Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория вероятностей. Случайные величины. Учебное пособие
.pdf
Решение
X
Производящая функция:
() ( )( )( )( )zqpzqpzqpzqpz
11 22 33 44
(0,9 0,1 ) (0,8 0, 2 ) (0,7 0,3 ) (0,6 0,4 )zzzz
0,3024 0,4404 0,214 .4 0,0404 0,0024zz z z
234
Приближенно ряд распределения будет выглядеть следующим образом.
P
0
0,3024 0,4404 0,2144 0,0404 0,0024
1 2 3 4
0,4404 ,2144 ,0404 4 0,0024 1.[ ] 00,3024 1 20 30MX
Такой же результат даст формула
0, 2 ,3 , 1.[]0,1 0 04MX
Дисперсию вычислим не через второй центральный момент, а непосредственно:
22 2
22
(3 1) ( 4 1) 0, 7.0,0404 0,0024
0,4404 ,1)2[ ] (0 1) 0,3024 (1 1 (2 ) 0 414DX
Такой же результат получим по формуле для биномиального закона:
[ ] 0,9 0,1 0, 8 0, 2 0, 7 0,3 0, 6 0, 4 0, 7.DX
[],DX
Извлекая корень из
получим
.[ ] 0,7 0,837X
Вероятность того, что будет искажено хотя бы одно сообщение и не
менее двух сообщений:
0,691} 1 7 6 ;{PX p
0
Ответ:
00, 69{ 1} ; { 2} , 2572.76PX PX
51
)0,2572} 1 ( 2.{PX p p
01
3.4. Распределение Пуассона
X
Дискретная случайная величина X имеет распределение Пуассона,
если ее возможные значения 0, 1, 2, …,
чений), а соответствующие вероятности выражаются формулой Пуассона:
{} ,
pPXm
m
m , … (счетное множество зна-
ma
ae
!
m
где
0, 1, 2, ;ma
– параметр закона Пуассона.
Случайная величина Х, распределенная по закону Пуассона, имеет
следующий ряд распределения.
m
0
a
p
m
e
1 2 …
aae
1!
2
aae
…
2!
m
ma
ae
m
…
!
…
Контроль:
mm
00
pe ee
m
m
a
aaa
!
m
1.
Распределение Пуассона является предельным для биномиального,
когда
Таким образом,
0p
и n .
np a
– постоянно.
Примерами случайных величин, имеющих распределение Пуассона,
являются:
число вызовов на телефонной станции за время
число опечаток в большом тексте и др.
;t
При этом считается, что события появляются независимо друг от
друга с постоянной средней интенсивностью, характеризующейся параметром
Найдем МО и дисперсию СВ
.anp
,X
распределенной по закону Пуас-
сона.
52
Производящая функция распределения Пуассона:
M
M
p
ma m
ae az
!!
mm
00
() ; () .
zae zae
()
aaazaz
(1) 2 (1)
az az
() ,
(1)
az
() .
ze
Тогда
т. е.
zeeee
mm
Получим:
(1)
Xa
Итак,
[] (1) ;
[ ] (1) (1) (1) .DX a a a a
[] [] , [] ,
XDXa X a т. е. параметр a пуассонов-
ского распределения равен одновременно МО и дисперсии СВ
2
22
,X
име-
ющей это распределение. В этом состоит отличительная особенность
изучаемого распределения, которая используется на практике (на основании опытных данных находят оценки для МО и дисперсии; если они
близки между собой, то есть основание считать, что СВ распределена
по закону Пуассона).
Распределение Пуассона играет большую роль в практическом применении
теории вероятностей: многие физические явления приводят
именно к такому распределению вероятностей.
Распределение Пуассона с параметром
вместо биномиального, когда число опытов очень велико
роятность
очень мала, т. е. в отдельно взятом опыте событие A по-
anp
можно применять
()n
, а ве-
является крайне редко. Поэтому закон Пуассона иногда называют законом редких явлений.
В свое время классическим примером СВ
,X
распределенной по за-
кону Пуассона, было «число солдат-кавалеристов, убитых за год ударом
копыта лошади».
53
Задачи (с решениями)
X
Пример 3.5
На автоматическую телефонную станцию поступает простейший
0,8
поток вызовов с интенсивностью
ность того, что за две минуты: а) не придет ни одного вызова; б) придет
ровно один вызов; в) придет хотя бы один вызов.
Решение
СВ
Пуассона с параметром
– число вызовов за две минуты – распределено по закону
0,8 2 1,6.a
Получим:
0
a
{0} 0,202,
PX e
а)
1,6
(0! = 1);
0!
a
1,6
PX e
{ 1} 1,6 0, 202 0,323;
б)
1!
в)
{ 1} 1 { 0} 1 0, 798.PX PX p
0
(вызов/мин). Найти вероят-
Ответ:
{ 0} 0, 202; { 1} 0, 323; { 1} 0, 798.PX PX PX
Пример 3.6
Поток грузовых железнодорожных составов, прибывающих на сортировочную горку, можно считать простейшим с интенсивностью
4
(состав/час). Найти вероятность того, что за полчаса на горку прибудет:
а) ровно один состав; б) хотя бы один состав; в) не менее трех составов.
Решение
а)2{ 1} 2 2 0,135 0, 27;PX e
б)
в)
{1}1 0,865;PX p
{ 3} 1 ( ) 0,325.PX p p p
Ответ:
0
012
{ 1} 0, 27; { 1} 0,865; { 3} 0,325.PX PX PX
0,5; 4 0,5 2;a
Пример 3.7
На оси абсцисс OX (рис. 3.1) случайным образом расположены
наблюдательные посты; их плотность (среднее число постов на единицу
54
длины) – (пост/км). Объект, пересекающий ось абсцисс в точке с за-
p
X
p
A
,
данной абсциссой
обнаруживается с наблюдательного поста, если он
проходит от него на расстоянии не более r км, причем обнаруживается
не с полной достоверностью, а с вероятностью
.
Найти вероятность
того, что объект будет обнаружен.
Рис. 3.1. Иллюстрация к примеру 3.7
Решение
Перейдем от последовательности постов на оси к последовательности «обнаруживающих постов», линейная плотность которой
Вероятность того, что объект будет обнаружен, равна вероятности того,
что на участок длиной
«обнаруживающий пост». СВ
участке длиной
22.ar rp
2r
Вероятность
наруживающего поста» на участке
Ответ:
{1}1 .
PX e
2r
с центром в точке попадет хотя бы один
– число «обнаруживающих постов» на
− распределена по закону Пуассона с параметром
появления хотя бы одного «об-
1Pp
10
2
rp
2
rp
2r
равна
{1}1 .
PPX e
1
.p
Пример 3.8
Космические частицы, попадающие в спутник, образуют поле с
плотностью
стиц, занимает площадь
(частица/м2). Агрегат спутника, находящийся в поле ча-
S
(м2). Для выхода из строя агрегата заведомо
достаточно попадания в него двух частиц; при попадании одной частицы он выходит из строя с вероятностью
– «выход агрегата из строя».
тия
. Найти вероятность собы-
Решение
Находим среднее число попадающих в агрегат частиц:
.aS
55
Найдем вероятность выхода агрегата из строя по формуле полной
вероятности с гипотезами:
= «в агрегат попала одна частица»,
H
1
= «в агрегат попало не менее двух частиц».
H
2
По закону Пуассона
S
() ;
PH Se
1
() 1 1 (1 );
PH P p p e S
22 01
S
();( )1;PAH pPAH
12
() 1 (1 ).
по формуле полной вероятности
SS
Ответ: () 1 (1 ).
P A Spe e S
P A Spe e S
SS
Пример 3.9
Поток вызовов на АТС – пуассоновский нестационарный с интен-
сивностью
6 ч 40 мин интенсивность
(),t
зависящий от времени. На участке времени от 0 ч до
()t
возрастает по линейному закону:
() ,tbtc
причем в 0 ч она равна 0,2 вызова в минуту, а в 6 ч 40 мин – 0,4 вызова
в минуту. Найти вероятность
P
того, что за 10 минут, от 3 ч 15 мин до
3 ч 25 мин, придет не менее трех вызовов.
Решение
Найдем постоянные b и :c
(6 ч 40 мин) = (400 мин) =
0,2 / 400b
[вызов/мин2] = 1/2000 [вызов/мин2]. Среднее число вызо-
(0) 0,2;
400 0,2 0,4b
0, 2c
вызов/мин;
[вызов/мин], откуда
вов a в интервале от 3 ч 15 мин = 195 мин до 3 ч 25 мин = 205 мин будет
равна
205
()
abtcdt ct
195
2
bt
2
205
195
1 42025 38025
2000 2 4000
22
(205 195 ) 0, 2 (205 195) 3.
56
Искомая вероятность P составит
p
p
p
Ответ:
{ 3} 1 0,57681 0,577.PPX p p p
{ 3} 0, 577.PX
012
3.5. Геометрическое распределение
Дискретная СВ X имеет геометрическое распределение, если ее
возможные значения
где
0, 1, 2,m
Геометрическое распределение имеет СВ
в схеме Бернулли, проведенных до первого успеха, с вероятностью
успеха
в единичном опыте.
Примерами реальных случайных величин, распределенных по гео-
метрическому закону, являются:
число выстрелов до первого попадания;
число испытаний прибора до первого отказа;
число бросаний монеты до первого герба и др.
Ряд распределения случайной величины
ское распределение, имеет следующий вид.
Х 0
P
p
0, 1, 2, 3, 4,
, а вероятности этих значений
{} ,
PX m qp
m
1 2 … m …
qp
2
qp …
m
,X
равную числу опытов
,X
имеющей геометриче-
m
qp …
mm
Контроль:
Вероятности
2
,qp 3,qp По этой причине распределение называется геометриче-
pq p q p
mm
00
образуют геометрическую прогрессию
p
m
1
1
qp
p
1.
,
,qp
ским.
Найдем математическое ожидание и дисперсию геометрического
распределения.
57
Производящей функцией для СВ X является функция
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
т. е.
() .
z
1
Для нее
qz
() ,
zqpzp
mm
m
0
zz
() ; () .
pz pq
qz qz
(1 ) (1 )
1
1
23
qz
Следовательно:
[] (1) ;
MX
[] (1) (1) (1) ;
DX
qpqq
22
qp
(1 )
22
2
qqq q
2
322
p
2
2
pp
т. е.
MX
[] ,
q
2[]
DXp и, значит,
q
[] .
X
q
Геометрическое распределение +1
На практике чаще встречается не СВ ,X имеющая геометрическое
распределение, а СВ вида
1YX
(т. е. число попыток до первого
успеха, включая удачную).
Y
Ряд распределения СВ
Y
P
1
p
имеет следующий вид.
2 3 … m …
qp
2
qp …
1m
qp
…
Найдем математическое ожидание и дисперсию геометрического рас-
пределения +1 (геометрического распределения, сдвинутого на единицу):
[] [ 1] [ ]1 1 ;
MY M X M X
q
1
p
[] [ 1] [ ] ;
DY D X D X
q
2
[] [] [ ] [ ] .
YDYDX X
58
q
Задачи (с решениями)
M
M
p
Z
Z
Пример 3.10
Производится стрельба по мишени с вероятностью попадания при
каждом выстреле
0,1.p
Найти а)
промахов до первого попадания; б)
ных патронов.
Решение
а)
[]
X
[],
Y
[],DX
и
где X – число
где Y – число потрачен-
Х 0
P
0,1
MX DX
[] 9; [] 90.
1 2 …
0, 9 0,1
qq
0,9 0,9
p
0,1 0, 01
2
0,9 0,1
…
2
p
m
0,9 0,1m
…
…
б)
Y
P
1
0,1
2 3 …
0, 9 0,1
[ ] 10.
MYp
2
0,9 0,1
11
…
m
0, 9 0,1m
…
1
…
0,1
Ответ:
[]9;MX []90;D Х
[] 10.MY
Пример 3.11
В нашем распоряжении имеется
ятностью
имеет дефект. Лампочка ввинчивается в патрон и включа-
n лампочек, каждая из них с веро-
ется ток; при включении тока дефектная лампочка сразу же перегорает
и заменяется другой. Рассматривается случайная величина
– число
лампочек, которое будет испробовано. Построить ряд распределения
СВ
и найти ее МО.
59
Решение
Z
P
Z
Z
Z
p
p
M
Распределение СВ
ское +1» распределение с параметром
для всех значений mn есть «геометриче-
1.qp
Найдем
Это есть вероятность того, что будут испробованы все
1n
а значит, первые
{} .
PZ n p
тельно,
Ряд распределения СВ
лампочек окажутся дефектными. Следова-
1
n
имеет следующий вид.
{}.
Zn
n лампочек,
1 2 3 …
P
Здесь
q
1.qp
pq
Производящая функция СВ
1
n
zpqpzpz pz
() .
m
1
2
pq
m
…
pq
…
1m
…
:
1
nn
11 1
mm nn nn
qz qp z
pz
1
1n
2n
pq
Ее производная:
11 1
nn nn
(1 ) (1 ) ( )
pnz pz pzpz
() .
zq npz
Полагая в ней
mq np
2
(1 )
pz
получим
1,z
11
nnn
(1 ) (1 ) (1 ) 1
(1) .
nppp p
2
(1 )
p
n
nn
1
11
1
3.6. Гипергеометрическое распределение
Дискретная СВ X имеет гипергеометрическое распределение,
если она принимает значения
стями
0, 1, 2, , , , min ( , )mnM
с вероятно-
n
1np
mnm
pPXm
{} ,
m
CC
C
NM
n
N
60
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]