Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория вероятностей. Случайные величины. Учебное пособие
.pdf
График функции распределения ДСВ
X
Пример 1.5
По условию задачи «В урне восемь шаров, из которых пять белых, а
остальные черные. Найти закон распределения числа белых шаров в выборке» найти функцию распределения
()Fx
аналитически и построить
ее график.
Решение
P
Рис. 1.4. График функции распределения ДСВ для примера 1.5
0 1 2 3
1
56
15
56
30
56
Аналитический вид функции распределения:
0, 0;
x
1
56
16
() , 1 2;
Fx x
56
46
56
1, 3 .
,0 1;
x
,2 3;
x
x
10
56
11
1.3. Плотность распределения СВ
X
f
f
F
x
X
x
x
х
F
x
x
Плотность распределения является второй после функции распределения характеристикой непрерывной случайной величины.
Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной
величины
ции распределения
называют функцию
():Fx
() ().
Из этого определения следует, что функция распределения является
первообразной для плотности распределения.
У дискретной случайной величины плотности распределения нет.
Плотность распределения называют еще дифференциальной функ-
цией распределения.
Вероятностный смысл плотности распределения
()fx
– первую производную от функ-
xFx
Пусть
личины
или в иной форме
Как уже известно, разность
ность того, что
(, ).
xx
()Fx
– функция распределения непрерывной случайной ве-
.X
По определению плотности распределения
()()
xxFx
() lim .
fx
x
0
()()Fx x Fx
определяет вероят-
() (),
xFx
примет значение, принадлежащее интервалу
Таким образом, предел отношения вероятности того, что не-
прерывная случайная величина примет значение, принадлежащее ин-
(, ),
тервалу
xx
к длине этого интервала (при
нию плотности распределения в точке
.
0x
) равен значе-
Из дифференциального исчисления известно, что приращение функции приближенно равно дифференциалу функции, т. е.
() (),Fx dFx
или
()()().Fx x Fx f xdx
( ) () () .
xxFxFxdx
Отсюда получаем
()Fx x
Вероятностный смысл этого равенства таков: вероятность того, что
случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу
(, ),
xx
шего порядка относительно
в точке
приближенно равна (с точностью до бесконечно малых выс-
)x
произведению плотности вероятности
на длину интервала
.x
12
Геометрически этот смысл можно истолковать так: вероятность
того, что случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу, приближенно равна площади прямоугольника с основанием и высотой
На рис. 1.5 видно, что площадь заштрихованного прямоугольника,
равная произведению, лишь примерно равна площади криволинейной
трапеции, т. е. истинной вероятности, определяемой определенным интегралом.
Рис. 1.5. Вероятностный смысл плотности
распределения НСВ
Допущенная при этом погрешность равна площади криволинейного
треугольника ABC.
Свойства плотности распределения НСВ
()fx
1.
2.
неотрицательная, т. е.
Вероятность попадания НСВ в промежуток
деленному интегралу от ее плотности в пределах от
b
{}().
Pa X b fxdx
a
() 0.fx
[, ]ab
равна опре-
a до
Геометрически эта вероятность равна площади S фигуры, ограни-
()fx
ченной сверху кривой распределения
[, ]ab
(рис. 1.6).
13
и опирающейся на отрезок
т. е.
,b
F
Рис. 1.6. Вероятность попадания НСВ в промежуток
3. Функция распределения НСВ может быть выражена через ее
x
плотность вероятности по формуле
Условие нормировки: несобственный интеграл от плотности ве-
4.
() () .
xftdt
роятности НСВ в бесконечных пределах равен единице, т. е.
() 1.fxdx
Задачи (с решениями)
Ряд распределения и многоугольник распределения
Пример 1.6
Устройство состоит из трех независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого элемента в одном опыте равна 0,1. Составить
закон распределения числа отказавших элементов в одном опыте.
Решение
Дискретная случайная величина X (число отказавших элементов в
одном опыте) имеет следующие возможные значения:
из элементов устройства не отказал),
(отказали два элемента) и
2x
3
4
3x
(отказал один элемент),
1x
2
(отказали три элемента). От-
казы элементов независимы один от другого, вероятности отказа каждого элемента равны между собой, поэтому применима формула
0x
1
(ни один
14
Бернулли. Учитывая, что по условию
X
X
X
110,10,9),qp
получим:
3n
0,1p
,
(следовательно,
3
(2) 3 0,1 0,9 0,027;PCpq
33
22 2
33
33
(0) 0,9 0, 729;Pq
12 2
(1) 3 0,1 0,9 0, 243;PCpq
33
(3) 0,1 0,001.Pp
3
Контроль: 0,729 + 0,243 + 0,027 + 0,001 = 1.
Искомый биномиальный закон распределения
представим в виде
таблицы.
P
0 1 2 3
0,729 0,243 0,027 0,001
Пример 1.7
В партии из десяти деталей имеется восемь стандартных. Наудачу
отобраны две детали. Составить закон распределения числа стандартных деталей среди отобранных.
Решение
Случайная величина X – число стандартных деталей среди отобранных – имеет следующие возможные значения:
Найдем вероятности возможных значений
kmk
CC
nNn
N
где
– количество деталей в партии; n – количество стандартных де-
талей в партии;
PX k
{} ,
m – количество отобранных деталей;
по формуле
k
C
n
0,x
1
k
1,x
2
2.x
3
– количество
стандартных деталей среди отобранных). Получим
02
CC
{0} ;
PXC
82
10
PXC
1
2
45
{2} .
{1} ;
PXC
20
CC
82
15
10
28
2
45
11
CC
82
16
2
10
45
Представим искомый закон распределения в виде таблицы.
X
X
x
X
X
P
Контроль:
11628
0 1 2
45
1
1.
16
45
28
45
45 45 45
Пример 1.8
После ответа студента на вопросы экзаменационного билета экзаменатор задает ему дополнительные вопросы. Преподаватель прекращает
задавать дополнительные вопросы, как только студент обнаруживает
незнание ответа на заданный вопрос. Вероятность того, что студент ответит на любой заданный дополнительный вопрос, равна 0,9.
1. Составить закон распределения случайной дискретной величины
– числа дополнительных вопросов, которые задаст преподаватель
студенту.
2. Найти наивероятнейшее число
заданных студенту дополни-
k
0
тельных вопросов.
Решение
1. Дискретная случайная величина X – число заданных дополни-
тельных вопросов – имеет следующие возможные значения:
2,x
2
…,
3,x
3
k
Найдем вероятности этих возможных зна-
,
k
1,x
1
чений.
Величина
примет возможное значение
(экзаменатор за-
1x
1
даст только один вопрос), если студент не ответит на первый вопрос.
Вероятность этого возможного значения равна 1 – 0,9 = 0,1. Таким образом,
Величина
{1}0,1.PX
примет возможное значение
(экзаменатор за-
2x
2
даст только два вопроса), если студент ответит на первый вопрос (вероятность этого события равна 0,9) и не ответит на второй (вероятность
этого события равна 0,1). Таким образом,
{ 2} 0,9 0,1 0,09.PX
Аналогично найдем:
{ 3} 0, 9 0,1 0,081,PX
2
…,
{ } 0,9 0,1, ...
PX k
1
k
16
Представим искомый закон распределения в виде таблицы.
X
X
X
X
X
P
2. Наивероятнейшее число
шее возможное значение
1 2 3 … k …
1
0,1 0,09 0,081 …
заданных вопросов (наивероятней-
k
0
),X
т. е. число заданных преподавателем во-
k
0,9 0,1
…
просов, которое имеет наибольшую вероятность, как следует из закона
распределения, равно единице.
Функция распределения ДСВ
Пример 1.9
Дискретная случайная величина X задана следующим законом распределения.
P
Найти функцию распределения
2 4 7
0,5 0,2 0,3
()Fx
и начертить ее график.
Решение
1. Если
2,х
числа 2, величина
() { } 0.Fx P X x
2. Если
24,х
() 0.Fx
то
Действительно, значений, меньших
не принимает. Следовательно, при
() 0,5.Fx
то
Действительно, X может принять
2х
функция
значение 2 с вероятностью 0,5.
3. Если
47,х
то
Действительно,
может принять
() 0,7.Fx
значение 2 с вероятностью 0,5 и значение 4 с вероятностью 0,2. Следовательно, одно из этих значений, безразлично какое,
может принять
(по теореме сложения вероятностей несовместных событий) с вероятно-
стью 0,5 + 0,2 = 0,7.
4. Если
() 1.Fx
то
7,х
Действительно, событие
7X
досто-
верно и его вероятность равна единице.
17
Итак, искомая функция распределения:
x
5
,2 4;
7
,4 7;
x
x
x
()
Fx
0, 2;
10
10
1, 7 .
График функции представлен на рис. 1.4.
Рис. 1.4. График функции распределения ДСВ
для примера 1.9
Функция распределения НСВ
Пример 1.10
Случайная величина X задана следующей функцией распределения:
0, 1;
33 1
() , 1 ;
Fx x x
44 3
1, .
18
x
x
1
3
Найти вероятность того, что в результате испытания величина X
P
X
1
примет значение, заключенное в интервале
0, .
3
Решение
Вероятность того, что X примет значение, заключенное в интер-
(, ),ab
вале
вале:
PX F F x x
{0 1 / 3} (1 / 3) (0) .
равна приращению функции распределения на этом интер-
{}()().
aXb Fb Fa
Положив
33 33 1
44 44 4
0,a
1/3 0
xx
1/3,b
получим
Пример 1.11
Случайная величина X задана следующей функцией распределения:
0, 2;
1
() 1, 2 4;
Fx x x
2
1, 4.
Найти вероятность того, что в результате испытания
x
x
примет значение: 1) меньше 0,2; 2) меньше трех; 3) не меньше трех; 4) не меньше
пяти.
Решение
1. Так как при
{0,2}0.PX
2.
{3}(3)(0,51) 1,510,5.
PX F x
3. События
{3}1.PX
чим
{3}10,50,5.PX
Отсюда, учитывая, что
2х
функция
3
x
3X
и
3X
противоположны, поэтому
() 0,Fx
то
{3}0,5PX
(0,2) 0,F
т. е.
{3}PX
(см. п. 2), полу-
4. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице,
поэтому
которого при
{5}{5}1.PX PX
4х
функция
Отсюда, используя условие, в силу
() 1Fx
, получим
{5}1{5}1(5)110.PX PX F
19
Плотность распределения НСВ
f
X
f
Пример 1.12
Непрерывная случайная величина X задана плотностью распределе-
ния
3
xx в интервале
() sin3
(0, / 3);
вне этого интервала
2
Найти вероятность того, что
тервалу
(/6, /4).
примет значение, принадлежащее ин-
Решение
b
Воспользуемся формулой
/4,b
/6,a
3
xx
() sin3.
{}().
Pa X b fxdx
a
Следовательно, искомая вероятность
По условию
2
/4
составляет
{/6 /4} sin(3) .
PX xdx
32
24
/6
Пример 1.13
Дана функция распределения НСВ :X
0, 0;
() sin , 0 ;
Fx x x
1, .
Найти плотность распределения
x
().fx
2
x
2
() 0.fx
Решение
0, 0;
fx F x x x
() () cos, 0 ;
0, .
20
x
2
x
2
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]