Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория вероятностей. Случайные величины. Учебное пособие
.pdf
Пример 1.14
F
F
Задана плотность распределения непрерывной случайной вели-
:X
чины
0, 0;
() cos , 0 ;
fx x x
0, .
Найти функцию распределения
x
x
().Fx
2
2
Решение
x
Используем формулу
() 0,fx
Если
Если
то
0,x
0,
x то
2
Если
,
x то
( ) 0 cos 0 sin 1.
Fx dt tdt dt t
2
() () .
xftdt
следовательно,
0
() 0 cos sin sin .
xdttdttx
0
02
x
() 0 0.
Fx dt
x
0
2
x
0
x
2
0
Итак, искомая функция распределения:
0, 0;
() sin , 0 ;
Fx x x
1, .
x
2
x
2
21
Упражнения
X
X
X
X
p
X
X
X
Ряд и многоугольник распределения
1. Случайный эксперимент состоит в подбрасывании одной игральной кости. ДСВ
деления в форме ряда и многоугольника распределения.
2. Пусть ДСВ
правильной монеты. Построить закон распределения ДСВ
ряда и многоугольника распределения.
3. Производится один выстрел по мишени. Вероятность попадания
в мишень равна 0,3. Случайная величина
строить ряд распределения и многоугольник распределения величины
4. Стрелок производит три выстрела по мишени. Вероятность попадания в мишень при каждом выстреле одинакова и равна 0,4. За каждое
попадание стрелку засчитывается пять очков. Построить ряд распределения числа выбитых очков.
5. Баскетболист бросает мяч в корзину до первого попадания. Вероятность попасть при каждом броске равна
число бросков. Построить ряд распределения величины
6. Спортсмен ведет стрельбу по мишени до первого попадания, имея
изначально четыре патрона. Вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,6. Построить ряд распределения ДСВ
расходованных патронов.
– число выпавших очков. Построить закон распре-
– число гербов, выпавших при четырех бросаниях
в форме
– число попаданий. По-
.
Случайная величина
.X
– числа неиз-
–
.X
Функция распределения
7. В урне пять белых и 25 черных шаров. Вынули два шара. Случайная величина
пределения и функцию распределения величины
8. Построить закон распределения и функцию распределения числа
попаданий мячом в корзину при трех бросках, если вероятность попадания каждый раз равна 0,8.
9. Игрок выигрывает очко, если при подбрасывании монеты выпадает герб, и проигрывает очко в противном случае. Записать закон распределения и функцию распределения суммарного выигрыша игрока
после двух
– число вынутых белых шаров. Построить закон рас-
.X
бросаний монеты.
22
10. Производится один выстрел по мишени с вероятностью попада-
X
X
X
X
X
ния 0,3. Построить функцию распределения и график функции распределения случайной величины
– числа промахов.
11. Производится четыре выстрела по мишени с вероятностью попа-
дания при каждом выстреле 0,3. Построить функцию распределения и
график функции распределения случайной величины
– числа попа-
даний.
Плотность распределения
12. Функция распределения непрерывной случайной величины X
задана выражением
Fx x x
Найти: а) коэффициент
роятность попадания НСВ
0, 0;
() , 0 1;
1, 1.
;a
б) плотность распределения
в интервал от 0,25 до 0,5.
x
2
x
13. Плотность распределения непрерывной случайной величины
задана выражением
x
2
22
x
2
Построить графики
() cos , ;
fx a x x
Найти: а) коэффициент
роятность попадания НСВ
0, ;
0, .
;a
б) функцию распределения
в интервал от 0 до .
4
функции распределения и плотности распределения НСВ
.X
();fx
();Fx
в) ве-
в) ве-
23
Домашнее задание
X
X
X
X
1. Монета бросается четыре раза. Построить многоугольник распределения СВ
2.
Вероятность сдачи экзамена первым студентом равна 0,6, а вто-
рым – 0,9. Составить ряд распределения СВ
успешно сдавших экзамен в следующих случаях: а) экзамен пересдавать
нельзя; б) экзамен можно один раз пересдать.
3.
Два стрелка делают по одному выстрелу в одну мишень. Вероят-
ность попадания для первого стрелка равна 0,6, а для второго – 0,8.
Найти и построить функцию распределения СВ
в мишень.
4.
Для случайной величины
(),Fx
найти вероятность того, что в результате четырех испытаний СВ
трижды примет значение, принадлежащее интервалу
– числа выпадений герба.
заданной функцией распределения
,X
– числа студентов,
– числа попаданий
(0,1).
0, 0;
2
x
() , 0 2;
Fx x
2
1, 2 .
СВ Xзадана функцией распределения
5.
0, 1;
() 1 , 1 2;
Fx ax x
1, 2 .
Найти значение
,a построить графики
x
24
2
x
x
x
():Fx
()Fx
и
().fx
ÒÅÌÀ 2
ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ
ВЕЛИЧИН
2.1. Виды числовых характеристик СВ
Закон распределения полностью характеризует случайную величину. Однако при решении многих практических задач достаточно
знать лишь некоторые числовые параметры, характеризующие отдельные существенные особенности закона распределения СВ. Такие
числа называют числовыми характеристиками СВ. Важнейшими среди
них являются:
характеристики положения:
математическое ожидание (центр распределения СВ);
мода;
медиана;
характеристики рассеяния:
дисперсия (отклонение значений СВ от ее центра);
среднее квадратическое отклонение.
2.2. Математическое ожидание СВ
Математическим ожиданием (или средним значением) ДСВ ,X
имеющей закон распределения
ется число, равное сумме произведений всех ее значений на соответ-
ствующие им вероятности.
{},1,2,,,
pPXxi n
ii
25
называ-
Математическое ожидание (МО) обозначается через
M
M
M
M
X
M
X
M
X
X
M
M
M
[],
X
[] .
Xxp
Если число возможных значений ДСВ
[] ,
Xxp
щимся, в противном случае СВ
(),
X
n
1
i
ii
,Xm
,EX
Таким образом, по определению
).Xa
бесконечно (счетно), то
1
i
причем ряд в правой части предполагается сходя-
ii
не имеет МО.
X
(или
Вероятностный смысл математического ожидания состоит в том,
что оно является средним значением СВ. Математическое ожидание
приближенно равно (тем точнее, чем больше число испытаний) среднему арифметическому наблюдаемых значений СВ.
xp
n
Действительно, так как
обозначает
среднее
.x
i
1
p
i
Математическим ожиданием НСВ
()fx
называется число
[] () .
Xxfxdx
1,
n
Xxp X
то
i
i
i
1
с плотностью вероятности
ini
i
1
i
n
p
1
,
где
i
Интеграл в правой части равенства предполагается абсолютно схо-
дящимся, т. е.
()xf x dx
(иначе НСВ X не имеет МО).
Свойства математического ожидания
1. Математическое ожидание постоянной равно самой этой постоян-
[] .
ной, т. е.
Постоянный множитель выносится за знак МО, т. е. [ ]MCX
2.
[].CM X
МО суммы равно сумме их МО, т. е.
3.
CC
[][][].
XY MX MY
26
4. МО отклонения СВ от ее МО
X
M
M
M
A
A
M
X
M
5.
т. е. если
1. МО суммы нескольких СВ равно сумме МО слагаемых
[][][][].
XYZ MX MY MZ
2.
произведению их МО, т. е.
3.
(постоянная) величина.
4.
испытании равно вероятности этого события p.
5.
висимых испытаниях равно произведению числа испытаний на вероятность появления события в каждом:
Пример 2.1
В лотерее имеется 1000 билетов, из них выигрышных 10 по 500 руб.,
50 по 50 руб., 100 по 10 руб., 150 по 1 руб. Найти математическое ожидание выигрыша на один билет.
[] 0.MX M X
МО произведения независимых СВ равно произведению их МО,
и Y независимы, то
Следствия из свойств математического ожидания
МО произведения нескольких взаимно независимых СВ равно
Математическое ожидание случайной величины есть неслучайная
Математическое ожидание числа появлений события
Математическое ожидание числа появлений события
[] [] [].
XY M X M Y
[] [][][].
XYZ M X M Y M Z
[] .
Xnp
[]XMX
равно нулю, т. е.
в одном
в n неза-
Решение
Ряд распределения СВ X – суммы выигрыша на один билет – представлен в виде таблицы.
P
Контроль: 0,01 + 0,05 + 0,1 + 0,15 + 0,69 = 1.
Находим
500 50 10 1 0
0,01 0,05 0,1 0,15 0,69
[]:
X
500 0,01 50 0,05 10 0,1 1 0,15 0 0,69 8, 65 руб.[]MX
27
2.3. Дисперсия СВ
X
D
X
D
D
X
X
Существуют СВ, имеющие различные значения и одинаковое МО.
Поэтому знания МО недостаточно, чтобы судить о значениях СВ и рас-
сеянии этих значений вокруг МО.
Дисперсией (рассеянием) СВ
квадрата ее отклонения от своего математического ожидания. Обозначается дисперсия через
по определению
DMXm Дисперсия характеризует разброс значений СВ
или
().
XX
DX
(),DX M X MX
2
(или
относительно ее МО. Из определения дисперсии следует формула ее
вычисления:
[] []
XxMXp
[] [] ()
XxMXfxdx
ii
i
На практике дисперсию СВ удобно находить по формуле
[] [ ] [].DX MX MX
Свойства дисперсии
называется математическое ожидание
2
для ДСВ;X
2
[],DX
2
или
для НСВ.X
2
()).DX
,
X
[] [ ] [],DX MX MX
2
Таким образом,
2
2
1. Дисперсия постоянной равна нулю, т. е.
Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, воз-
2.
ведя его в квадрат, т. е.
Дисперсия суммы двух независимых СВ равна сумме их диспер-
3.
Y
сий, т. е. если
4.
Дисперсия СВ не изменится, если к этой СВ прибавить постоян-
ную, т. е.
5.
Если СВ
и
[][].DX C DX
и
[] [] [] [] [].DXY M X MY M X MY
[] [].DCX CD X
независимы, то
Y
независимы, то
22
2
[][][].DX Y DX DY
[] 0.DC
22
28
Следствия из свойств дисперсии
X
A
p
X
x
X
X
X
Z
1. Дисперсия суммы нескольких независимых СВ равна сумме их
дисперсий:
2.
Дисперсия разности двух независимых СВ равна сумме их дис-
персий, т. е. если
3. Дисперсия числа появлений события
таниях, в каждом из которых
испытаний на вероятность появления и непоявления события в одном
испытании:
[][][][].DX Y Z DX DY DZ
и Y независимы, то
постоянна, равна произведению числа
[] .DX npq
[][][].DX Y DX DY
в n независимых испы-
2.4. Среднее квадратическое отклонение СВ
Дисперсия
тельных целях неудобно. Когда желательно, чтобы оценка разброса
(рассеяния) имела размерность СВ, используют еще одну числовую характеристику – среднее квадратическое отклонение (СКО, с.к.о.).
Средним квадратическим отклонением, или стандартным отклонением СВ
значают через
Таким образом, по определению
Из свойств дисперсии вытекают соответствующие свойства СКО:
[] 0;C
1)
[] [];CX C X
2)
[][].XC X
3)
Для изучения свойств случайного явления, не зависящих от выбора
масштаба измерения и положения центра группирования, исходную
случайную величину
центрируют, т. е. записывают разность
означает, что начало координат переносится в точку с абсциссой, равной МО), затем делят на СКО
Случайную величину
чайной величиной. Ее МО равно нулю, а дисперсия равна единице. Та-
ким образом,
([]1)DZ
случайная величина.
[]DX
имеет размерность квадрата СВ ,X что в сравни-
называется квадратный корень из ее дисперсии, его обо-
(или
– центрированная
,X
приводят к некоторому стандартному виду: ее
Z
[],X
).
[] [].
[].X
[]
MX
[]
X
([]0)MZ
DX
называют стандартной слу-
[]XMX
(геометрически это
и нормированная
29
Теорема. Среднее квадратическое отклонение суммы конечного
X
X
D
Х
M
числа взаимно независимых случайных величин равно квадратному
корню из суммы квадратов средних квадратических отклонений этих
величин:
[][][][].
XX X X X X
12 1 2
nn
Доказательство. Обозначим через
имно независимых величин:
22 2
сумму рассматриваемых вза-
XX X
12.n
Дисперсия суммы нескольких взаимно независимых случайных величин равна сумме дисперсий слагаемых, поэтому
[] [ ] [ ] [ ].
XDX DX DX
[] [ ] [ ] [ ].
Отсюда
DX DX DX DX
Или окончательно:
12
12
[] [ ] [ ] [ ].
XXX X
22 2
12
n
n
n
2.5. Одинаково распределенные
взаимно независимые СВ
Если несколько случайных величин имеет одинаковые распределе-
ния, то их числовые характеристики равны (МО, дисперсия и др.).
Наибольший интерес представляет изучение числовых характери-
стик среднего арифметического этих величин. Обозначим среднее
ХХ
арифметическое рассматриваемых СВ через
:X
12.n
X
Приведенные ниже три положения устанавливают связь между чис-
ловыми характеристиками среднего арифметического
ствующими характеристиками каждой отдельной величины.
1. Математическое ожидание среднего арифметического одинаково
распределенных взаимно независимых СВ равно математическому ожиданию
a каждой из них:
[] .
Xa
Доказательство:
n
с соответ-
X
ХХ Х MX MX MX
[] .
MX M
12 1 2
nn
nn
[] [ ] [ ]
30
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]