Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория вероятностей. Случайные величины. Учебное пособие
.pdf
Дискретная случайная величина X имеет равномерное распределе-
X
ние, если она принимает целочисленные значения
1, 2, , n
с вероятно-
стью
pPXm m n
{};1,.
m
1
n
В этом случае
2
1
[] ;
MX
В качестве примера для
1
n
DX
2
5n
можно привести графическую форму
n
[] .
12
закона распределения (рис. 4.6).
Рис. 4.6. Многоугольник распределения для
5n
Задачи (с решениями)
Пример 4.1
Длина комнаты измеряется с помощью рулетки с грубыми делениями, отдельными расстояниями по 10 см. Округление производится до
ближайшего деления; СВ
плотность распределения
найти ее МО, дисперсию и СКО.
– ошибка измерения. Найти и построить ее
(),fx
функцию распределения
(),Fx
а также
Решение
В случае измерения физической величины прибором с грубыми
делениями имеем ошибку измерения, распределенную по равномерному закону
[, ].XRab
Если же округление измеренных значений
71
производится до ближайшего целого, то значения параметров
/2 5,aL
лучаем, что ошибка измерения
/2 5,bL
где L – цена деления шкалы, 10 см. По-
[5,5]:XR
0, 5;
x
() , 5 5;
Fx x
1, 5 ;
Графики плотности распределения
()Fx
показаны на рис. 4.7. Числовые характеристики, вычисленные по
формулам для равномерного закона:
Рис. 4.7. Графики плотности и функции распределения НСВ
Ответ:
10
5
[]0;MX
x
x
.[] [] 2,887XDX
[]8,333;DX
fx x
0, 5;
x
() , 5 5;
10
0, 5.
()fx
и функции распределения
[]0;MX
1
x
[ ] 8,333;
DX
2,887.[]X
10
12
2
Пример 4.2
Поезда метрополитена идут регулярно с интервалом две минуты.
Пассажир выходит на платформу в случайный момент, никак не связан-
()fx
ный с расписанием поездов. Найти плотность распределения
чайной величины
поезда, ее МО, дисперсию, СКО и вероятность того, что ждать придется
не дольше полминуты.
– времени, в течение которого ему придется ждать
X
72
слу-
Решение
Плотность распределения и график:
0, 0;
x
() , 0 2;
fx x
1
2
0, 2.
x
Числовые характеристики:
MX
DX
20
[] 1;
2
2
21
[] ;
12 3
[]
3
0,5 7.X
7
3
Вероятность того, что ждать придется не дольше полминуты:
{0,5}.
PT
1
4
Ответ:
[]1;MX
[] ;
DX
1
0,577;[]X
{0,5}.
PT
3
1
4
4.2. Показательный закон распределения
Непрерывная случайная величина X имеет показательный (или
экспоненциальный) закон распределения
ность вероятности имеет вид
x
где
()
fx
0
– параметр распределения. График функции
,0;
e
0, 0,
на рис. 4.8.
Exp ( ),X
x
x
если ее плот-
()fx
изображен
73
Рис. 4.8. График плотности
()fx
для
Exp ( )X
Функция распределения показательного распределения имеет вид
x
ex
,10;
x
()
0, 0;
0
F
xx
() () 0 1 .
Fx ftdt dt e dt e
x
tx
0
График функции
()Fx
изображен на рис. 4.9.
Рис. 4.9. График функции распределения
74
Exp ( )X
для
()Fx
Числовые характеристики
M
Математическое ожидание:
[] () lim
Xxfxdx xedx
00
B
x
интегрируем по частям
lim 1 (0 1) .
B
xe e
111
xx
B
0
Дисперсия:
22
[] () []
дважды интегрируем по частям
2
xx
lim
B
000 01 .
eee
21 1211
211
xxx
22222
2
0
22
Таким образом,
111
[] ; [] ; [] .MX DX X
2
Вероятность попадания НСВ Õ, распределенной
по показательному закону, в интервал (a, b)
1
x
B
2
0
Искомая вероятность составит
baab
{}()()(1)(1) ,
Pa X b Fb Fa e e e e
ab
Pa X b e e
т. е. { } .
75
Пример 4.3
x
p
Случайная величина T – время работы радиолампы – имеет показательное распределение. Найти вероятность того, что лампа проработает
не менее 800 часов, если среднее время работы радиолампы 400 часов.
Решение
[ ] 400,MT
{ 800} 1 { 800} 1 (800) 1 (1 ) 0,135.PT PT F e
т. е.
1/ 400.
Искомая вероятность:
2
Ответ:
{ 800} 0,135.PT
Основное свойство экспоненциального закона – отсутствие последействия: вероятность попадания НСВ в интервал не зависит от распо-
ложения интервала, а зависит только от его длительности.
По экспоненциальному закону распределены, например, следующие
время между поступлениями вызовов в диспетчерскую скорой по-
НСВ:
мощи, время между падениями метеоритов в одном районе и др.
Связь между экспоненциальным распределением и законом Пуассона: если промежутки времени между наступлениями некоторого со-
бытия представляют собой независимые экспоненциально распределен-
ные величины (НСВ) с одним и тем же параметром
лений этого события за время
.at
с параметром
(ДСВ) распределено по закону Пуассона
t
, то число наступ-
Дискретный аналог экспоненциального закона распределения НСВ –
геометрическое распределение ДСВ. Это значит, что если в определе-
нии экспоненциального распределения
целыми числами, то полученное распределение ДСВ
полагать положительными
– числа неудач
до появления первого успеха – будет иметь вероятности
1
m
{} ;1,2,, ;1.
Pmqpm qep e
m
Функция надежности
Будем называть элементом некоторое устройство независимо от
того, простое оно или сложное. Пусть элемент начинает работать в момент времени
ходит отказ. Обозначим через
а по истечении времени длительностью t проис-
0,t
0
непрерывную случайную величину –
T
длительность времени безотказной работы элемента. Если элемент
76
проработал безотказно (до наступления отказа) время, меньшее ,t то,
R
следовательно, за время
Таким образом, функция распределения
вероятность отказа за время длительностью
наступит отказ.
t
() { }Ft P T t
Следовательно, вероят-
.t
определяет
ность безотказной работы за это же время, т. е. вероятность противо-
,Tt
положного события
равна
Функцией надежности
вероятность безотказной работы элемента за время
() { } 1 ().Rt P T t Ft
()Rt
называют функцию, определяющую
:
t
() { }.Rt P T t
Часто длительность времени безотказной работы элемента имеет
показательное распределение, функция распределения которого
t
() 1 .
Ft e
Следовательно, функция надежности в случае показа-
тельного распределения имеет вид
tt
Rt Ft e e
() 1 () 1 (1 ) .
Показательным законом надежности называют функцию надежности, определяемую равенством
() ,
Rt e
t
где – интенсивность от-
казов.
Эта формула позволяет найти вероятность безотказной работы элемента на интервале времени
,t если время безотказной работы имеет
показательное распределение.
Характеристическое свойство показательного закона надежности
Найдем вероятности этих событий:
tttt
() , () , ( ) .
Ae RBe RABe e e
000
tt
()
Найдем условную вероятность того, что элемент будет работать безотказно на интервале
(, )tt t
00
безотказно на предшествующем интервале
() .
PB e
A
при условии, что он уже проработал
(0, ):t
0
t
()
PAB e e
()
PA
t
0
t
0
e
t
77
Полученная формула не содержит
а содержит только .t Это
,t
0
и означает, что время работы на предшествующем интервале не сказывается на величине вероятности безотказной работы на последующем
интервале, а зависит только от длины последующего интервала, что
и требовалось доказать.
Полученный результат можно сформулировать несколько иначе.
Сравнив вероятности ()
PB e и () ,
t
PB e
A
t
заключаем: условная
вероятность безотказной работы элемента на интервале длительностью ,t вычисленная в предположении, что элемент проработал безот-
казно на предшествующем интервале, равна безусловной вероятности.
Задачи (с решениями)
Пример 4.4
Непрерывная случайная величина
распределение с параметром
{1 2 } .X
2.
Найти вероятность события
Решение
2
X
Имеем
()1 , 0.
FX e X
Вероятность попадания на участок
(1, 2) равна приращению функции распределения на этом участке:
{1 2 } ( 2 ) (1 ) 1 ( 1 )PX F F e e
имеет показательное
X
21
12
Ответ:
.{1 2} 0,233PX
.0, 368 ,0,1 0 23335ee
Пример 4.5
Время безотказной работы ЭВМ – случайная величина ,T
имеющая показательное распределение с параметром
смысл величины
– среднее число отказов в единицу времени, если
(физический
не считать простоев ЭВМ для ремонта). Известно, что ЭВМ уже
проработала без отказов до момента
плотность распределения
ЭВМ после момента
до ближайшего отказа.
()ft
времени
78
. Найти при этом условии
которое проработает
,T
Решение
f
Поскольку простейший поток отказов не имеет последствия, то
вероятность появления хотя бы одного отказа на участке от
не зависит от того, появились ли отказы ранее момента
t
Ft PT t e t
() { } 1 , 0,
t
откуда () , 0,
ft e t
т. е. распределение времени, оставшегося до
до
(рис. 4.10):
следующего отказа, не зависит от того, сколько времени ЭВМ уже
проработала безотказно.
Рис. 4.10. Иллюстрация к примеру 4.5
Заметим, что этот вывод точен только при простейшем потоке
отказов, но приближенно справедлив и при потоке отказов, мало
отличающемся от простейшего, а такие потоки нередко встречаются
на практике.
4.3. Нормальный закон распределения (закон Гаусса)
t
Нормальный закон (закон Гаусса) играет исключительную роль
в теории вероятностей. Главная его особенность в том, что он является
предельным законом, к которому при определенных условиях приближаются другие законы распределения СВ.
Например, центральная предельная теорема гласит: сумма большого
количества одинаково распределенных случайных величин распределена по нормальному закону.
Нормальный закон наиболее
Непрерывная СВ
метрами
a и , если ее плотность распределения имеет вид
X
распределена по нормальному закону с пара-
xexR
() , .
часто встречается на практике.
2
()
xa
1
2
79
2
2
Тот факт, что НСВ X имеет нормальное (или гауссовское) рас-
f
пределение с параметрами
N( , )Xa
или
Убедимся, что
Norm ( , ).Xa
()fx
Проверим условие нормировки
a и , сокращенно записывается так:
– это функция плотности. Очевидно,
() 1.fxdx
() 0.fx
Получим
2
()
xa xa
12 1
222
2
2
edx e d edt
2
2
xa
2
t
1
1.
Здесь применили подстановку и использовали интеграл Пуассона
2
t
edt
.
Отсюда следует
22
2
t
edt e dz e dz
00
;.
22
zz
22
0
График плотности распределения вероятности нормального закона
(рис. 4.11), называется нормальной кривой или кривой Гаусса:
2
()
xa
() , .
xexR
1
Свойства графика функции
2
2
2
()fx
нормального закона распределе-
ния:
() 0fx
1)
2)
ось
(график выше оси );OX
OX
– асимптота графика;
80
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]