Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория вероятностей. Случайные величины. Учебное пособие
.pdf
где
M
X
M
N
M
N
M
MpN
0, 1, , min ( , ), , , ;mnMMNmnnN
,n
N – натураль-
,
ные числа.
Гипергеометрическое распределение возникает в случаях, подобных
N
следующему: в урне находятся
черные. Из урны вынимают
того, что среди извлеченных шаров будет ровно
черные). Случайная величина
шаров, из них M белых, а остальные
n шаров. Требуется найти вероятность
m белых (остальные
– число белых шаров среди извлечен-
ных из урны.
Числовые характеристики гипергеометрического распределения:
математическое ожидание
[] ;
MX n
дисперсия
()()
NMNn
[] .
DX n
N
1
2
Гипергеометрическое распределение определяется тремя парамет-
практически
10
,N
1
,
рами:
nN
.n Если n мало по сравнению с N
,
то оно приближается к биномиальному распределению с па-
при
раметрами
n и :
mnm
CC
MNM
n
C
N
mmnm
Cpq
n
.
Гипергеометрическое распределение используется при решении за-
дач, связанных с контролем качества продукции и др.
61
Задачи (с решениями)
X
p
X
Пример 3.12
В шкафу находится девять приборов, из них пять новых и четыре
бывших в употреблении. Из шкафа наугад вынимается четыре прибора;
СВ
деления СВ
бами: непосредственно по ряду распределения и по формулам
– число новых приборов среди вынутых. Построить ряд распре-
.X
Вычислить МО, дисперсию и СКО СВ X двумя спосо-
[] ;
MX
[] ( 1) .
DX nn
nab a a a
2
()
ab
Решение
Вероятности
{} ,(0,,),
PX m m a
m
знаменатель
9;ab
pPXmm
CC
{ }, 0,1,2,3,4
m
mnm
ab
n
C
ab
9876
4
C
9
1234
Имеем
04
CC
54
p
0
126 126
CC
p
2
11
22
54
10 6
126 126
p
0,008;
4
0, 476;
40
CC
54
126
na
abab ab
ab
1
1
2
находим по формуле
полагая в ней
126.
13
CC
54
p
1
126 126
p
3
0,040.
31
CC
54
126
54
0,317;
0,159;
5;a
4;b
Ряд распределения СВ
Х 0 1 2 3 4
Р 0,008 0,159 0,476 0,317 0,040
следующий.
62
По ряду распределения находим
M
M
[]:
X
Такое же значение
[]2,222MX
0,476 3 0,317 4 0,040 2, 222.[ ] 0 0, 008 1 0,159 2MX
получим по формуле для гипер-
геометрического закона распределения:
45
[ ] 2, 222.
MX
na
ab
Для нахождения дисперсии сначала «грубо центрируем» СВ
ренося начало отсчета в точку с абсциссой 2, близкую к
9
пе-
,X
[];
X
при
этом, как мы знаем, дисперсия не меняется. Получим ряд распределения
СВ
Y –2 –1 0 1 2
Р 0,008 0,159 0,476 0,317 0,040
2.YX
Второй начальный момент СВ :Y
2
22222
0,668,
0,476 1 0,31[ ] ( 2) 0,008 ( 1) 0,1 9 7 2 0,04050Y
откуда дисперсия
[ ] [ ] [ ] [ ] 0, 668 [ ] 2 0,619.DY D X Y M Y M X
2
2
2
По формуле
[] ( 1)
DX nn
nab a a a
2
()
ab
лучим более точное значение дисперсии:
abab ab
[ ] 0, 617.DX
1
1
2
по-
Наибольшее расхождение в последнем знаке с ранее вычисленной
дисперсией объясняется погрешностями округления вероятностей
в ряде распределения.
Ответ:
[ ] 2, 222; [ ] 0,617; [ ] 0, 785.MX DX X
63
Домашнее задание
X
M
X
X
1. Написать биномиальный закон распределения (все четыре
формы) ДСВ
и найти числовые характеристики
Станок-автомат штампует детали. Вероятность того, что изготов-
2.
ленная деталь окажется бракованной, равна 0,01. Найти вероятность
того, что среди 200 деталей окажется ровно четыре бракованных.
При каждом цикле обзора радиолокатора объект (независимо от
3.
других циклов) обнаруживается с вероятностью
дисперсию и СКО числа
сти без обнаружения объекта, и числа
дется произвести вплоть до обнаружения объекта (включая тот, при котором объект будет обнаружен).
В цехе работают шесть мужчин и четыре женщины. По табельным
4.
номерам наудачу отобраны семь человек. Найти закон распределения
в форме ряда для ДСВ
числить МО, дисперсию и СКО ДСВ
среди отобранных лиц окажутся три женщины.
– числа появлений герба при двух бросаниях монеты,
[], []
XDX
циклов обзора, которое придется произве-
Y
циклов обзора, которое при-
«число женщин среди отобранных лиц», вы-
,X
а также вероятность того, что
[].X
и
0, 2p
. Найти МО,
64
ÒÅÌÀ 4
НЕКОТОРЫЕ ВАЖНЫЕ ДЛЯ ПРАКТИКИ
ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ НЕПРЕРЫВНЫХ
СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
Охарактеризовать непрерывную случайную величину можно, указав
следующие данные:
закон распределения в форме:
функции распределения;
плотности распределения;
графика функции распределения;
графика плотности распределения;
основные числовые характеристики:
математическое ожидание;
дисперсию;
среднее квадратическое отклонение;
вероятность попадания НСВ в подинтервал (,).
В литературе обычно рассматриваются следующие законы распре-
деления непрерывных случайных величин:
1) равномерный закон распределения;
2) показательный закон распределения;
3) нормальный закон распределения (закон Гаусса).
Рассмотрим перечисленные законы подробнее.
65
4.1. Равномерный закон распределения
Непрерывная СВ X имеет равномерное распределение на отрезке
[, ],ab
если ее плотность вероятности
резке, а вне его равна нулю:
()
fx
1
,[,];
ba
0, [ , ].
()fx
xab
xab
постоянна на этом от-
Таким образом,
()fx c
(константа) при
определяется из условия нормировки:
cdx dx cdx dx c dx c b a
ab b
10 00 0(),
ab a
()1; .
cb a c
Равномерное распределение на отрезке
обозначать
[, ]XRab
или
1
()
ba
[, ]ab
[, ]XRavab
(рис. 4.1).
[, ],xab
(или на
а ее значение
(, ))ab
будем
Рис. 4.1. График функции плотности
распределения НСВ Х
66
()fx
для равномерного
F
()Fx
для
x
;xa
1
x
a
при
1
b
a
()Fx
Функция распределения
чена из формулы
x
() 0 0
Fx dt
ax
() 0 0
Fx dt t
ab x
() 0 0 0 0 1
F x dt dt t
() () :
xftdt
при
dt x a
ba ba ba
a
dt b a
ba ba ba
ab
Таким образом, функция распределения
[, ]XRavab
может быть полу-
;axb
для
при
.xb
[, ]XRavab
:
0, ;
xa
() , ;
Fx a x b
ba
1, .
xa
xb
График функции приведен на рис. 4.2.
Рис. 4.2. График функции распределения
67
()Fx
Числовые характеристики
M
x
M
Математическое ожидание
ab
MX x dx x dx
[] 0 0 .
Дисперсия
[] [] () ;DX x M X fxdx
b
[]
DX x x
a
1()()()
3( ) 8 8 12
ba
23
ab dx ab
232
ba ab ba
[] () ;
Xxfxdx
dx a b
ba
ab
2
ba ba
33 2
11
2
b
a
.
Таким образом, для равномерно распределенной НСВ
ab
[] ;
MX
2
DX
()
[] ;
[] .
12
ba
X
23
2
ba
Моды эта НСВ не имеет, медиана из соображений симметрии совпа-
дает с математическим ожиданием
[].
X
Рис. 4.3. Вероятность попадания НСВ, равномерно распределенной
на интервале
(, ),ab
в подинтервал
(,)
68
Вероятность попадания НСВ
X
X
тервале
(, ),ab
в подинтервал
,
равномерно распределенной на ин-
(,):
{}.Px
ba
Геометрически эта вероятность представляет собой закрашенную
площадь (рис. 4.3).
Примеры равномерно распределенных НСВ,
наиболее часто встречающиеся на практике
1. Время ожидания пассажиром транспорта, курсирующего с опре-
деленным интервалом.
2. Ошибка округления чисел (например, до целого) при расчетах
(в частности, на ЭВМ).
3. Случайные числа, выдаваемые компьютером.
4. Любые случайные величины, о которых известно, что их значения
лежат внутри некоторого интервала и имеют одинаковую вероятность.
Типы физических условий, при которых возникает
равномерное распределение
1. Производится измерение какой-то величины с помощью прибора
с грубыми делениями. В качестве приближенного значения измеряемой
величины берется следующее:
а) ближайшее целое;
б) ближайшее меньшее целое;
в) ближайшее большее целое.
В этих случаях рассматриваемая случайная величина
«ошибка
измерения» подчиняется равномерному закону распределения
[, ]XRavab
с различными значениями параметров. Получаем следу-
ющие варианты:
а)
б)
в)
[0,5,0,5];XRav
[0,1];XRav
[1,0]XRav
(при этом в качестве единицы принимается цена деления прибора).
69
2. На оси абсцисс имеется последовательность точек, разделенных
A
A
A
L
одинаковыми интервалами
точка
(рис. 4.4).
Рис. 4.4. Попадание точки А в случайный интервал
. Случайным образом на ось «бросается»
Случайная величина X – это расстояние от точки :A
а) до ближайшей точки;
б) ближайшей слева точки;
в) ближайшей справа точки.
В каждом из перечисленных случаев НСВ имеет равномерное рас-
пределение.
3. На обод вертикально поставленного вращающегося колеса радиу-
r нанесена точка
сом
рый будет составлять направление на
лена по равномерному закону
(рис. 4.5). Случайная величина X «угол, кото-
и горизонт», также распреде-
[0, 2 ].XRav
Рис. 4.5. Иллюстрация к п. 3
4. В современной вычислительной технике при моделировании слу-
чайных процессов часто приходится пользоваться случайной величиной
которая также подчиняется равномерному закону
,X
[0,1].XRav
Эта величина коротко называется «случайное число от 0 до 1» и служит исходным материалом, из которого после соответствующей обработки получают случайные величины с любым заданным распределением.
70
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]