ с нормальным распределением будет отходить от своего математического ожидания
сти случаях на 100 000 опытов.
Ответ:
Пример 4.9
Откладывая от математического ожидания 𝑎 последовательно один
за другим отрезки длиной σ, найти (с точностью 0,001) вероятности попадания СВ Х, распределенной нормально, на эти отрезки.
Решение
Если мы просуммируем эти вероятности, вычисленные с погрешностью не более 0,01, то найдем вероятность попадания СВ
точки a: она равна 0,5. Числа 0,34, 0,14 и 0,02 полезно запомнить для
ориентировочной «прикидки» вероятностей попадания нормально распределенной СВ на какие-то участки.
{ 3 } 0, 0027.PX a
{} (0)(1)0,341;Pa X a
{2} 0,136;Pa X a
{ 2 3 } 0,021.Pa X a
a больше, чем на
4,
только примерно в ше-
2
32
правее
Ответ:
{ 2 3 } 0,021.Pa X a
Пример 4.10
Завод производит шарики для подшипников, номинальный диаметр
которых равен 10 мм, а фактический диаметр случаен и распределен по
нормальному закону с МО
{ } 0,341;Pa X a
10 ммa
и СКО
89
{2}0,136;Pa X a
0, 4 мм.
При контроле
бракуются все шарики, не проходящие через круглое отверстие с диаметром
ром
10,7 ммd
1
9,3 мм.d
2
и все, проходящие через круглое отверстие с диамет-
Найти процент шариков, которые будут браковаться.
Решение
Вероятность того, что шарик будет забракован:
{0,7}1{0,7};PX a PX a
0,7
{ 0, 7} 2 2 0, 459 0, 918;
PX a
{ 0,7} 0,082.PX a
0, 4
Таким образом, браковаться будет около 8,2 % шариков.
Ответ:
{ 0,7} 0,082.PX a
Пример 4.11
Номинальное напряжение в схеме равно
U
ние
и
случайно и имеет нормальное распределение с параметрами
В схему включается радиолампа. Вероятность
.u
фактическое напряже-
;u
0
()qu
лампа перегорит в момент включения, зависит от напряжения
растает линейно от нуля при
Uu
до единицы при
0
Uu
(рис. 4.14).
1
u
0
того, что
U и воз-
Рис. 4.14. Вероятность перегорания лампы
в момент включения
Найти полную вероятность того, что радиолампа перегорит в момент включения.
90
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]