Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория вероятностей. Случайные величины. Учебное пособие
.pdf
Подставив выражение (4) в формулу (3), окончательно получим
M
X
p
X
p
X
X
2
8
[] .
DX
4
Упражнения
1. Дискретная случайная величина X задана рядом распределения.
[], [],[].
Найти ее числовые характеристики
XDX X
P
–1 0 1 2
0,2 0,1 0,3 0,4
2. Производится один выстрел по мишени с вероятностью попада-
.
ния
Определить математическое ожидание, дисперсию и среднее
квадратическое отклонение ДСВ – числа попаданий.
Производится три независимых выстрела по мишени. Вероят-
3.
ность попадания при каждом выстреле равна 0,4. Определить математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины
Производятся броски мяча в баскетбольную корзину до первого
4.
попадания. Вероятность попадания при каждом броске равна
– числа попаданий.
.
Опре-
делить математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое
отклонение числа произведенных бросков.
Пусть случайная величина
5.
– число гербов при четырех под-
брасываниях правильной монеты. Определить ее математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.
Бросают n игральных костей. Найти математическое ожидание
6.
суммы числа очков, которые выпадут на всех гранях.
Брошены n игральных костей. Найти дисперсию суммы очков,
7.
которые могут появиться на всех выпавших гранях.
Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадрати-
8.
ческое отклонение дискретной случайной величины
заданной сле-
,X
дующим законом распределения.
P
–5 2 3 4
0,4 0,3 0,1 0,2
41
9. Случайные величины X и Y независимы. Найти дисперсию слу-
Z
X
x
f
X
X
чайной величины
Непрерывная случайная величина
10.
23,
деления с плотностью
XY
если известно, что
() .
xAe
[]4,DX
подчинена закону распре-
Найти коэффициент ,A опреде-
[] 5.DY
лить математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое
отклонение случайной величины.
11.
Непрерывная случайная величина
подчинена закону распре-
деления с графиком плотности, представленным на рис. 2.5. Написать
выражение плотности распределения
()fx
и определить математиче-
ское ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины.
Рис. 2.5. График плотности распределения НСВ
для упражнения 11
12. Пусть имеется однородная проволока, растянутая за концы. Любой точке проволоки сопоставим координату, равную расстоянию от
этой точки до левого конца плюс некоторое число
проволоки имеет координату
координату
куска, и пусть
.b
Очевидно, что
– случайная величина, равная координате точки раз-
,a и пусть правый конец проволоки имеет
.ab
Проволока разрывается на два
рыва. Ясно, что разрыв происходит в промежутке
ная величина является равномерно распределенной на отрезке
42
.a Тогда левый конец
(, ).ab
Такая случай-
[, ].ab
Определить ее функцию распределения
X
X
A
B
A
B
M
x
X
M
X
(),fx
ния
математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратиче-
(),Fx
плотность распределе-
ское отклонение.
Домашнее задание
1. Производится три независимых выстрела по цели. Вероятности
попадания при разных выстрелах одинаковы и равны
МО числа попаданий. Решить задачу в случае, если вероятности попадания при разных выстрелах различны:
Найти математическое ожидание НСВ
2.
0,7; 0,8; 0,9.ppp
123
заданной плотностью
,X
распределения
0,9.p
Найти
0, 0;
1
() sin ,0 ;
fx x x
2
1, .
Пусть
3.
[]2,DX [] 9.DY
4.
По условию задачи 2 найти
5.
СВ
известных параметров
6.
Пусть
[] , 1,2,,.
DX i n . Найти МО и дисперсию среднего арифме-
и
тического
i
n НСВ
Y
и
– независимые ДСВ, причем
Найти
[]MZ
задана своей функцией распределения с точностью до не-
.
и
Найти значения
0, ;
1
() , ;
4
1, .
– последовательность НСВ с
n
,,,
XX
12
2
Fx x A x B
.
i
x
x
[]2,MX [] 3,MY
[],DZ
и
[]DX
2
если
[].X
и
xB
A
532.ZXY
,
,
[]
X
и
[]
Xa
[].X
i
43
A
ÒÅÌÀ 3
НЕКОТОРЫЕ ВАЖНЫЕ ДЛЯ ПРАКТИКИ
ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ДИСКРЕТНЫХ
СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
Охарактеризовать дискретную случайную величину можно, указав
следующие данные:
закон распределения в форме:
ряда распределения;
функции распределения;
графика функции распределения;
многоугольника распределения;
основные числовые характеристики:
математическое ожидание;
дисперсию;
среднее квадратическое отклонение.
В литературе обычно описываются следующие законы распределе-
ния ДСВ:
постоянная величина;
1)
индикатор события
2)
3)
биномиальное распределение;
обобщенное биномиальное распределение;
распределение Пуассона;
4)
геометрическое распределение;
5)
геометрическое распределение +1;
гипергеометрическое распределение.
6)
Рассмотрим перечисленные законы подробнее.
;
44
3.1. Постоянная величина
X
x
x
X
P
Постоянная величина принимает единственное значение с вероятно-
стью, равной единице.
P
C
1
Функция распределения в этом случае имеет вид
()
Fx
0, ;
1, .
C
C
3.2. Индикатор события À
Случайная величина – индикатор события A – принимает значение 0, если в результате эксперимента событие не произошло, и значение 1, если произошло. Индикаторная функция записывается следующим образом:
A
0, ;
0
1, .
A
A
1
()PA
IIAI
() ()
AA
Ряд распределения имеет следующий вид.
P
1()
Функция распределения имеет вид
0, 0;
() 1 ( ), 0 1;
Fx PA x
1, 1.
x
x
45
3.3. Биномиальное распределение
p
X
P
F
Дискретная СВ X имеет биномиальное распределение (или распределена по биномиальному закону), если она принимает значения
0, 1, 2, 3, , n
с вероятностями
pPXmCpq
mn
где
,X
СВ
распределенная по биномиальному закону, является числом
успехов с вероятностью
.00,1,1, 1 ,,pq pm n
mmnm
{} ,
в схеме Бернулли проведения n независи-
мых опытов.
Формы биномиального закона распределения
Ряд распределения ДСВ ,X имеющей биномиальное распределение, имеет следующий вид.
m
pPXm
{}
m
Таким образом,
0
n
q
1 2 …
11n
22 2n
Cpq
pPXmCpq
mn
n
Cpq
{} .
n
mmnm
…
Если требуется вычислить вероятность «не менее
{},
независимых опытах», т. е.
P PX m PX m PX m PX n
Вероятность
воположного события
{}{}{ 1} {}.
m
бывает удобно находить через вероятность проти-
P
m
PPXm PXm
m
Xm
{}1{};
то имеем
m
mmnm
Cpq
n
m успехов в n
из двух формул
лучше та, в которой меньше слагаемых.
,X
Функция распределения СВ
распределенной по биномиальному
закону, имеет вид
…
…
n
n
p
0, 0;
() , 0 ;
xCpq xn
mx
mmnm
n
1, .
46
x
xn
Вывод: биномиально распределенная ДСВ означает число «успехов»
M
M
в
n независимых испытаниях.
Числовые характеристики биномиального распределения
Производящая функция биномиального распределения:
n
() ( ).
zCpqzqpz
mmnmm n
n
0
m
Тогда
1
n
() ( ) ; [ ] (1) ;
z np q pz M X np
() ( 1)( ) ;
znn qpz p
22
n
[] (1) (1) (1) ;DX npq
[] ; [] ; [] .
XnpDXnpq X npq
2
Пример 3.1
Производятся три выстрела по мишени с вероятностью попадания
0,9.p
Найти
[],
X
где ДСВ X – число попаданий. Решить задачу
двумя способами и сравнить полученные результаты.
Решение
Запишем ряд распределения.
Х 0
Р 0,001 0,027 0,243
1 2 3
0,729
1. Воспользуемся общей формулой для вычисления математиче-
ского ожидания дискретной случайной величины:
[ ] 0 0, 001 1 0,027 2 0,243 3 0,729 2,7.MX
2. Воспользуемся формулой для вычисления математического ожи-
дания биномиально распределенной случайной величины:
Ответ:
[]2,7.MX
[] 2,7.MX np
Результаты ожидаемо совпадают.
47
Обобщенное биномиальное распределение
M
X
M
M
X
X
Обобщенное биномиальное распределение означает число «успехов»
в n независимых испытаниях при различных вероятностях успеха в
каждом испытании.
В этом случае производящая функция имеет вид
n
() ( ).
zqpz
0
i
ii
Числовые характеристики:
nn
[] ; [] .
XpDXpq
iii
ii
11
Задачи (с решениями)
Пример 3.2
По каналу связи передается пять сообщений. Каждое сообщение
0,3p
с вероятностью
величина
– число искаженных сообщений. Построить ее ряд распре-
деления. Найти ее МО
средственно по ряду распределения и сравнить с теми, которые дают
[] ;
формулы
Xnp
того, что будет искажено не менее двух сообщений.
независимо от других искажается. Случайная
[]
X
[] ;DX npq
, дисперсию
[] .
[]DX
и СКО
[]X
непо-
npq Найти вероятность
Решение
ДСВ
– число искаженных сообщений – распределена по биноми-
альному закону (под «опытом» разумеется передача сообщений, а под
«успехом» − его искажение). По формуле
55
0
14 4
15
223 2 3
pCpq
25
0,3 ( ) 0, ;50, 360715pCpq
54
2
0,16807;0, 7pq
0,3 ( ) 0,30870;
()0,7
48
pCpq
mmnm
находим:
mn
332
M
M
0
35
44
45
5
5
0,13230;pCpq
0,02835;pCpq
0,00243.pp
Или приближенно с точностью до 0,001:
0,168; 0,36; 0,309; 0,133; 0,028; 0,002.pppppp
012345
Значение
ятностей
округлено в бо´льшую сторону, чтобы сумма всех веро-
p
3
была не 0,999, а ровно единица.
p
m
Приближенно ряд распределения будет иметь следующий вид.
Х 0
Р 0,168 0,360 0,309 0,133 0,028 0,002
1 2 3 4 5
Пользуясь приближенным рядом распределения, находим МО случайной величины
Первая из формул
:X
20,16 ,[]0 18 0,360 0 309MX
0,133 0,028 0,002 1, 499.345
[]
Xnp
дает для
[]50,31,5MX
[]
X
более точное значение:
.
Имея в виду возможность ошибок, хоть и незначительных, диспер-
[]DX
сию
ниями
2
вычисляем, пользуясь не приближенными, а точными значе-
Второй начальный момент:
.
р
m
22 2 2 2
012 0
,16807 0,36015 0,30870 0,13230 ,0283345
2
0,00243 3,35 .
Вычитая из
точное значение
2
2
[]2,25,MX получим
что совпадает с результатом, даваемым второй формулой:
.[] 1,0 1,503X
49
[]1,05,DX
Найдем вероятность
X
M
двух сообщений:
{2}PX
того, что будет искажено не менее
{2}1{2}1( )0,472.PX PX p p
01
Ответ: вероятность того, что будет искажено не менее двух сооб-
щений,
{2}0,472.PX
Пример 3.3
Игральная кость бросается четыре раза. Найти вероятности того, что
шестерка появится: а) ровно один раз; б) хотя бы один раз.
Решение
ДСВ
деление с параметрами
– число появлений шестерки – имеет биномиальное распре-
4; .
np
1
6
PX Cp p
{1} (1) 60386,4
1)
2) Вероятность
13
4
{1}1{1}1 1
PX PX p
Ответ:
15
6
}0,386 0,517.{1} ;{1PX PX
.
4
5
0
0,517.
6
Пример 3.4
По каналу связи передаются четыре сообщения. Каждое из них
независимо от других может быть искажено. Первое сообщение искажается с вероятностью
третье – с вероятностью
случайная величина X обозначает число искаженных сооб-
0, 4,p
4
1
второе – с вероятностью
0,1,p
четвертое – с вероятностью
0,3,p
3
0, 2,p
2
щений. Пользуясь производящей функцией, построить ряд распреде-
.X
ления СВ
Найти вероятность того, что будет искажено: а) хотя бы
одно сообщение; б) не менее двух сообщений. Найти непосредственно
и по формулам для биномиального закона числовые характеристики
[],
X
[]DX
и
[].X
50
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]